2021届人教a版 平面向量 单元测试 (二)

平面向量

一、单选题

1.已知向量4=(1,2),5=(0,—2),1=(-1,4),若(2a一5)//小贝按数4=()

A.-3B.-C.1D.3

3

【答案】A

【解析】

因为向量@=(1,2),B=(O,-2),c=(-l,A),所以22—5=(2,6),又因为

(2a-b)//c,所以2几+6=0,解得尤=一3,故选A.

2.已知抛物线C:V=4x的焦点是F,过点尸的直线与抛物线C相交于P、。两点，

且点Q在第一象限，若3而=①，则直线PQ的斜率是()

A.1B.且C.72D.y/j

3

【答案】D

【解析】

设尸(玉,乂),。(々,必)，由抛物线的方程可知,抛物线的焦点尸(1,0),

因为3而=而，则3(1一芯,一,)=(%2-1,%)，所以%=-3乂，

又设过焦点的直线的斜率为％,所以方程为y=%(x-D,

v=^(x-l),44

联立方程组｛；,2=4x，得y-7＞一4=0,所以,+%=%，,%=-4，

代入可得攵=JL故选D.

点晴：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合考查，其中解答中涉及到直线与抛物线

的位置关系的应用，直线方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和

解答问题的能力，本题的解答中把直线方程代入抛物线方程，转化为根与系数的关系,

以及韦达定理的应用是解答的关键.

3.已知平面向量之=(2,-1),5=(1,x).若万〃5,则》=().

11

A.一一B.-2C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

利用共线向量定理的坐标运算即可.

【详解】

因为万〃B，所以2xx-(-1)x1=0,所以x=-；.

故选：A

【点睛】

本题考查向量共线的坐标运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

4.已知向量4=(2,机)，,若a//B,则实数等于()

A.-2B.2C.2或一2D.0

【答案】C

【解析】

试题分析：由2/力，可得4一机?=。；.〃?=±2,选c

考点：向量共线的充要条件

5,若点A（a,0）,8（0,2）,C（l,3）共线，则。的值为（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.

【详解】

由题意，可知由=（1,1），又6=（一0,2），点A（a,0）,3（0,2）,C（l,3）共线，则

BC//AB,即一。=2，所以a=—2,故选A.

【点睛】

本题主要考查三点共线的条件，难度较小.

6.在边长为1的正中，BD=XBA，CE=yCA，x>0,y>0且x+y=l,则CD

•的最大值为（）

5333

A.—B.C.—D.

8482

【答案】C

【解析】

【分析】

表示而•诙=（而+X或）（阮+y5）=一1+^^^,结合X〉O,x〉o,

1______3

x+y=l,由此能求出当x=y=彳时，CZ>5七的最大值为一石.

2o

【详解】

解：由题意得丽•丽=（函+而）（而+庵），

BD=xBA-CE=yCA,x>0,y>0且x+y=l,

CD-BE^（CB+BDj[BC+CEy

^（CB+xBA]{BC+yCA）=-1+X+y^Xy,

,/x>0,x>0,光+y=l,

1

...初，-,

4

+工

228

当且仅当x=y=g时取等号，

1一3

.•.当x=y=一时，前.诙的最大值为—2.

28

故选C.

【点睛】

本题考查向量知识的运用，向量的加法，数量积及基本不等式的运用，综合性强，属于

中档题.

7.已知空间向量西,朝，近两两相互垂直，且|砺=|丽=|反R而若

丽=x0X+y砺+z反则％+y+z的取值范围是（）

A.-与S'B.[T,l]C.[-V3,A/3]D.[-2,2]

【答案】C

【解析】

【分析】

设|砺=|砺=|3|=|方|=r,根据题意可得l=/+y2+z2,再利用基本不等式,

即可得答案；

【详解】

^|O4=|0B|=|0C|=|0P|=r,

OP=xOA+yOB+zOC=>I=x2+y2+z2,

・・•(x+y+z)2=x2+y2+z24-2xy+2yz+2xz<3(x2+y2+z2)=3,

等号成立，当且仅当x=y=z=±Y3，

3

->/3Kx+y+z<'x/s>

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积、基本不等式，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意

验证等号成立的条件.

