专题8.2 两条直线的位置关系（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题8.2两条直线的位置关系【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1两条直线的平行与垂直】 3【题型2求与已知直线平行、垂直的直线方程】 3【题型3两直线的交点问题】 4【题型4距离问题】 4【题型5与距离有关的最值问题】 5【题型6点（或直线）关于点对称】 5【题型7点关于直线对称】 6【题型8直线关于直线的对称问题】 6【题型9直线系方程】 71、两条直线的位置关系考点要求真题统计考情分析(1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直(2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标(3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离2022年上海卷：第7题，5分2024年北京卷：第3题，4分从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度不大；复习时应加强对距离公式、对称关系的掌握，灵活求解.【知识点1两条直线的位置关系】1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（当时，记为）垂直k1·k2=-1（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2或（当时，记为）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（当时，记为）2．平行的直线的设法平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.3．垂直的直线的设法垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.【知识点2三种距离公式】1．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.3．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.【知识点3点、线间的对称关系】1．六种常用对称关系(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).【知识点4直线系方程】1．直线系方程过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线.【题型1两条直线的平行与垂直】【例1】（2024·河南新乡·三模）已知直线l1:2x+my−1=0，l2:m+1x+3y+1=0，则“m=2”是“l1//l2”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2024·陕西西安·二模）已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN与直线2x−y+3=0垂直，则m=（

）A．−6 B．73 C．23 【变式1-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）“a=0”是“直线l1:x+2ay−2024=0与直线l2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（2024·河南·三模）已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x−3垂直，则（

）A．A=−2B≠0 B．A=2B≠0C．B=−2A≠0 D．B=2A≠0【题型2求与已知直线平行、垂直的直线方程】【例2】（2024·山东·二模）已知直线l与直线x−y=0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（

）．A．x−y+2=0 B．x−2y+4=0C．x−y−2=0 D．x+2y−4=0【变式2-1】（2024·广东珠海·模拟预测）过点P−1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（

A．x−2y+5=0 B．x+2y−3=0C．2x−y+4=0 D．2x+y=0【变式2-2】（2024·吉林·模拟预测）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，则ABA．2x+y−7=0 B．2x−y−1=0C．x+2y−8=0 D．x−2y+4=0【变式2-3】（23-24高二上·广东江门·期末）过点−2，0与y=x平行的直线方程是（A．x−y−2=0 B．x+y+2=0C．x−y+2=0 D．x+y−2=0【题型3两直线的交点问题】【例3】（2024·海南海口·二模）若直线y=−2x+4与直线y=kx的交点在直线y=x+2上，则实数k=（

）A．4 B．2 C．12 D．【变式3-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线2x−y+6=0与直线x+y=3的交点坐标是（

）A．(3，0) B．(−1,4) C．(−3,6) 【变式3-2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线2x−3y+10=0和3x+4y−2=0的交点，且垂直于直线2x−y−1=0的直线方程为（

）A．x−2y−6=0 B．x+2y−2=0C．2x−y−3=0 D．2x+y−2=0【变式3-3】（23-24高二下·上海·期中）直线l1:7x+2y+1=0,l2:mx+y=0,A．3 B．4 C．5 D．6【题型4距离问题】【例4】（2024·全国·模拟预测）平行直线l1:2x+y−5=0与l2A．5 B．25 C．35 【变式4-1】（2024·海南海口·模拟预测）设A(0,18)，若函数y=ax2(a>0)图象上任意一点P(xA．14 B．12 C．2 【变式4-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知方程−x2+2ax+22b=2A．12 B．14 C．22【变式4-3】（2024·江苏南京·一模）已知实数a>0,b<0，则3b−aa2A．[−2,−1) B．(−2,−1)C．(−2.−1] D．[−2,−1]【题型5与距离有关的最值问题】【例5】（2024·吉林·二模）直线l的方程为λ+2x+λ−1y−3λ=0λ∈R，当原点O到直线l的距离最大时，A．−1 B．−5 C．1 D．5【变式5-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A．95 B．185 C．2910 【变式5-2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合A=x,ykx−y+k=0，集合B=x,yy=kx−1，已知点M∈A，点N∈B，记d表示线段MN长度的最小值，则A．2 B．3 C．1 D．2【变式5-3】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点NA．210 B．22 C．2+【题型6点（或直线）关于点对称】【例6】（23-24高二上·全国·期末）点P1,2在直线l上，直线l1与l关于点0,1对称，则一定在直线l1A．12,32 B．−1,3【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线x+2y−3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则实数b的值为（

