专题8.6 双曲线（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题8.6双曲线【十一大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1双曲线的定义及其应用】 4【题型2双曲线的标准方程】 6【题型3曲线方程与双曲线】 8【题型4求双曲线的轨迹方程】 9【题型5双曲线中焦点三角形问题】 11【题型6双曲线上点到焦点的距离及最值问题】 14【题型7双曲线中线段和、差的最值问题】 16【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】 19【题型9双曲线的简单几何性质问题】 21【题型10双曲线的实际应用问题】 24【题型11椭圆与双曲线综合】 271、双曲线考点要求真题统计考情分析(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程(2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)(3)了解双曲线的简单应用2023年新高考I卷：第16题，5分2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分2023年北京卷：第12题，5分2023年天津卷：第9题，5分2024年新高考I卷：第12题，5分2024年全国甲卷（理数）：第5题，5分双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.【知识点1双曲线及其性质】1．双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系3．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：图形标准方程范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b离心率渐近线方程4．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.【知识点2双曲线方程的求解方法】1．双曲线方程的求解(1)用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.(2)用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.【知识点3双曲线的焦点三角形的相关结论】1．双曲线的焦点三角形(1)焦点三角形的概念

设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用结论

若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为.【知识点4双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】1．求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.【知识点5双曲线中的最值问题的解题策略】1．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【方法技巧与总结】1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0).【题型1双曲线的定义及其应用】【例1】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：x216−y29=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则“PF1=8”是“PF2A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.【解答过程】a=4,b=3,c=4当点P在左支时，PF1的最小值为当点P在右支时，PF1的最小值为因为PF1=8由双曲线的定义PF2−当PF2=16，点P在左支时，PF1故为充分不必要条件，故选：D.【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，F1A．3c−a B．3c+a C．2c−a D．2c+a【解题思路】借助双曲线定义计算即可得.【解答过程】由双曲线定义可知：PF则三角形△PF1F故PF故选：D.【变式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线C:x2a2−y216=1的左右焦点依次为F1，A．−6 B．6 C．8 D．10【解题思路】根据题意，得b=4，c=5，求出a2=9，根据双曲线的定义即可求出【解答过程】由题意知，b=4，2c=10，∴a∴双曲线C:x∵点P在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义得，PF故选：B.【变式1-3】（2024·四川达州·二模）设F1，F2是双曲线C：x24−y23=1的左、右焦点，过F2的直线与A．5 B．6 C．8 D．12【解题思路】由双曲线的定义知F1P−PF2=2a=4【解答过程】双曲线C：x24−y2由双曲线的定义知：F1P−PQ=所以F=F故选：C.【题型2双曲线的标准方程】【例2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线C经过点0,1，离心率为2，则C的标准方程为（

）A．x2−yC．y2−x【解题思路】根据题意设出双曲线方程，在根据离心率公式，即可求出。【解答过程】由题意知，双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2因为双曲线C经过点(0,1)，所以a=1，因为e=ca=2所以b2所以双曲线的标准方程为y2故选：C.【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A．x24−y2=1 B．x【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知2a=b，c=5，再结合a2+【解答过程】由题知c=5，根据题意，由双曲线的定义知2a=b，又a所以5a2=5，得到a故选：D.【变式2-2】（2024·湖南岳阳·一模）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（A．x2−yC．x23−【解题思路】利用待定系数法可求双曲线C的标准方程.【解答过程】设双曲线的方程为：x2因为离心率e=2，故半焦距c=2a，故b=3而双曲线过P(6,3)，故6a故双曲线的方程为：x2故选：C.【变式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A．x29−C．x26−【解题思路】先根据双曲线的定义求出F2A,F1A，在△AF【解答过程】因为F1A=2又因为点A在C上，所以F1即2F2A在△AF1F所以sin∠A又0°<∠AF2F1<180°则S△AF1则F1F2所以b2所以C的方程为x2故选：B.

