中考数学试卷弧长与扇形面积和矩形菱形与正方形（含解析）

弧长与扇形面积

一、选择题

1.（2018•山西・3分）如图，正方形ABCD内接于。0,©0的半径为2,以点A为圆心，以

AC为半径画弧交AB的

延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是（）

A.4TT-4B.4n-8

c

（第10题）

【答案】A

【考点】扇形面积，正方形性质

【解析】•••四边形ABCD为正方形，.INBAD=90°,可知圆和正方形是中心对称图形,

2.（2018•山东淄博・4分）如图，。。的直径AB=6,若NBAC=50°,则劣弧AC的长为（）

A.2”竽32LD.4打

~3~

【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理.

【分析】先连接C0,依据NBAC=50°,A0=C0=3,即可得到NA0C=80°,进而得出劣弧AC的长为

8QX71X3=4

【解答】解：如图,连接co,

VZBAC=50°,AO=CO=3,

AZAC0=50°,

AZA0C=80°,

..•劣弧旭的长为*F

—n,故选：D.

3

【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键.

3.（2018•四川成都・3分）如图，在oJ5CD中，Z5=60°,Oc的半径为3,则图中阴影部分

的面积是（）

C.3不

D.6n

【答案】C

【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算

【解析】【解答】解：•••平行四边形ABCD；.AB〃DC

二ZB+ZC=180°

AZC=180°-60°=120°

...阴影部分的面积=120X32+360=3

故答案为：C

【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，可求出NC的度数，再根据扇形的面积公式求解即可。

4.（2018•山东滨州・3分）已知半径为5的。0是AABCAC的长为（)

A.25Kb.1252Lc.252LD.空

36361836

【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可.

【解答】解：如图：连接AO,C0,

VZABC=25°,

/.ZA0C=50°,

•劣弧节°兀X5_25兀故选:

「'180-18

C.

【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答.

5.（2018-山东威海•3分）如图，在正方形ABCD中，AB=12,点E为BC的中点，以CD为直径作半圆

CFD,点F为半圆的中点，连接AF,EF,图中阴影部分的面积是（）

A.18+36TTB.24+18TTC.18+18TTD.12+18TT

【分析】作FH1BC于H,连接FH,如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6,则利用勾

股定理可计算出灰，通过RtAABE^AEHF得/AEF=90°,然后利用图中阴影部分的面积=$正方豚g+S*网

-SAABB-SAAEF-进行计算.

【解答】解：作FHLBC于H,连接FH,如图，

・・•点E为BC的中点，点F为半圆的中点，［中国教育刨士^版*&网］

ABE=CE=CH=FH=6,

762+12^5>

易得RtZ\ABE丝Z\EHF,

:.NAEB=NEFH,

而NEFH+NFEH=90°,

・・・NAEB+NFEH=90°,[]

AZAEF=90°,

・••图中阴影部分的面积二S正方形ABCD+S半网-SAABE-SAAEF

=12X12+LTT—X12X6-—«6

222

=18+18TT.

故选：C.

【点评】本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积.

6.（2018•台湾•分）如图，/XABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点,

若/A=60°,ZB=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为何？（）

A.5■JlB.JTC.[■兀I).7T

3399

【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题;

【解答】解：=NA=60',ZB=100°,

ZC=180°-60°-100°=20°,

VDE=DC,

AZC=ZDEC=20°,

：.ZBDE=ZC+ZDEC=40°,

4Q«n>22,4

AS

360~§

IT.故选：C.

【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式:

rr冗.「2

360~

7.（2018•湖北黄石・3分）如图，AB是。0的直径，点D为00上一点，且NABD=30°,B0=4,则BD的长为

()

A.—KB.AC.2TTD.—

333

【分析】先计算圆心角为史里，可得结果.

180

【解答】解：连接OD,

VZABD=30°,

AZA0D=2ZABD=60°,

/.ZB0D=120°,

二前的长兀*4=

180

史上，故选：D.

3

【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题.