）A．2 B．6 C．−2 D．−6【变式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（A．(12,32) B．(−1,【变式6-3】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）与直线3x−4y+5=0关于坐标原点对称的直线方程为（

）A．3x+4y−5=0 B．3x+4y+5=0C．3x−4y+5=0 D．3x−4y−5=0【题型7点关于直线对称】【例7】（2024·浙江·模拟预测）点1,2关于直线x+y−2=0的对称点是（

）A．1,0 B．0,1 C．0,−1 D．2,1【变式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知A−3,0,B0,3，从点P−1,0射出的光线经y轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到A．210 B．6 C．25 【变式7-2】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−4,1．若将军从山脚下的点B−3,2处出发，河岸线所在直线方程为x−y+3=0，则“将军饮马”的最短总路程为（A．2 B．5 C．10 D．2【变式7-3】（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从A1,0出发，经直线x+y+1=0反射后又经过点B6,−5，则光线从A到B走过的路程为（A．55 B．214 C．58 D．【题型8直线关于直线的对称问题】【例8】（2024·上海静安·二模）设直线l1:x−2y−2=0与l2关于直线l:2x−y−4=0A．11x+2y−22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y−11=0 D．10x+y−22=0【变式8-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线l1:3x−2y−6=0，直线l2:x−y−4=0，则l1A．3x+2y−14=0 B．2x−3y−14=0C．3x+2y−6=0 D．2x−3y−6=0【变式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点A−2,1射出，经直线2x−y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B(−8,−3)，则反射光线所在直线的方程是（

A．x−3y−1=0 B．3x−y+21=0C．x+3y+17=0 D．3x+y+15=0【变式8-3】（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是25，则直线l1A．x−2y−13=0 B．x−2y+2=0C．x−2y+4=0 D．x−2y−6=0【题型9直线系方程】【例9】（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线l1:x−3y+4=0和l2A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【变式9-1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y−7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（

）A．x+y+1=0 B．x−y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x−y+1=0或x+y+1=0【变式9-2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线2023x−2022y−1=0和2022x+2023y+1=0的交点且过原点的直线方程为．【变式9-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系xOy中，过直线l1:7x−3y+1=0与l2:x+4y−3=0的交点，且在y轴上截距为1的直线一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线l1:ax+3y−6=0，直线l2:2x+a−1y−4=0，则“l1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线l1：x+y+1=0，l2：x+y−1=0之间的距离是（A．1 B．2 C．22 3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线l1:x+my+1=0与直线l2:x+(1−2m)y−3=0，则“m∈{1,−2}”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·重庆·三模）当点P−1,0到直线l：3λ+1x+λ+1A．−1 B．1 C．−2 D．25．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线l:x+y−1=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kxx≥0向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若MN=136，则A．32 B．C．12 D．6．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点A2,3,B4,1,直线x−2y+4=0与y轴相交于点C,则△ABC中AB边上的高CEA．x+y−2=0 B．x+y+2=0C．x−y+2=0 D．x−y−2=07．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−3,0，若将军从山脚下的点B−1,1处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1，则“将军饮马”的最短总路程为（A．5 B．3 C．13 D．58．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线l1:x+1+a①∃a∈R，使得l1//l2；

③∀a∈R，l1与l2都相交；

④∃a∈R，使得原点到其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④二、多选题9．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线l1:x+2y−2=0，直线l2A．直线l2可以与x轴平行 B．直线l2可以与C．当l1∥l2时，k=2 D．当l10．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线l经过点2,3，且点A−3,2，B5,−4到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（A．4x−y−5=0 B．4x+y−11=0C．3x+4y−18=0 D．3x−4y+6=011．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为2x−y=0，y=0，将军的出发点是点A3,1，军营所在位置为B6,3，则下列说法错误的是（A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为(1,2)B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是5C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是85D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是2三、填空题12．（2024·山东·二模）过直线x+y+1=0和3x−y−