【题型3曲线方程与双曲线】【例3】（2024·四川南充·二模）已知m，n是实数，则“mn<0”是“曲线mx2+ny2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答过程】若曲线mx2+ny2=1是焦点在x轴的双曲线，则若m=−1，n=1满足mn<0，但是曲线y2−x所以“mn<0”是“曲线mx2+n故选：B.【变式3-1】（23-24高二上·上海·期末）当ab<0时，方程ax2−aA．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线【解题思路】化简方程，然后判断表示的曲线即可．【解答过程】当ab＜0时，方程ax2−a∴方程表示双曲线．焦点坐标在y轴上；故选：D．【变式3-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线C:x24+y2m=1(m≠0)，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】若m∈(0,4)，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当曲线C表示焦点在x轴上的双曲线时m<0.【解答过程】若m∈(0,4)，则曲线C:x24若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是m<0，此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，故选：A.【变式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）“m>1”是“方程x2m−1−A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解.【解答过程】若m>1，则m−1>0,m+3>0，所以方程x2若方程x2m−1−y2m+3=1所以“m>1”是“方程x2故选：A.【题型4求双曲线的轨迹方程】【例4】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆F1:(x+4)2+A．x2−yC．x215−【解题思路】设Mx,y，半径为r，根据给定条件可得MF2−MF1【解答过程】圆F1：x+42+y2圆F2：x−42+y2设动圆圆心Mx,y，半径为r，由动圆M与圆F1，得MF1=r+1因此圆心M的轨迹是以F1,F即a=1，半焦距c=4，虚半轴长b=c所以动圆圆心M的轨迹方程是x2故选：B.【变式4-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，F1F2=6，动点P满足A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在【解题思路】由PF【解答过程】依题意，F1、F2是两个定点，且P满足PF1−故选：B.【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所A,B，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是320m/s，在A哨所听到的爆炸声的时间比在B哨所听到时迟4s．若以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为A．x2435600−C．x2435600+【解题思路】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可.【解答过程】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A−800,0设Mx,y则MA−所以点M的轨迹为双曲线的右支，且a=640，c=800，∴b∴点M的轨迹方程为x2故选：B.【变式4-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：x+32+y2=1，圆N：x−32+y2A．x2−yC．x2−y【解题思路】设圆P的半径为r，外切关系可得MP=r+1，NP=r+3，进而得【解答过程】由圆M：x+32+y2=1由圆N：x−32+y2=9设圆P的半径为r，则有MP=r+1，NP两式相减得NP−所以圆心P的运动轨迹为以M−3,0、N又9−1=8，所以C的方程为x2故选：B．【题型5双曲线中焦点三角形问题】【例5】（2024·四川成都·三模）设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的左，右焦点，点PA．43 B．37 C．4552【解题思路】利用双曲线的定义可得PF2=4【解答过程】∵双曲线C:x∴a=1,b=3,c=2，又点P在双曲线C的右支上，所以PF1−PF又F1∴△PF1F故选：B.【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知点A−2,0，A′2,0，动点P满足4kAP⋅kA′P=1，圆E：x2+y2=5与点A．5+6 C．5+26 【解题思路】根据题意先求出点P的轨迹方程，再画出图像，进而利用双曲线的定义和圆的性质得到△MBC的周长.【解答过程】设Px,y，根据4kAP⋅kA′P=1所以由4kAP⋅kA′P=1得第二步：设MC=d，由题意不妨令B−5,0，C5,0，则不妨设M在第一象限，MC=d，则MB=4+d，根据圆的性质可知所以4+d2+d故MC+MB=4+2d=26,故选：D.【变式5-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）设F1，F2是双曲线C：x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点A．2 B．4 C．8 D．16【解题思路】由双曲线的定义、正三角形的性质即可求解.【解答过程】根据双曲线定义有QF由于点P在线段F1F2又QF1=PF故选：C.【变式5-3】（2024·广西南宁·一模）设F1、F2是双曲线C:x28−y210=1的左、右两个焦点，A．5 B．8 C．10 D．12【解题思路】由题意可知P在以F1F2为直径的圆上，由双曲线的定义与三角形面积公式可求得S【解答过程】由题可知，F1−32因为OP=所以|OP|=1所以点P在以F1即△F1F故PF12又||PF所以32=||PF解得PF所以S△则△PF故选：A.【题型6双曲线上点到焦点的距离及最值问题】【例6】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x23−y2=1的右焦点为F，动点M在直线l:x=32上，线段FM交C于P点，过PA．62 B．33 C．63【解题思路】设出点P的坐标为x0,y0，由已知，用x0表示出PR【解答过程】由双曲线的对称性，不妨设点M在x轴上及其上方，如图，