8.（2018•浙江宁波•4分）如图，在aABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=4,以点B为圆心，BC长为半

径画弧，交边AB于点面的长为（）

【考点】弧长公式

【分析】先根据ACB=90°,AB=4,ZA=30°,得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长.

【解答】解：VZACB=90°,AB=4,ZA=30°,

/.ZB=60°,BC=2

而的长为60兀X2=221,

1803

故选：C.

【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：1=里弧

180

长为1,圆心角度数为n,圆的半径为R）.

9.（2018•浙江衢州•3分）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm,圆锥的侧面积为15ncm2,

则sinNABC的值为（）

【考点】圆锥侧面积公式

【分析】先根据扇形的面积公式求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可.

2

【解答】解：设圆锥的母线长为R,由题意得

X3XR,解得R=5,...圆锥的高为故选B.

5

【点评】本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比.

10.（2018四川省绵阳市）如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为

25Tlm,,圆柱高为3m,圆锥高为2nl的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）

A.(30+5亚11112

B.40nm

C.(30+5国;rm2

D.55TTm2

【答案】A

【考点】圆锥的计算，圆柱的计算

【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r,圆锥母线长为1,依题可得：

TTr2=25TF,

r=5,

...圆锥的母线1=旧+5?=标,

二圆锥侧面积S=2-2TTr«1=TTrl=5而TT(m2),

圆柱的侧面积S=2TTr-h=2XiTX5X3=30TT(m2),

二需要毛毡的面积=30TT+5历IT(m2),

故答案为：A.

【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇

形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，再求和即可得出答案.

二.填空题

1.(2018•重庆(A)•4分)如图，在矩形4及力中，A8=3,AO=2,以点4为圆心，长为半径画

弧，交48于点反图中阴影部分的面积是(结果保留)).

DC

AEB

【考点】及割补法的基本应用、扇形的面积公式.

【解析】S阴=2x3----22=6-7T

360

【点评】此题考查扇形、四边形面积的计算，及割补法的基本应用，属于基础题

2.(2018•广东•3分)如图，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆0与BC相切于点E,连接

BD,则阴影部分的面积为「.(结果保留TT)

0

【分析】连接0E,如图，利用切线的性质得0D=2,OE±BC,易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面

积公式，利用S正方形0KB-S砂断计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去

刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积.

【解答】解：连接0E,如图，

以AD为直径的半圆0与BC相切于点E,

；.0D=2,0E1BC,

易得四边形OECD为正方形，

2

**•由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方彩（m>-SIH®EOB=2―———--=4-IT,

360

阴影部分的面积=LX2X4-（4-TT）=TT.故答案为TT.

2

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，

0

构造定理图，得出垂直关系.也考查了矩形的性质和扇形的面积公式.

3.（2018•湖北荆门・3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD,ZD=30°,CD=4,以AB为直径的。。交

BC于点E,则阴影部分的面积为一1兀7?

3

【分析】连接半径和弦AE,根据直径所对的圆周角是直角得：ZAEB=90°,可得AE和BE的长，所以图

中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA=OB,所以△OBE的面积是AABE面积的一半,

可得结论.

【解答】解：连接OE、AE,

TAB是。。的直径，

AZAEB=90°,

•・,四边形ABCD是平行四边形,

AAB=CD=4,NB=ND二30°,

・・・

AE=*AB=2,BE=^42_22=2V3,

VOA=OB=OE,

AZB=Z0EB=30°,

AZB0E=120°,

•e•S阴影=S陶形OBE-SABOE>

兀2

120X21v1

=-^6T-

二等一十X2X2正，

【点评】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中30度角等知识点，能求出扇形

OBE的面积和△ABE的面积是解此题的关键.

4.（2018•湖北恩施・3分）在RSABC中，AB=1,ZA=60°,ZABC=90°,如图所示将RSABC沿直线1无

滑动地滚动至Rt^DEF,则点B所经过的路径与直线1所围成的封闭图形的面积为121T.（结果不取近

12

似值）

【分析】先得到NACB=30°,BC=V3,利用旋转的性质可得到点B路径分部分：第一部分为以直角三角形

30°的直角顶点为圆心，如为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点

为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长，然后根据扇形的面积公式计算点B所经过的路径与直线1所

围成

的封闭图形的面积.

