浙江省山海联盟协作学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省山海联盟协作学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x2﹣x B．y＝2x+1 C． D．2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 B．打开电视机正在播放亚运会比赛 C．在一个只装有白球的袋子里摸出红球 D．正数大于负数3．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝2，则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定4．（3分）关于y＝（x+1）2+3的图象，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为（1，3） B．对称轴为直线x＝1 C．当x≥﹣1时，y随x的增大而增大 D．开口向下5．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在20%附近，则口袋中红球可能有（）A．4个 B．8个 C．12个 D．16个6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知，则AC的长是（）A．4 B．6 C．8 D．107．（3分）如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个圆，杯内水面宽AB＝8cm，CD＝2，则半径的长是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．8．（3分）如图，在⊙O中，∠BOA＝45°，OB∥AC，AO，BC相交于点D，那么∠BDA的度数为（）A．45° B．60° C．67.5° D．80°9．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx+c的图象过不同的六点A（﹣2，m），B（5，m﹣1），C（6，m+1），D（﹣1，y1），E（，y2），F（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y110．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D（不与点O重合），连结CD．若∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为（）A．44° B．46° C．48° D．69°二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共，24分）11．（4分）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是．12．（4分）抛物线y＝3x2﹣x﹣4与y轴的交点坐标为．13．（4分）已知C是线段AB的黄金分割点，AB＝6且AC＞BC，则线段AC＝．14．（4分）一个扇形的圆心角是45°，半径是4，则这个扇形的面积是．15．（4分）在关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，则b﹣a的值为．16．（4分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，以C为圆心，CD长为半径画弧，交直径AB于点E，连结CE并延长交⊙O于点F，连结DF，则∠C＝°，若AB＝10，则DF的长为．三、解答题（本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）已知实数x，y，z满足，试求的值．18．（6分）2023年第19届亚运会在杭州举办．小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C．（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到B（宸宸）的概率是．（2）小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率．19．（6分）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣4），B（0，﹣5），C（2，﹣2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转180°后对应得到△A'B'C'，请写出点A'，B'，C'的坐标．（2）请在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A″B″C″，并求出旋转过程中点A所经过的路径长（结果保留根号和π）．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC，OC，BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD．（2）若CD＝AE＝8，求BC的长．22．（10分）如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．（2）通过计算判断此球能否过网．（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，E为AC上一点，⊙O经过B，C，E，交AB于点F，过点E作DE∥AB，交⊙O于点D．（1）求证：∠A＝∠BDE．（2）连结DF，DC．求证：CD＝DF．24．（12分）新定义：我们把抛物线与抛物线其中ab≠0）称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为C2．（1）写出抛物线C2的函数表达式（用含a的式子表示）y2＝，顶点坐标为．（2）对于C1和C2，当y1＞y2时，求x的取值范围．（3）若a＞0，当a﹣3≤x≤a﹣1时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

2023-2024学年浙江省山海联盟协作学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x2﹣x B．y＝2x+1 C． D．【解答】解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意；B、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；C、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．故选：A．2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 B．打开电视机正在播放亚运会比赛 C．在一个只装有白球的袋子里摸出红球 D．正数大于负数【解答】解：A、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；B、打开电视机正在播放亚运会比赛，是随机事件，不符合题意；C、在一个只装有白球的袋子里摸出红球，是不可能事件，符合题意；D、正数大于负数，是必然事件，不符合题意；故选：C．3．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝2，则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径为2，OA＝2，∴点A在⊙O上．故选：B．4．（3分）关于y＝（x+1）2+3的图象，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为（1，3） B．对称轴为直线x＝1 C．当x≥﹣1时，y随x的增大而增大 D．开口向下【解答】解：∵y＝（x+1）2+3∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），对称轴直线为x＝﹣1，故选项A、B错误，不符合题意；∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，有最小值为3，且当x≥﹣1时，y随x增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意，故选：C．5．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在20%附近，则口袋中红球可能有（）A．4个 B．8个 C．12个 D．16个【解答】解：设袋中红球的个数为x，根据题意，得：＝20%，解得x＝16，经检验x＝16是分式方程的解，所以口袋中红球可能有16个，故选：D．6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知，则AC的长是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AC＝6，故选：B．7．（3分）如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个圆，杯内水面宽AB＝8cm，CD＝2，则半径的长是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．【解答】解：如图，连接OA、OC，则OC⊥AB，AC＝AB＝4（cm），在Rt△OAC中，设OA＝x，则，OC＝x﹣2则：x2+（x﹣2）2＝42，解得：x＝5，∴半径为5（cm），故选：B．8．（3分）如图，在⊙O中，∠BOA＝45°，OB∥AC，AO，BC相交于点D，那么∠BDA的度数为（）A．45° B．60° C．67.5° D．