依题意，F2,0，设Px0由x023所以PF=所以PRPF故选：D．【变式6-1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知F1，F2为双曲线C:x24−y22A．16 B．18 C．8+42 D．【解题思路】利用双曲线的定义表示PF【解答过程】因为F1，F2为双曲线C:x24所以PF所以P=PF2+16因为c=a2+b2=6故选：A.【变式6-2】（2024·河南郑州·一模）设F1，F2为双曲线C：x23−y2=1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点A．3−2 B．3+2 C．【解题思路】结合双曲线定义数形结合判断QF1+PQ取最小值时，P,Q,F2三点共线，联立直线及双曲线方程解出【解答过程】由双曲线定义得QF故Q如图示，当P,Q,F2三点共线，即Q在M位置时，∵F22,0,P(0,2)，故联立x23−y2=1，解得点故|QF故选：A.【变式6-3】（2024·山东日照·一模）过双曲线x24−y212=1的右支上一点P，分别向⊙C1:(x+4)A．28 B．29 C．30 D．32【解题思路】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x24−y212=1的左右焦点为F1−4,0，F【解答过程】由双曲线方程x24−可知双曲线方程的左、右焦点分别为F1−4,0，圆C1:x+42+y2圆C2:x−42+y2连接PF1，PF2，F1可得PM⃗+=2aP当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即PM+故选：C.【题型7\t"/gzsx/zj165992/_blank"\o"利用定义求双曲线中线段和、差的最值"双曲线中线段和、差的最值问题】【例7】（2024·河南郑州·一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y=±A．8 B．9 C．10 D．11【解题思路】先根据题意得双曲线的方程为x29−y2=1，再结合双曲线的定义得MF2=2a+MF【解答过程】由题意可得2a=6，即a=3，渐近线方程为y=±13x，即有ba=焦点为F1−10,0，由圆E:x2+y+62=1连接EF1，交双曲线于M，交圆于此时MN+MF则MN+MF故选：B.【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）设双曲线C：x2−y224=1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】根据双曲线的方程求出a,b,c的值，由双曲线的定义可得AF1+【解答过程】由双曲线C：x2a2=1，b2所以a=1，c=5，由双曲线的定义可得AF1−所以AF由双曲线的性质可知：AF2≥c−a=4，令A所以AF1+所以当t=4时，取得最小值4+44+2=7，此时点A即AF1+故选：C.【变式7-2】（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左焦点为F1，焦距为4，点A的坐标为(2,1)，P为双曲线右支上一动点，则PA．22 B．17 C．22+1【解题思路】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值．【解答过程】由题意可设双曲线的方程为x2则2a2=c2=4，即由双曲线的定义可得PF则PF当F2,A,P三点共线时，取得等号，则PF故选：C．【变式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点M1,2，点P是双曲线C：x24−y212=1左支上的动点，N是圆A．5−10 B．10−5 C．13−3【解题思路】利用圆的性质求出|PN|的最大值，由点M与抛物线右支的位置求出|PM|的最小值，再利用双曲线定义求解即得.【解答过程】双曲线C的半焦距c=4+12=4，圆D的圆心D−4,0是双曲线C圆D半径为r=1，显然点P在圆D外，PN≤PD+r，当且仅当NPM≥PF2−所以PM−PN≥PF故选：D.【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】【例8】（2024·安徽·模拟预测）双曲线x2a2−yA．3 B．2 C．23 D．【解题思路】由一条渐近线过点−1,2得ba=【解答过程】双曲线x2a2将点−1,2代入bx+ay=0中，得b故离心率e=c故选：A．【变式8-1】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F,A分别为E的右焦点和左顶点，点M−2,3A．3 B．2 C．62 D．【解题思路】根据S△AMF=92、点M−2,3【解答过程】由题设知，AF=a+c，则S所以a+c=3，且c>a，易知0<a<3又因为点M−2,3在E上，所以4a2因为a2+b2=则a4a3解得a=1或a=1±7（舍去）．所以a=1,c=2故E的离心率为ca故选：B．【变式8-2】（2024·四川雅安·三模）设F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点MA．3+12 B．3+1 C．2【解题思路】设M(x,y)，根据中点关系得M(2c,y)，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得y2=3c2，根据点M在双曲线上列方程求解即可【解答过程】由题意，F1−c,0,F2因为F2为线段MN的中点，所以x=2c，即M(2c,y)，则F因为F1M⊥F1又M在C:x2a结合b2=c2−解得e2=1+32或e2故选：A.【变式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0上存在关于原点中心对称的两点A．2,+∞ B．3,+∞ C．【解题思路】设点Ax,y，则可取C−3【解答过程】由题意可知：双曲线的渐近线方程为y=±b设点Ax,y，则可取C则x2a2解得b2>a2，即c2所以该双曲线离心率的取值范围是2,+故选：A.【题型9双曲线的简单几何性质问题】【例9】（2024·福建福州·模拟预测）以y=±3x为渐近线的双曲线可以是（