【解答】解：:□△ABC中，ZA=60°,ZABC=90°,

AZACB=30°,BC=V3，

将RtAABC沿直线1无滑动地滚动至Rt^DEF,点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶

点为圆心，、后为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半

径，圆心角为120°的弧长；

...点B所经过的路径与直线1150.冗.（付2・12（）.冗.[2;^^故答案为鸟T.

3603601212

【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量.

5.（2018•河南・3分）如图，在△46C中，/力华90°吩2.将△/比绕4。的中点〃逆时针旋转90°得到

^A'B'C,其中点6的运动路径为施'，则图中阴影部分的面积为.

1答案】-K--

42

【解析】阴影部分面积求解.

连接DB、DU由题意可知.AD=DC-DC=DA*=I.,CB=CBf=2

DB=DBT=VI2+22=Vs

以"W"(I»2)*1

6.（2018•新疆生产建设兵团•5分）如图，AABC是。0的内接正三角形，。。的半径为2,则图中阴影

部的面积是.4兀.

3

【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可.

【解答】解：•••△ABC是等边三角形，

AZC=60°,

根据圆周角定理可得/A0B=2NC=120°,

，阴影部分的面积是空丝上收=&TT,

3603

故答案为：4兀

~3~

【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数

是解题的关键.

7.（2018•山东青岛・3分）如图，RtAABC,ZB=90°,/C=30°,0为AC上一点，OA=2,以0为圆

心，以

0A为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接0E、OF,则图中阴影部分的面积是一

213

【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案.

【解答】解：；NB=90°，ZC=30°,

AZA=60",

V0A=0F,

/.AAOF是等边三角形,

AZC0F=120°，

V0A=2,

扇形OGF的面积为：120兀义4=4

3603

•.•0A为半径的圆与CB相切于点E,

/.Z0EC=90°,

，0C=20E=4,

.\AC=OC+OA=6,

.♦.AB」AC=3,

2

,由勾股定理可知：BC=3J5

【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的

面积公式等知识，综合程度较高.

8.(2018•湖南省永州市・4分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,1),以点0为旋转中心，将点

A逆时针旋转到点B源的长为亚工.

4

【分析】由点A(1,1),可得0A={I2+I2=M，点A在第一象限的角平分线上，那么NA0B=45°,再根

据弧长公式计算即可.

【解答】解：•••点A(1,1),

AOA=V12+12=^点八在第一象限的角平分线上，

•••以点0为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置,

/.ZA0B=45°,

.C45兀-VQ71不上

：.AB^-------故答案

_1804

为返巴

4

【点评】本题考查了弧长公式：1且叵.（弧长为1,圆心角度数为n,圆的半径为R）,也考查了坐标与图

180

形变化-旋转，求出OA=&以及/A0B=45°是解题的关键.

9.（2018年江苏省宿迁）已知圆锥的底面圆半价为3cm,高为4cm,则圆锥的侧面积是cm2.

【答案】15n

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：设圆锥母线长为1,•；r=3,h=4,,

...母线1=5+人=5,

11

AS侧=2-2TTrX5=2X2TTX3X5=15n.

故答案为：15TT.

【分析】设圆锥母线长为1,根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.

10.（2018年江苏省宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别

落在x、y轴的正半轴上，N0AB=60°,点A的坐标为（1,0）,将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先

绕点A按顺时针方向旋转60°,再绕点C按顺时针方向旋转90°,…）当点B第一次落在x轴上时，则

点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是

【答案】「+I2n

【考点】三角形的面积，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质

【解析】【解答】解：在RSAOB中，（1,0）,

.\OA=1,

又•.•/0AB=60°,

OA

/.cos60°=AB,

，AB=2,0B=丫3,

•.•在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变,

•••点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：

：x1XG+TTX22+'^X1X^3+Kx(.J

故答案为：&省口.