8.若A4BC是边长为1的等边三角形，向量福=3BC=a>6=b，有下列命

题：

①同=|"］；②a+5与a—石垂直；③a+石+c=C；®a+b=c.

其中正确命题的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量模长可判断命题①的正误；计算£+B与的数量积，可判断命题②的正误:

利用平面向量加法法则可判断命题③④的正误.

【详解】

rr

Qa="=l,命题①正确；

+=-|^|=0,命题②正确；

■.-a+b+c^BC+CA+AB=6>命题③正确；

•：a+b-BC+CA-BA--c>命题④错误.

因此，正确命题的个数为3.

故选：D.

【点睛】

本题考查与平面向量相关命题真假的判断，涉及平面向量加法法则、垂直向量的表示以

及向量模的概念，考查推理能力，属于中等题.

9.已知平面向量而，而满足网=|丽|=1,PAPB=-^,若阂=1,则%|

的最大值为（）

A.75+1B.V3-1C.V2+1D.V3+1

【答案】D

【解析】

【分析】

PAPB

,可求出进而利用余弦定理,

设中，丽的夹角为。，由cos8=6=2，

HR3

可求出网=6,再结合“]=（而+叼2=4+2通?册，从而求出丽x工的

最大值，即可求出|恁|的最大值.

【详解】

一一APAPB1

由题意，设PA,尸8的夹角为。，则cos。

因为ee[0,7i],所以。=学27r，

在△PAB中，由余弦定理得,

“闫研+|网：2国H网cos8=l+l+2xg=3,

所以|研2=(而+比/二宿

+2AB?BCBC^4+2AB?BC,

当瓶，肥夹角为0时，福x配取得最大值，(AB^BC\创cos0=6,

\)max

所以|才q的最大值为“+26=J(I+G『=1+6.

故选：D.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算及数量积，考查利用余弦定理解三角形，考查学生的计算

求解能力与推理能力，属于中档题.

10.已知平面向量a=(x,l),3=(1,2),若£/力，则实数x=()

A.-2B.5C.-D.-5

2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2x-l=0,解可得x的值，即可得答案.

【详解】

根据题意，向量：=(x,l),B=(l,2),,

若G〃B，则有2x-l=0,

所以X=—.

2

故选C.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，关键是向量平行的坐标表示方法.

JT3

11.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,8=—,cosA=-,向量

45

BABC=28则b的值为：O

5

A.3B.-C.4D.5

2

【答案】D

【解析】

【分析】

由=可以得到ac=28a，用正弦定理把兄。分别用力表示，然后代入

ac=28后中，求出入

【详解】

由题意可知：BA-BC=28=>ac=28V2）在/ABC中，

cosA=-sinA=Vl-cos2A=—,

55

7

sinC=sin（7-A-B）=sin（A+3）=sinAcosB+cosAsinB=—V2,

4/r-,7.

__a_=__b__—__c_—sa—_b__—__c__—sa—yj2bc—o

由正弦定理可知：sinAsin8sinC,6-J255

5T10

代入

ac=280中，得（4缶>（［。）=28五=6=25=5=5,故本题选D。

【点睛】

本题考查了向量数量积运算、正弦定理。

12.已知1=(-1,3),A=(x,-1),S.a±b,贝!|x=()

A.—3B.3C.----D.—

33

【答案】A

【解析】

【分析】

利用垂直向量的坐标表示可得出关于x的等式，解出即可.

【详解】

由2=(—1,3),^=(x,-l),且£小，所以£%=—x—3=0,解得x=—3.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用平面向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题

13.已知ai+az+...+a2oi5=O,Kan=(3,4)(l<n<2010,"01\1"),贝!|ai+a2+...+an-i+an+i+...+a2ois的模

为.