80°【解答】解：∵∠BOA＝45°，∴∠BCA＝22.5°，∵OB∥AC，∴∠OBD＝∠ACD＝22.5°，∴∠BDA＝∠BOA+∠OBD＝45°+22.5°＝67.5°，故选：C．9．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx+c的图象过不同的六点A（﹣2，m），B（5，m﹣1），C（6，m+1），D（﹣1，y1），E（，y2），F（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1【解答】解：由二次函数y＝a2x2﹣bx+c可知，抛物线开口向上，∵A（﹣2，m），B（5，m﹣1），C（6，m+1），∴A点关于对称轴的对称点在5与6之间，∴对称轴的取值范围为＜x＜2，∴点E到对称轴的距离最小，点D到对称轴的距离最大，∴y2＜y3＜y1，故选：D．10．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D（不与点O重合），连结CD．若∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为（）A．44° B．46° C．48° D．69°【解答】解：作点D关于直线AC的对称轴点D′，连接AD′，BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝23°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣23°＝67°，∵四边形ABCD′是圆内接四边形，∴∠AD′C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣67°＝113°，∴∠ADC＝∠AD′C＝113°，∴∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠ADC＝180°﹣23°﹣113°＝44°，故选：A．二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共，24分）11．（4分）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，则P（正面朝上）＝，故答案为：12．（4分）抛物线y＝3x2﹣x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）．【解答】解：把x＝0代入y＝3x2﹣x﹣4得y＝﹣4，所以抛物线y＝3x2﹣x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）．故答案为：（0，﹣4）．13．（4分）已知C是线段AB的黄金分割点，AB＝6且AC＞BC，则线段AC＝3﹣3．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6，AC＞BC，∴AC＝AB＝3﹣3，故答案为：3﹣3．14．（4分）一个扇形的圆心角是45°，半径是4，则这个扇形的面积是2π．【解答】解：S扇形＝＝2π．故答案为：2π．15．（4分）在关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，则b﹣a的值为﹣2或6．【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，∴顶点坐标为（1，b﹣a），当a＞0时，∵0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，∴函数有最小值，∴b﹣a＝﹣2，当a＜0时，∵0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，∴函数有最大值，∴b﹣a＝6，故答案为：﹣2或6．16．（4分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，以C为圆心，CD长为半径画弧，交直径AB于点E，连结CE并延长交⊙O于点F，连结DF，则∠C＝60°，若AB＝10，则DF的长为5．【解答】解：连接DE，过点D作直径DG，连接GF，∵以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E，∴CD＝CE，∵直径AB⊥弦CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴CE＝DE，∴CD＝CE＝DE，∴△CDE是等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠DGF＝∠C＝60°，∵DG为直径，AB＝10，∴∠DFG＝90°，DG＝10，∴GF＝DG＝5，∴DF＝＝＝5，故答案为：60，5．三、解答题（本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）已知实数x，y，z满足，试求的值．【解答】解：设＝k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，所以＝＝＝．18．（6分）2023年第19届亚运会在杭州举办．小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C．（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到B（宸宸）的概率是．（2）小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率．【解答】解：（1）由题意得，恰好抽到B（宸宸）的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的结果有2种，∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率为＝．19．（6分）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，∴．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣4），B（0，﹣5），C（2，﹣2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转180°后对应得到△A'B'C'，请写出点A'，B'，C'的坐标．（2）请在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A″B″C″，并求出旋转过程中点A所经过的路径长（结果保留根号和π）．【解答】解：（1）由题意得，A'（1，4），B'（0，5），C'（﹣2，2）．（2）如图，△A''B''C''即为所求．由勾股定理得，OA＝＝，∴旋转过程中点A所经过的路径长为＝．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC，OC，BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD．（2）若CD＝AE＝8，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AB⊥CD，∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：∵AB⊥CD，AB是直径，∴EC＝DE＝4，∵∠AEC＝∠CEB＝90°，∠A＝∠BCE，∴△ACE∽△CBE，∴＝，∴＝，∴EB＝2，∴BC＝＝＝2．22．（10分）如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．（2）通过计算判断此球能否过网．（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离．【解答】解：（1）根据题意，抛物线顶点坐标为（4，2），与y轴交点坐标为（0，1），设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+2，把（0，1）代入得：1＝16a+2，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣4）2+2＝﹣x2+x+1；∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；（2）在y＝﹣x2+x+1中，令x＝5得y＝﹣++1＝1.9375，∵1.9375＞1.55，∴此球能过网；（3）在y＝﹣x2+x+1中，令y＝得：＝﹣x2+x+1，解得x＝1（舍去）或x＝7，∵7﹣5＝2（米），∴乙与球网的水平距离为2米．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，E为AC上一点，⊙O经过B，C，E，交AB于点F，过点E作DE∥AB，交⊙O于点D．（1）求证：∠A＝∠BDE．（2）连结DF，DC．求证：CD＝DF．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠A＝∠ACB，∵∠BDE＝∠ACB，∴∠A＝∠BDE；（2）连接CF，∵DE∥AB，∴∠BFD＝∠EDF，∠A＝∠DEC，∵∠BFD＝∠BCD，∠ECF＝∠EDF，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠ACB＝∠DCF，∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∴∠DCF＝∠A，∴∠DFC＝∠DEC＝∠A，∴∠DFC＝∠DCF，∴CD＝DF．24．（12分）新定义：我们把抛物线与抛物线其中ab≠0）称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为C2．（1）写出抛物线C2的函数表达式（用含a的式子表示）y2＝ax2+2ax+a﹣2，顶点坐