专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式【五大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1同角三角函数基本关系式的应用】 3【题型2诱导公式的应用】 3【题型3三角函数式的化简、求值】 4【题型4三角恒等式的证明】 4【题型5同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用】 51、同角三角函数基本关系式及诱导公式考点要求真题统计考情分析(1)理解同角三角函数的基本关系式，，

(2)掌握诱导公式，并会简单应用2022年浙江卷：第13题，5分2023年全国甲卷（文数）：第14题，5分2023年全国甲卷（理数）：第13题，5分2024年新课标I卷：第4题，5分2024年全国甲卷（文数）：第9题，5分同角三角函数关系式与诱导公式是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、同角三角函数关系式与诱导公式综合等内容，考查较为灵活，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下.【知识点1同角三角函数的基本关系】1．同角三角函数的基本关系基本关系式语言描述平方关系同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.商数关系同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.2．基本关系式的变形公式【知识点2同角三角函数基本关系式的应用技巧】1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧(1)利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.(2)形如等类型可进行弦化切.2．注意公式的逆用及变形应用：.3．应用公式时注意方程思想的应用：对于这三个式子，利用，可以知一求二.【知识点3诱导公式的应用的解题策略】1．诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如.【知识点4同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略】1．化简、求值利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2．用诱导公式求值用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等.【方法技巧与总结】1．同角三角函数关系式的常用变形2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3．同角三角函数关系式的注意事项在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【题型1同角三角函数基本关系式的应用】【例1】（2024·海南·模拟预测）若α∈0,π，且cosα−sinα=12，则tanα=（

）A．4+75 B．4−75 C．【变式1-1】（2023·山西·模拟预测）已知sinα−cosα=15A．−125 B．125 C．−【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=13x上，则sinA．−15或75 B．15或−75【变式1-3】（2023·陕西咸阳·三模）已知方程sin2α+2sinαcosA．−45 B．35 C．−【题型2诱导公式的应用】【例2】（2024·河南信阳·模拟预测）若sinα+π3=1A．14 B．−14 C．±【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知tanπ2+θ=1A．35 B．56 C．−5【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知角α+π3的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P12,A．−32 B．−12 C．【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知cosθ−2π5=A．−2 B．2 C．−23 【题型3三角函数式的化简、求值】【例3】（2023·云南大理·模拟预测）已知tanα=3，则cos3α−A．−34 B．34 C．−【变式3-1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角α0°<α<360°终边上A点坐标为sin310°,cos310°，则A．130° B．140° C．220° D．230°【变式3-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知sinαsinπ3−αA．−23 B．−3 C．32【变式3-3】（2023·四川遂宁·模拟预测）已知α为第二象限角，若sin2023π2−α=A．−15 B．15 C．−1515【题型4三角恒等式的证明】【例4】（23-24高一·全国·课后作业）设tanα+8π7【变式4-1】（2024高一·全国·专题练习）求证：(1)sinα−cosα+1(2)2【变式4-2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）求证：tan(2π−α)（2）设tan(α+8π7【变式4-3】（23-24高一·全国·随堂练习）求证：(1)sin4(2)sin4(3)cosα【题型5同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用】【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角α的终边经过点P(4(1)求sin((2)求sin3【变式5-1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）在①4sin(2023π+α)=3cos(2024π+α)；②已知第四象限角α满足__________，求下列各式的值.(1)4(2)sin【变式5-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数f(1)化简fα(2)若fα=−15，求(3)若α∈−π6【变式5-3】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点Pm,32，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B(1)求4sin(2)记点B的横坐标为fθ，若fθ−π一、单选题1．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知tanα=2，则5sinα+A．13 B．113 C．52．（2024·湖北荆州·三模）已知sinθ+cosθ=713A．1713 B．713 C．±173．（2024·浙江·模拟预测）已知α∈0,π2，sinα−πA．−223 B．223 4．（2024·山东泰安·模拟预测）已知sin3π2+α=32A．−3 B．−33 C．5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知sin2π7+α=A．−15 B．±26 C．26．（2024·青海西宁·二模）已知sinα+cosα=3cosαA．−35 B．−45 C．7．（2024·辽宁·三模）已知tanα=12，则sinA．−1 B．1 C．−3 D．38．（2023·山西·模拟预测）已知α,β,γ均是锐角，设sinαcosβ+sinβcosγ+A．3 B．1513 C．1 D．二、多选题9．（2024·江苏常州·模拟预测）已知角 α 的终边与单位圆交于点35,yA．109 B．−109 C．−10．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（

）A．若角α的终边过点P12,3B．若cosα+πC．若tanα=2，则D．若扇形的周长为8cm，圆心角为2rad11．（2024·辽宁·模拟预测）设α为第一象限角,cosα−π8A．sinB．cosC．sinD．tan三、填空题12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角α的终边经过点P−1,2，则cosπ+α13．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知sinθ−2cosθsin14．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若cosx−70°=15四、解答题15．（2024·福建三明·模拟预测）已知fx（1）求fπ（2）若fα=1，且α是第三象限角，求16．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）化简求值.(1)化简