）A．x23−C．y23−【解题思路】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解.【解答过程】对于选项A，由x23−对于选项B，由x2−y对于选项C，由y23−对于选项D，由y2−x故选：B.【变式9-1】（2024·湖南·三模）双曲线C:y2a2−x2A．−4 B．4 C．−2 D．2【解题思路】由点到直线的距离公式、焦点、渐近线以及c2【解答过程】由对称性，不妨设F20,c，双曲线的渐近线是则由题意ca2+1=c故选：A.【变式9-2】（2024·甘肃张掖·三模）已知双曲线方程为2x2−y2=λ（A．顶点坐标 B．焦距 C．离心率 D．渐近线方程【解题思路】分λ>0和λ<0，再代入选项讨论即可.【解答过程】因为双曲线方程为2x2−所以双曲线的渐近线方程为2x2−所以渐近线方程不变，故D选项正确；双曲线方程化为x2当λ>0，双曲线的焦点和顶点在x轴上，顶点坐标为2λ2,0，焦距为离心率为6λ22λ2当λ<0，双曲线方程化为y2双曲线的焦点和顶点在y轴上，顶点坐标为0,−λ，焦距为−6λ离心率为−6λ2故选：D.【变式9-3】（2024·河北·模拟预测）双曲线Γ:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两焦点分别为F1,F2，过F2的直线与其一支交于A，B两点，点B在第四象限.以FA．y=±6x C．y=±63x【解题思路】设|BN|=t(t>0)，则|AM|=3|BN|=3t，由已知结合双曲线定义，在△AF1B中由勾股定理求得t=a，在△B【解答过程】解：如图，由题意得：|F设|BN|=t(t>0)，则|AM|=3|BN|=3t，所以|AF1|=2a+3t由双曲线的定义得：|AF所以|AF2|=3t，|B因为F1B⊥F2B即(2a+t)2+(4t)所以|BF1|=3a在Rt△BF1即(3a)2可得a2所以b2所以a2b2故双曲线Γ的渐近线方程为y=±6故选：C．【题型10双曲线的实际应用问题】【例10】（2024·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F

A．2 B．2 C．72 D．【解题思路】根据三角函数的定义表示出F2P，利用勾股定理表示出F1【解答过程】设双曲线C的焦距为2c，因为cos∠F1所以F2P=所以2a=F1P故选：B.【变式10-1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB=205米，若水面上升5米，则水面宽为（

A．102米 B．152米 C．123【解题思路】设双曲线方程为y2a2−x2a2=1a>0,y<0，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，设【解答过程】设双曲线方程为y2水面上升5米后，设水面宽为CD，设Dx,−a−5，其中x>0.又由题可得B10a+102a2−将D点坐标代入双曲线方程可得：625400−x2又由对称性可得C−15,−25故选：D.【变式10-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（

）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离3403m B．东偏南45°方向，距离3403mC．西偏北45°方向，距离1703m D．东偏南45°方向，距离1703m【解题思路】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.【解答过程】如图，

