黑龙江哈尔滨市第九中学2025届高二上数学期末考试试题含解析

黑龙江哈尔滨市第九中学2025届高二上数学期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A. B.C. D.2．“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．已知数列的前n项和为，，，则（）A. B.C. D.4．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（）A. B.13C.3 D.55．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A. B.C. D.6．已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（）A.平面ABC的一个法向量是 B.的一个单位向量的坐标是C. D.与是共线向量7．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是A. B.C. D.8．若倾斜角为的直线过两点，则实数（）A. B.C. D.9．若命题“或”与命题“非”都是真命题，则A.命题与命题都是真命题B.命题与命题都是假命题C.命题是真命题，命题是假命题D.命题是假命题，命题是真命题10．已知双曲线，其渐近线方程为，则a的值为（）A. B.C. D.211．已知直线和互相垂直，则实数的值为（）A. B.C.或 D.12．过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A.或 B.2或C.或 D.2或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为______14．阿基米德（公元前287—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆经过点，则当取得最大值时，椭圆的面积为_________15．经过两点的双曲线的标准方程是________16．若，满足约束条件，则的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设二次函数.（1）若是函数的两个零点，且最小值为.①求证：；②当且仅当a在什么范围内时，函数在区间上存在最小值?（2）若任意实数t，在闭区间上总存在两实数m，n，使得成立，求实数a的取值范围.18．（12分）已知函数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若在上存在极值点，证明：.19．（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.20．（12分）已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.21．（12分）已知函数（1）求f(x)在点处的切线方程；（2）求证：22．（10分）已知点，直线：，直线m过点N且与垂直，直线m交圆于两点A，B.（1）求直线m的方程；（2）求弦AB的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据原函数图象判断出函数单调性，由此判断导函数的图象.【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.所以A选项符合.故选：A2、B【解析】因但3、D【解析】根据给定递推公式求出即可计算作答.【详解】因数列的前n项和为，，，则，，，所以.故选：D4、B【解析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，故选：B5、C【解析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.故选：C.6、A【解析】根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】因为，，，故可得，因为，故，不平行，则D错误；对A：不妨记向量为，则，又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确；对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误；对C：因为，故可得，故C错误；故选：A.7、D【解析】转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）.【详解】设，圆心为，则，当时，取到最大值，∴最大值为故选：D.【点睛】本题考查圆上点与椭圆上点的距离的最值问题，解题关键是圆上的点转化为圆心，利用圆心到动点距离的最值加（或减）半径得出结论8、A【解析】解方程即得解.【详解】解：由题得.故选：A9、D【解析】因为非p为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题，选D.10、A【解析】由双曲线方程，根据其渐近线方程有，求参数值即可.【详解】由渐近线，结合双曲线方程，∴，可得.故选：A.11、B【解析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，求解即可.【详解】由已知可得，解得.故选：B.12、D【解析】求得点A，B的坐标，利用转化为坐标比求解.【详解】不妨设直线，由题意得，解得，即；由得，即，因为，所以，所以当时，，；当时，，则，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再利用点到直线的距离公式进行求解.【详解】将抛物线化为，由抛物线定义得点到准线的距离为，即，解得故答案为：.14、【解析】利用基本不等式得出取得最大值时的条件结合可知，再利用点在椭圆方程上，故可求得、的值,进而求出椭圆的面积.详解】由基本不等式可得，当且仅当时取得最大值，由可知，∵椭圆经过点，∴，解得，，则椭圆的面积为.故答案为：.15、【解析】设双曲线的标准方程将点坐标代入求参数，即可确定标准方程.【详解】令，则，可得，令，则，无解.故双曲线的标准方程是.故答案为：.16、0【解析】作出约束条件对应的可行域，当目标函数过点时，取得最小值，求解即可.【详解】作出约束条件对应的可行域，如下图阴影部分，联立，可得交点为，目标函数可化为，当目标函数过点时，取得最小值，即.故答案为：0.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）①证明见解析；②（2）【解析】（1）①根据二次函数的性质和一元二次方程的求根公式，求得，即可证得；②由①知，区间，根据二次函数的性质，即可求解.（2）存在两实数，使得成立，转化为在区间上，有成立，设﹐结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：①由题意，函数二次函数，因为最小值为，可得，即，因为，所以根据求根公式得，所以.②由①知，区间因为，对称轴，且函数在区间上存在最小值，所以，因为，所以解得，所以，即a的取值范围为.【小问2详解】解：存在两实数，使得成立，则在区间上，有成立，设﹐函数对称轴为①当即时，在上单调减，，此时；②当即时，，此时③当即时，，此时；④当即时，，此时；综合①②③④得，且最小值为，因为对任意实数t，都有，所以只需，即，所以实数a的取值范围.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由题得，在，上为单调递增的函数，在，上恒成立，分类讨论，再次利用导数研究函数的最值即可；（2）由（1）可知，在存在极值点，则且，求得，再两次求导即可得结论.【小问1详解】由题得，在，上为单调递增的函数，在，上恒成立，设，当时，由，得，在，上为增函数，则，在,上恒成立，满足命题，当时，由，得，在上为减函数，，时，，即，不满足恒成立，不成立，综上：的取值范围为.小问2详解】证明：由（1）可知，在存在极值点，则且即：要证只需证即证又由（1）可知在上为增函数，且,成立.要证只需证即证：设则即在上增函数在为增函数成立.综上，成立.19、（1）（2）【解析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.【小问1详解】，当时，，当时，，也满足上式，数列的通项公式为：.【小问2详解】由（1）可得，①②①②得，20、(1);(2)见解析.【解析】(1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程;(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设,直线,则直线分别和抛物线方程联立,解得利用,结合直线方程,即可证得直线的斜率为定值.【详解】(1)设,则,两式相减,得:由弦中点纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程.(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理.直线的斜率为定值.【点睛】本题考查应用点差法处理中点弦问题,直线与抛物线中,斜率为定值问题,考查分析问题的能力,考查学生的计算能力,难度较难.21、（1）；（2）证明见解析【解析】（1）求导，进而得到，，写出切线方程；（2）将转化为，设，，利用导数法证明.【详解】（1）函数的定义域是，可得又，所以f(x)在点处的切线方程为整理得（或斜截式方程）（2）要证只