【答案】5

【解析】由题意知。工+。2*."+。"-工"。"+工+”.+。2CIS--3J~4),所以所求模为S

14.已知点尸在边长为4的等边三角形4BC内,满足AP=AAB+JJAC，且24+3〃=1,

延长AP交边8c于点O,BD=2DC,则丽.丽的值为.

9

【答案】--

【解析】

【分析】

--1一2-----

不妨令丽=3"AQ，由反方=2流可得=+可用A与、AC表示

AP，由平面向量基本定理可列出方程组求得;I、〃，进而用丽、衣表示丽，按

向量数量积的运算律求解即可.

【详解】

4,P,。共线，不妨令而=3机而5，又新5=2比，

——1一7—•

..而+通=-2通+2/即AD=-AB+-AC,

又工而=而,

AP=mAB+2mAC=AAB+pAC,

3m

Z=

jU=2A8——1——1——

因此,=>VAP=-AB+-AC

24+3〃=1j_84

4=

4

_______7__i__

则丽=AB-AP='丽——AC,

84

——1一1—.7—1一

7—23------

^-[—AB+—AB-AC-

6416

_9

故答案为：--.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理、线性运算、数量积运算，属于中档题.

15.已知向量£=(1,力石=(x,y—2),其中x>0,若£与坂共线，则号的最小值为

【答案】2垃

【解析】

【分析】

根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出t=x+2,利

XX

用基本不等式求得其最小值，得到结果.

【详解】

=b=(x,y-2),其中x>0,且5与B共线

lx(y-2)=x-x,即y=j?+2

；.y=£^l=x+l>2y[2,当且仅当尤=2即x=75时取等号

XXXX

.♦.)的最小值为2枝.

x

【点睛】

该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利

用基本不等式求最值，属于简单题目.

16.已知向量五，3的夹角为:，a=(V3,l)»住|=1，贝引石一区|=.

【答案】V3

【解析】

【分析】

根据己=(百,1)求出|不，再结合|方|=1以及向量石的夹角，可求出五苇，进而可求

出|有一石

【详解】

因为云=(河1),则同=2,则五•石=同间cos；=1,

所以怔一=J(a—b)2=74—2+1=V3-

故答案为百.

【点睛】

本题主要考查向量模的运算，熟记数量积计算公式即可求解，属于基础题型.

三、解答题

17.如图，。是AA3C所在平面内一点，NAO8=150°4403=150°,向量

OA,OB,OC的模分别为2,V3,4.

(1)^.\OA+OB+OC\；

(2)若OC=+求实数的值.

【答案】(1)|(M+O3+OC|=3；(2)m=n--A.

【解析】

试题分析：(1)将|次+砺+反|平方，再利用向量基本运算进行解题；(2)化简

OC=mOA+nOB即可得方程组，再解相关方程组.

试题解析：(1)•••NA08=150°ZA08=150".・.NBOC=90"

Q40B=-3,OC0S=0,6W0C=-4\OA+OB+OC^

=(OA+OB+OCf

=OV+OB2+OC2+2OAOB+2OCOB+20AOC=9,\OA+OB+OC\=3

-—-♦—*4，〃-3〃=-4

(2)由0C=加。4+〃。8可得，所以I，解得〃?=〃=-4

-3m+3n=0

考点：1、向量的模；2、向量的数量积；3、向量的相等.

18.过点P(4,2)作直线/交x轴于点A,交)'轴于点8,且，点P在A与3之间

(1)当丽=3而时，求直线/的方程；

(2)当Q•丽取得最小值时，求直线/的方程

【答案】(I)x+6y-16=0；(II)x+y-6=0.

【解析】

【分析】

设/：y=k(x-4)+2,得—B(0,2-4k),由P位于AB两点之间，

21

可得左＜0：(I)由而=3而，可得：=3-(-4),解得人=一^，利用点斜式可得结

K6

果；(H)APPB=S(一女)+(一：))，利用基本不等式可得结果.