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PA=PC，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=−x，因由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线左支x2依题意得a=340，故双曲线方程为x23402−y23×故PO＝故巨响发生在接报中心的西偏北450距中心340故选：A.【变式10-3】（23-24高二上·河南·阶段练习）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为5022m，楼顶直径为506m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（A．350m B．375m C．400m D．450m【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是x2由已知可得a，将点C坐标代入解得b的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程解得B的坐标即可求得地标建筑的高.【解答过程】解：以地标建筑的最细处所在直线为x轴，双曲线的虚轴为y轴，建立平面直角坐标系如图所示.由题意可得：A50,0，C设B256,y0则a=5025222所以双曲线的方程是：x2将点B256,解得y0所以该地标建筑的高为：300+100=400m.故选：C.【题型11椭圆与双曲线综合】【例11】（2024·四川乐山·三模）设双曲线C1:x2a2−y2=1(a>0)，椭圆A．28 B．24 C．22【解题思路】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求a的值.【解答过程】由椭圆C2:x所以c2=4−1又e1=23又双曲线C1:x所以a2+1a故选：B.【变式11-1】（2024·山西太原·一模）设双曲线x2a2−y2b2=1（a、bA．37 B．713 C．32【解题思路】运用共焦点条件得到双曲线中c=1，由两曲线的离心率之积为1得ca=2，再用a2+b【解答过程】由题意易得，在双曲线中c=1，即a2由于椭圆离心率为e=12，且由两曲线的离心率之积为1得∴c2a2=a2+b∴α=π3或α=故选：C.【变式11-2】（2024·山东菏泽·二模）已知e1,e2分别为椭圆x2a2+yA．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出e2e1=a【解答过程】由椭圆x2a2双曲线x2a2−y令k=ba，因为双曲线的渐近线的斜率不超过25则0<k2≤45则e2e1故选：B.【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)与双曲线C2:xA．2+34 B．2+32 C．【解题思路】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造1e【解答过程】设两曲线的半焦距为c，由余弦定理得F1在椭圆中，F1得PF1⋅在双曲线中，F1得PF1⋅PF则m2=n即1e所以e1当且仅当e2故选：B.一、单选题1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】易得充分性成立，当m<0时，曲线C:x28【解答过程】当m∈(0,8)时，曲线C:x28当m<0时，曲线C:x28故由曲线C的焦点在x轴上推不出m∈(0,8)，即必要性不成立；所以“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件．故选：A．2．（2024·陕西榆林·模拟预测）设F1，F2是双曲线C:x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点A．2 B．4 C．8 D．16【解题思路】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.【解答过程】对于双曲线C:x24−根据双曲线定义有|QF又|QF1|=|PF1故选：B.