【分析】在RtAAOB中，由A点坐标得OA=1,根据锐角三角形函数可得AB=2,0B=V$,在旋转过程中，三角

板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：=

,计算即可得出答案.

11.（2018•江苏扬州・3分）用半径为10cm,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆

锥的底面圆半径为」gem.

【分析】圆锥的底面圆半径为r,根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解.

【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r,依题意，得

2n12071X10,

180

解得Mm.

3

故选：妆.

3

【点评】本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇

形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长.

12.（2018•江苏盐城・3分）如图，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分.右图中,

图形的相关数据：半径OA=2cm,NMOS=120'.则右图的周长为5（结果保留）.

15.【答案】学

【考点】弧长的计算

【解析】【解答】解：由第一张图可知弧0A与弧0B的长度和与弧AB的长度相等，则周长为

120^<287r

2X^80-=TCM

故答案为：学

【分析】仔细观察第一张图，可发现单个图的左右两条小弧的长度之和是弧AB的度，则根据弧长公式

，=粮即可求得。

13.（2018•四川凉州・3分）将AABC绕点B逆时针旋转到AA'BC',使A,B、C在同一直线上，若

ZBCA=90°,NBAC=30°,AB=4cm,则图中阴影部分面积为也_cm2.

【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为120°,两个半径分别为4和2的圆环的面积.

【解答】解：VZBCA=90°,ZBAC=30°,AB=4cm,

/.BC=2,AC=2A/3，NA'BA=120°,ZCBCZ=120°,

••・阴影部分面积=（SAw+S睇网'）-Sl2OZLx（4-2）=4ifcm2.故答案为：

360

4TT.

【点评】本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求

解.2.

三.解答题

（要求同上一）

1.（2018•山东临沂•9分）如图，AABC为等腰三角形，0是底边BC的中点，腰AB与。0相切于点

D,0B与。0相交于点E.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若灰，BE=1.求阴影部分的面积.

【分析】(1)连接0D,作0F1AC于F,如图，利用等腰三角形的性质得A01BC,A0平分/BAC,再根

据切线的性质得0D1AB,然后利用角平分线的性质得到OF=OD,从而根据切线的判定定理得到结论；

(2)设00的半径为r,则0D=0E=r,利用勾股定理得到正)邑(r+1)2,解得r=l,则0D=l,0B=2,

利用含30度的直角三角三边的关系得到NB=30°,NB0D=60°,则NA0D=30°,于是可计算出

AD=g)D=&g,然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2$4仙-$埔彩映进行计算.

33

【解答】(1)证明：连接0D,作0FLAC于F,如图，

•••△ABC为等腰三角形，0是底边BC的中点，

AA01BC,A0平分NBAC,

•.•AB与。。相切于点D,

.,.0D±AB,而

0F1AC,

.,.0F=0D,

；.AC是。。的切线；

(2)解：在Rtz^BOD中,设。0的半径为r,则0D=0E=r,

r2+(遂)2=(r+1)2,解得r=l,

A0D=l,0B=2,

.\ZB=30°,ZB0D=60°,

・・・NA0D=30°,

在RtAAOD亚(旧返，

33

，阴影部分的面积=2S△频-S1W

60•兀

=2X—XIX返

23360

=返-三.［中矿国-*教&育出版网］

36

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.圆的切线

垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有

切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了等腰三角形的性质.

2.（2018•江苏扬州70分）如图，在ZXABC中,AB=AC,AO_LBC于点0,0E_LAB于点E,以点0为圆心,

0E为半径作半圆，交A0于点F.

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）若点F是A的中点，0E=3,求图中阴影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长.

【分析】（1）作0HLAC于H,如图，利用等腰三角形的性质得A0平分/BAC,再根据角平分线性质得0H=0E,

然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）先确定N0AE=30°,ZA0E=60°,再计算出然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积

=SAAOE-S扇形EOF进行计算；

（3）作F点关于BC的对称点F',连接EF'交BC于P,如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP

最小,通过证明NF'=NEAF'得到PE+PF最小值为遂,然后计算出0P和0B得到此时PB的长.