【详解】

显然直线/的斜率k存在且左。0,

设/：)=左(%一4)+2,得A(4—/,()],3(0,2—4k)

2

因为P位于AB两点之间，所以4一一＞4且2—4%＞2,所以左＜()

（1）AP=3PB>所以?=3・（-4）,所以％=-J

k6

直线/的方程为x+6y-16=0

>16,当—4=一!即％=—1时，等号成立

k

所以当而•丽取得最小值时直线I的方程为x+y-6=0

【点睛】

本题主要考查平面向量线性运算的坐标表示以及直线点斜式方程的应用，考查了基本不

等式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

19.已知向量£=(2,0),B=(l,4).

(I)若向量Q+B与1+2分平行，求实数A的值;

(D)若向量+B与Z+2B的夹角为锐角，求实数A的取值范围.

191

【答案】(1)—；(2)k〉---且后;二.

222

【解析】

【详解】

试题分析：(1)由向量平行坐标表示得8X(2A+1)—4X4=0,解方程得实数〃的值;

(2)即AG+5与G+2日不共线且数量积为正，利用向量数量积坐标表示得4X(2〃

+D+4X8X)且8X(2什DW4X4,解不等式可得实数〃的取值范围.

试题解析：解：(1)依题意得在不十石=(24+1,4),万+25=(4,8),

：向量力2+5与万+2行平行

A8X（2A+1）-4X4=0,解得4=L

2

(2)由(1)得"万+5=(2A+1,4),万+25=(4,8)

,••向量4土+B与5+2日的夹角为锐角，

；.4X(2A+l)+4X8>0,且8X(2X+1)W4X4

.9r1

..发>一一且一.

22

点睛：(D向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供

了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.

(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合

的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决

这类问题的一般方法.

20.如图，在平面四边形ABC。中，AB与。。不平行，E,尸分别是边AD,BC

的中点.

(1)已知而=2就+〃而，求实数/I,〃的值；

(2)已知AB=4,CD=6,EF-DC=求线段EF的长度.

【答案】(=)；(2)

【解析】

【分析】

(1)根据£,F分别是边AD,3c的中点有丽=_丽，声=_方，再用上下两个四

边形的向量关系表达而相加即可.

(2)由(1)有方=(诙+(而,再将丽.£)6=24利用方G而表达，进而得出

通•配=12,再平方方=‘成+’而代入福•反=12与A5=4,CD=6求解

22

即可.

【详解】

(1)因为E,尸分别是边A£>,8c的中点，故而=_丽，卮=—丽.

又而=前+反+CT…①，EF^EA+AB+BF-®J

①+②可得2丽=加+A月，故丽=；觉+(而.故>l=g,〃=g.

(2)由(工)有乔=；加+(4月，故乔.反=24有反+；而)万心=24,

故仁读+g回.反=24=觉?+而觉=48,又C£>=6,故福反=12.

.1.1----,2]?,------>\21/----»2.-------,2\

又EF=3DC+]AB,故EF=-(DC+ABJ=-^DC+2DCAB+AB)

BPEF2=；(36+242+16)=19,故律长为如.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算,包括基底向量的用法以及向量数量积与模长的综

合运用，属于中档题.

21.设向量£=(cosa"sina),万=(cos/,sin/?),其中；1>0,0<«</?<^,且

a+b与a-b互相垂直.

(1)求实数％的值；

vV4

(2)若a.b=三，且tan，=2,求tana的值.

【答案】(1)1；(2)

2

【解析】

【分析】

(1)由〉力与万-5互相垂直可得(及+办(〃-5)=求"2=0,展开化简即得4=1.

4433

(2)由得cos(a-/?)=g.sin(a-/?)=--.tan(^z-^)=--,最后

tan(a一夕)+tan/?

求tana=tan(a-尸+/?)=

1-tan(a-')tan尸2

【详解】

解：(1)由。