3．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为2,0，以线段FP为直径的圆与圆O:x2+y2A．x24−y23=1 B．【解题思路】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.【解答过程】由题意可知：圆O:x2+y2设F1−2,0，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为若圆M与圆O外切，则PF1=2可得PF若圆M与圆O内切，则PF1=2可得PF−综上所述：PF可知动点P的轨迹是以F1,F为焦点的双曲线，且a=3所以动点P的轨迹方程为x2故选：B.4．（2024·天津南开·二模）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2A．x23−C．x29−【解题思路】|AF2|=|F2F1【解答过程】因为|AF由双曲线的定义可知AF可得|AF由于过F2的直线斜率为24所以在等腰三角形AF1F2中，由余弦定理得：cos∠A化简得39c2−50ac−25a2=0，可得可得a:b=3:4，a2所以此双曲线的标准方程可能为：x2故选：C.5．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过坐标原点O的直线与双曲线C交于M,N两点，且点M在第一象限，满足OM=OF.若点A．52 B．102 C．22【解题思路】利用三角形一边中线等于这一边的一半，则这是一个直角三角形，可得∠FNF【解答过程】设双曲线右焦点为F2，连接MF,M由题意可知M,N关于原点对称，所以OM=ON=OF=OF所以∠FNF2是直角，由NP=4NF，可设NF由双曲线的定义可知：PF2−则PF2=2a+3m由∠FNF2是直角得：则2a+3m2=16m又由∠FNF2是直角得：则FF22=故选：B.6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，点M在C上且MF⊥x轴，直线MA1，MA2A．y=±26x B．y=±210x C．【解题思路】由题意求出直线MA1和直线MA2的方程，分别令x=0，可求出【解答过程】由题意知Fc,0,A所以令x=c，可得c2a2−y直线MA1的斜率为：所以直线MA1的方程为：令x=0可得y=b2a+c直线MA2所以直线MA2的方程为：令x=0可得y=−b2c−a由3OQ=4OP可得4所以c2=a2所以C的渐近线方程为y=±43故选：C.7．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为0,−6，若动点P位于y轴右侧，且到两定点F1−3,0，F23,0的距离之差为定值4，则A．3+45 B．3+65 C．4+45【解题思路】先根据双曲线的定义，判断P点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据PF1−PF2=2a和A【解答过程】由动点P到两定点F1−3,0，结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以F1−3,0，易得c=3，2a=4，由c2=a2+b2如图：又PF1−P故△APF1的周长为:当且仅当P，A，F2三点共线且P点位于A、F2之间时等号成立，故△APF故选：D.8．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：x22−y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上的一点，C在点P①直线F1P的斜率的取值范围是②点P到C的两条渐近线的距离之积为12③|PO|④PM=其中所有正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用解析几何中的坐标思想来研究，结合双曲线方程及联解方程组，通过坐标运算进行分析求解即可.【解答过程】由题意知F1(−2,0)，F2(2,0)，设Px0,所以y02=x0所以kF1P2=所以k所以kF1P∈(−1,1)，即直线C的渐近线方程为y=±x，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为x0PF1=x02+=2当y0≠0时，显然C在点P处的切线的斜率存在，设点P处的切线方程为由x22−所以Δ=−2ky解得k=x所以C在点P处的切线方程为y=x0y当y0=0时，C在点P处的切线方程为x=x0，所以点由x0x−y由x0x−又2x0−所以点P是线段MN的中点，所以PM=故选：C．二、多选题9．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知曲线C的方程为x2a+A．当a<0时，曲线CB．当0<a<3时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆C．当a=3时，曲线C表示圆D．当a>3时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆【解题思路】根据双曲线，椭圆以及圆的性质即可结合选项逐一求解.【解答过程】对于A，当a<0时，x2a对于B，当0<a<3时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，B错误，对于C,当a=3时，x2对于D,当a>3时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，D错误，故选：AC.10．（2024·重庆·三模）已知双曲线C:x2a2−y216=1(a>0)的左，右焦点分别为FA．a=3 B．直线PF1的斜率为1C．△PF1Fz的周长为643【解题思路】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件F1A、F2A、IA以及与各个所需量的关系即可求出∠PF1A=2∠IF1A、∠PF2【解答过程】如图1，由条件，点P应在双曲线C的右支上，设圆I分别与△PF1F2的三边切于点且PM=PN,又∵∴a=x由选项A得F1−5,0,F25,0，连接IF所以kP同理，tan∠P∴tan∴⇒tan所以由焦三角面积公式得S△又S△F1∴△PF1F2的周长为由tan∠由正弦定理F1F2故选：ACD.11．（2024·黑龙江大庆·三模）已知点P1,2是双曲线C:3x2−y2A．双曲线的浙近线方程为y=±B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1C．PAD．△PAB的面积为3【解题思路】首先根据双曲线方程求渐近线方程，判断A，再根据点到直线的距离判断BC，最后根据几何关系，求∠APB，再代入面积公式，即可求解.【解答过程】因为双曲线的方程为C:3x2−y2双曲线的右焦点233,0到渐近线y=由点到直线的距离公式可得PA⋅PB=如图，因为KOA=3，所以∠AOx=60∘.在△PAD∠PDA=∠ODB，所以∠APD=∠BOD=60S△PAB故选：ABD.三、填空题12．（2024·北京大兴·三模）双曲线y2−x2=1的焦点坐标是【解题思路】根据双曲线的方程可得答案.【解答过程】因为双曲线y2−xa2=b所以双曲线y2−x2=1故答案为：0,2，0,−13．（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2