【解答】（1）证明：作0HLAC于H,如图，

VAB=AC,AO_LBC于点0,

...AO平分NBAC,

V0E±AB,OH±AC,

/.OH=OE,

，AC是。。的切线；

(2)解：•••点F是AO的中点，

.♦.AO=2OF=3,

而0E=3,

.•./0AE=30°,NA0E=60°,

.•.AE=V^OE=3V5，

二图中阴影部分的面积=S△瞰-S^1X3X3百60•兀・32=策-3兀；

23602

(3)解：作F点关于BC的对称点F',连接EF'交BC于P,如图，

；PF=PF',

.,.PE+PF=PE+PF'=EF',此时EP+FP最小，

V0F/=OF=OE,

/.ZF,=/0E『，

而NA0E=NF'+N0EF'=60°,

.'.NF'=30",

：.ZF'=/EAF',

.♦.EF'=EA=3A/3.

即PE+PF最小值为炳,

在区0『=M，

3

在RtAABOKOA=立X6=2

33

.•.BP=2«-后近，

即当PE+PF取最小值时，BPV3.

W尸

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线

垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点"或“过圆心作这条直线的垂线”•也

考查了等腰三角形的性质和最短路径问题.

矩形菱形与正方形

一、选择题

1.（2018•四川凉州・3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C'处，BU交

AD于点E,则下到结论不一定成立的是（）

A.AD=BC,B.ZEBD=ZEDBC.AABE^ACBDD.sinZABE=AE

ED

【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案.

【解答】解：A、BC=BC',AD=BC,.".AD=BC/,所以正确.

B、ZCBD=ZEDB,ZCBD=ZEBD,/EBD=/EDB正确.

D、VsinZABE=—,

BE

二ZEBD=ZEDB

/.BE=DE

.*.sinZABE=

—.故选：C.

ED

【点评】本题主要用排除法，证明A,B,D都正确，所以不正确的就是C,排除法也是数

学中一种常用的解题方法.

2（2018-ft东滨州・3分）下列命题，其中是真命题的为（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.一组邻边相等的矩形是正方形

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答

案.

【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；

B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；

C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误：

D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别.正确的命题叫真命题，错误的

命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中.

3.（2018•湖北省宜昌・3分）如图，正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线

AC上的两点，EGXAB.EI±AD,FH±AB,FJ±AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部

分的面积等于（）

【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；

【解答】解：；四边形ABCD是正方形，

直线AC是正方形ABCD的对称轴，

VEG±AB.EI±AD,FH±AB,FJ±AD,垂足分别为G,I,H,J.

.••根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，

AS-S正方形，

22

故选:B.

【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考

题型.

4.（2018•湖北省孝感・3分）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AC=10,BD=24,

则菱形ABCD的周长为（）

【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长.

【解答】解：；菱形ABCD中，BD=24,AC=10,

.♦.0B=12,0A=5,

在RtAAB05y0A2+0B2=13,

，菱形ABCD的周长=4AB=52,

故选：A.

【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属

于中考常考题型.

5(2018•ft东临沂•3分)如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA

的中点.则下列说法：

①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形；

②若AC_LBD,则四边形EFGH为菱形；

③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；

④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相

等.其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是

菱形，当对角线AC1BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD,且AC1BD时，中点四

边形是正方形，

【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，

当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC1BD时，中点四边形是矩形，当对

角线AC=BD,且ACLBD时，中点四边形是正方形，

故④选项正确，

故选：A.

【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住

一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线

ACLBD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD,且AC_LBD时，中点四边形是正方形.

6(2018•ft东威海•3分)矩形ABCD与CEFG,如图放置，点B,C,E共线，点C,D,

G共线，连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=()

A.1C.返D.在

322

【分析】延长GH交AD于点P,先证AAPH丝aFGH得*|PG,再利用勾股定理求得逐，从

而得出答案.

