云南省昭通市三中2025届高二上数学期末考试试题含解析

云南省昭通市三中2025届高二上数学期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（）A.10 B.30C.40 D.462．已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.3．等差数列前项和，已知，，则的值是（）.A. B.C. D.4．已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（）①②③A.0 B.1C.2 D.35．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B.C. D.6．已知向量，，，若，则实数（）A. B.C. D.7．椭圆焦距为（）A. B.8C.4 D.8．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.9．已知函数，则的值为（）A. B.C.0 D.110．下列关系中，正确的是（）A. B.C. D.11．已知函数，则等于（）A.0 B.2C. D.12．已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为___________.14．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________15．过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则_________.16．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.（1）当P为弦的中点时，求直线l的方程；（2）若直线l与直线平行，求弦的长.18．（12分）已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）19．（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.20．（12分）在中，是的中点，，现将该平行四边形沿对角线折成直二面角，如图：（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，FA⊥平面ABCD，ED//FA，且AB=FA=2ED=2（1）求证：平面FAC⊥平面EFC；（2）求多面体ABCDEF的体积22．（10分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意正整数n，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】可分为女教师0人，男教师3人和女教师1人，男教师2人两种情况，用组合数表示计算即得解【详解】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择；若女教师为1人，则男教师2人，有种选择；故女教师最多为1人的选法种数为种故选：C2、B【解析】根据给定的不等式构造函数，再探讨函数的性质，借助性质解不等式作答.【详解】依题意，令，因是R上的奇函数，则，即是R上的奇函数，当时，，则有在单调递增，又函数在R上连续，因此，函数在R上单调递增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故选：B3、C【解析】由题意，设等差数列的公差为，则，故，故，故选4、C【解析】根据等差数列的定义判断【详解】设的公差为，则，是等差数列，，是常数列，也是等差数列，若，则不是等差数列，故选：C5、D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6、C【解析】先根据题意求出，然后再根据得出，最后通过计算得出结果.【详解】因为，，所以，又，，所以，即，解得.故选：.【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量垂直的相关性质，熟记运算法则即可，属于常考题型.7、A【解析】由题意椭圆的焦点在轴上，故，求解即可【详解】由题意，，故椭圆的焦点在轴上故焦距故选：A8、B【解析】“存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出.【详解】解：因为“存在，使得”为真命题，所以，因此上述命题得个充分不必要条件是.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9、B【解析】对函数求导，然后将代入导数中可得结果.【详解】，则，则，故选：B10、B【解析】根据对数函数的性质判断A，根据指数函数的性质判断B，根据正弦函数的性质及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质及诱导公式判断D；【详解】解：对于A：因为，，，故A错误；对于B：因为在定义域上单调递减，因为，所以，又，，因为在上单调递增，所以，所以，所以，故B正确；对于C：因为在上单调递减，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D：因为在上单调递减，又，所以，又，所以，故D错误；故选：B11、D【解析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.【详解】由题意，，故选：D.12、C【解析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.【详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.故选C【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分别计算，，作差得到答案.【详解】分别是其所在棱的中点，则正四棱锥底面边长和高均为，，，故.故答案为：.14、【解析】根据焦点在轴的双曲线的标准方程的特征可得答案.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，则，解得.所以的取值范围为故答案为：15、2【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，由可求.【详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，设，，则，∴，∴.故答案为：2.16、【解析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案【详解】由已知得，故，∵的面积为，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴.即的取值范围为.故答案为点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意，，求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解；（2）由题意，利用点斜式求出直线l的方程，然后由点到直线的距离公式求出弦心距，最后根据弦长公式即可求解.小问1详解】解：由题意，圆心，P为弦的中点时，由圆的性质有，又，所以，所以直线l的方程为，即；【小问2详解】解：因为直线l与直线平行，所以，所以直线的方程为，即，因为圆心到直线的距离，又半径，所以由弦长公式得.18、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即可得到轨迹方程；（2）设直线方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，则，代入韦达定理，即可求出面积最小值；【小问1详解】解：由已知可得，，即点到定点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点的轨迹方程为【小问2详解】解：当直线的倾斜角为时，与曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的倾斜角不为时，设直线方程为，，，，，由，可得，，所以，，，，所以当且仅当时取等号，即面积的最小值为；19、(1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2)该公司平均每天的利润有1000元．(3).【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率.【详解】（1）每天包裹数量的平均数为；或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为设中位数为x，易知，则，解得x=260.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为(元)，所以该公司平均每天的利润有1000元（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重（千克），礼物B、C、D共重（千克），都超过5千克，故E和F的重量数分别有，，，，共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）故所求概率为.【点睛】主要考查了频率分布直方图的平均数，中位数求解，以及古典概型，属于中档题.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先求出BD，通过勾股定理的逆定理得，再由面面垂直的性质得线面垂直，从而得线线垂直；（2）作出二面角，然后再解直角三形即可.【小问1详解】在中，，，由余弦定理有：，∴，∴，即.又∵二面角是直二面角，平面ABD平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.【小问2详解】因为点是的中点，在中，由（1）易知,.过点作垂直的延长线于，再连接.由（1）有AB⊥平面BCD，又平面BCD，所以，又，平面，平面，且,所以平面，又平面，所以，因此的大小即二面角的大小.而在中有,，可得，所以，所以.所以二面角的余弦值是.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)连接BD交AC于点O，设FC的中点为P，连接OP，EP，证明BD//EP，BD⊥平面FAC即可推理作答.(2)求出三棱锥和四棱锥的体积即可计算作答.【小问1详解】连接BD交AC于点O，设FC的中点为P，连接OP，EP，如图，菱形ABCD中，O为AC的中点，则OP//FA，且，而ED//FA，且FA=2ED，于是得OP//ED，且OP=ED，即有四边形OPED为平行四边形，则OD//EP，即BD//EP，因为FA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，则FA⊥BD，又四边形ABCD是菱形，即BD⊥AC，而FAAC=A，平面FAC，因此，BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP平面EFC，所以平面FAC⊥平面EFC.【小问2详解】由已知，是正三角形，，则，取AD的中点G，连接CG，而△ACD为正三角形，从而有CG⊥AD，且，因FA⊥平面ABCD，FA平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，又平面ADEF平面ABCD=AD，而CG平面ABCD，因此，CG⊥平面ADEF，则点C到平面ADEF的距离为，又，于是得，所以多面体ABCDEF的体积.22、（1）见解析（2）见解析【解析】(1)