【解答】解：如图，延长GH交AD于点P,

,/四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，

AZADC=ZADG=ZCGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1,

，AD〃GF,

JZGFH=ZPAH,

又•.％是AF的中点，

.\AH=FH,

在AAPH和AFGH中，

'NPAH=NGFH

•AH=FH

NAHP=NFHG

/.△APH^AFGH(ASA)，

，AP=GF=1,GH=PH="1PG,

，PD=AD-AP=1,

；CG=2、CD=1,

/.DG=1,

则iPG=-2*VPD2+DG^y>

故选：c.

【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性

质、勾股定理等知识点.

7（2018•湖南省永州市・4分）下列命题是真命题的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.任意多边形的内角和为360°

D.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据

多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断.

【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；

C、任意多边形的外角和为360。，所以C选项为假命题；

D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命

题.故选：D.

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和

结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如

果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.8（2018

年江苏省宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,点E为边CD的中点，

DEC

若菱形ABCD的周长为16,NBAD=60°,则△（）££的面积是（）。/V/

AB

A.0B.2C.26D.4

【答案】A

【考点】三角形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的

判定与性质

【解析】【解答】解：•・•菱形ABCD的周长为16,・・・菱形ABCD的边长为4,

VZBAD=60°,

/.AABD是等边三角形，

又TO是菱形对角线AC、BD的交点，

AAC±BD,

在RtZ\AOD中,

.-.A0=*-m=716^4=2瓦

/.SAACD=2•0D•AC=2X2X4

又：。、E分别是中点，

...OE〃AD,

/.△COE^ACAD,

S」8E_1

:.Sqm4,

/.SACOE=4SACAD=TX4反

故答案为：A.

【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4,AC±BD,由一个角是60度的等腰三角形是等

边三角形得AABD是等边三角形；在Rt^AOD中，根据勾股定理得A0=,AC=2A0=4

根据三角形面积公式得SAACD=I-0D-AC=45,根据中位线定理得°E〃AD,由相似三

S」COE_2

角形性质得S」CJD4,从而求出的面积.

9（2018•新疆生产建设兵团・5分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm.现将其沿

AE对折，使得点B落在边AD上的点R处，折痕与边BC交于点E,则CE的长为（）

A__________&n

BEC

A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm

【分析】根据翻折的性质可得/B=/AB正=90°,AB=AB,,然后求出四边形ABEBi是正方形,

再根据正方形的性质可得BE=AB,然后根据CE=BC-BE,代入数据进行计算即可得解.

【解答】解：•••沿AE对折点B落在边AD上的点B,处，

,NB=/ABE=90°,AB=ABH

又,；NBAD=90°,

二四边形ABEBi是正方形，

:.BE=AB=6cm,

/.CE=BC-BE=8-

6=2cm.故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形

ABEB,是正方形是解题的关键.

10(2018•新疆生产建设兵团•5分)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上

的一个动点，点M,N分别是AB,BC边上的中点，则MP+PN的最小值是()

A4B.1C.V20.2

【分析】先作点M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于P,此时MP+NP有最小

值.然后证明四边形ABNM'为平行四边形，即可求出MP+NP=M,N=AB=1.

【解答】解：

作点M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于P,此时MP+NP有最小值，最小值为

M'N的长.

•菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点,

.♦.M'是AD的中点,

又•.•N是BC边上的中点，

.♦.AM'〃BN,AM'=BN,

二四边形ABNM'是平行四边形,

N=AB=1,

...MP+NP=M'N=l,即MP+NP的最小值为1,

故选：B.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识

是解答此题的关键.

11.（2018•四川宜宾•3分）在aABC中，若0为BC边的中点，则必有:

AB'+ACJ2Ao2+2B0,成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4,

EF=3,点P在以

则PF2+PG?的最小值为（）

D.10

【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质.

【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN,则MN、PM的长度是定值,

利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF+PG2=2PN2+2FNZ即可求出结论.

【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P,此时PN取

最小值.

VDE=4,四边形DEFG为矩形,

.\GF=DE,MN=EF,

，MP=FN」-DE=2,

2

.*.NP=MN-MP=EF-MP=1,

PF2+PG=2PN2+2FN2=2Xl2+2X2=10.

故选:D.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三

边关系找出PN的最小值是解题的关键.

12（2018•天津・3ABCD中，，分别为AD,BC的中点，为对角线BD上的一个动点,

则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）

【答案】D

【解析】分析：点E关于BD的对称点E'在线段CD上，得E'为CD中点，连接

AE',它与BD的交点即为点P,PA+PE的最小值就是线段AE'的长度；通过证明直角三角形

ADE'g直角三角形ABF即可得解.

详解：过点E作关于BD的对称点E',连接AE',交BD于点P.

...PA+PE的最小值AE'；

•••E为AD的中点,

.•.E'为CD的中点，

•••四边形ABCD是正方形,

，AB=BC=CD=DA,ZABF=ZADE'=90°,

，DE'=BF,

AAABF^AADEz,

，AE'=AF.

故选D.

点睛：本题考查了轴对称一最短路线问题、正方形的性质.此题主要是利用“两点之间线段

最短”和“任意两边之和大于第三边”.因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点

A'（或E'）,再连接EA'（或AE'）即可.

13（2018•四川自贡•4分）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转

60°,得到线段BM,连接AM并延长交CD于N,连接MC,则aMNC的面积为（）

A.如-l2B,亚T2C.M-12D.泥T2

2a2a4a4a

【分析】作MG±BC于G,M11±CD于H,根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形,

根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH,根据三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：作MG±BC于G,MH±CD于H,

则BG=GC,AB〃MG〃CD,

；.AM=MN,

VMH±CD,ZD=90°,

，MH〃AD,

.\NH=HD,

由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形,

；.MC=BC=a,

由题意得，ZMCD=30",

...MH=—MC=^a,CH=^-a,

222

.♦.DH=a-返a,

2

.*.CN=CH-NH=^-a-

（a-返a）=（V3-1）a,

22

AAMNC—X^-X（

22

aJ,故选：C.

【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质

是解题的关键.

14（2018•台湾•分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A

点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若炳,

BC=13,NBEA=60°,则图3中AF的长度为何？（）

A.2B.4V3D.4V3

【分析】作AH±BC于H.则四边形AFCHb.在RtAABH中，解直角三角形即可解决

问题；

【解答】解：作AHLBC于H.则四边形AFCHF.

在RtZ\AHB中，ZABH=30°,

.•.BH=AB-cos30°=9,

.\CH=BC-BH=13-9=4,

；.AF=CH=4,

故选:B.

【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

15.(2018•浙江宁波•4分)在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形

纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被

这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S”图2中阴影部分

的面积为S2.当AD-AB=2时，S-2-S.的值为()

A.2aB.2bC.2a-2bD.-2b

【考点】正方形的性质

【分析】利用面积的和差分别表示出&和然后利用整式的混合运算计算它们的差.

【解答］解：S>=(AB-a)・a+(CD-b)(AD-a)=(AB-a)・a+(AB-b)(AD-a),

S2=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a),

/.S2-S1=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)-(AB-a)«a-(AB-b)(AD-a)=(AD-a)(AB

-AB+b)+(AB-a)(a-b-a)=b,AD-ab-b*AB+ab=b(AD-AB)

=2b.故选：B.

【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思

想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括

号括起来.也考查了正方形的性质.

16(2018•重庆(A)•4分)下列命题正确的是

A.平行四边形的对角线互相垂直平分B.矩形的对角线互相垂直平分

C.菱形的对角线互相平分且相等D.正方形的对角线互相垂直平分

【考点】四边形的对角线的性质

【解析】A.错误。平行四边形的对角线

互相平分。

B.错误。矩形的对角线互相平分且相等。C.错误。菱形的对角线互相垂

直平分，不一定相等。I).正确。正方形的对角线互相垂直平分。另外，

正方形的对角线也相等。

【点评】此题主要考查四边形的对角线的性质，属于中考当中的简单题。17

(2018•广东•3分)下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()

A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图