《双曲线及其标准方程（第1课时）》教学设计

15/152.2.1双曲线及标准方程（第1课时）（名师:张远建）一、教学目标1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养,培养解析法解题能力,提高数学运算素养.2.学习目标（1）了解双曲线的定义、图象、标准方程,会求双曲线的标准方程.（2）进一步理解坐标法的应用,并在研究双曲线的过程中注意与椭圆比较,明确两者的联系与区别.3.学习重点双曲线的定义及其标准方程.4.学习难点双曲线与椭圆的联系与比较.二、教学设计（一）课前预习1.预习任务任务1预习教材,双曲线的定义应该注意什么?双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的与椭圆的有何区别?任务2完成相应练习题2.预习自测1.已知两定点、,动点满足,则当和5时,点的轨迹为（）A.双曲线与一条直线 B.双曲线与一条射线C.双曲线一支和一条直线D.双曲线一支和一条射线答案:D解析:考查双曲线定义2.已知点的坐标满足,则动点的轨迹为（）A.椭圆 B.双曲线C.两条射线 D.以上都不对答案:B解析:考查双曲线定义3.已知两定点、,求与两定点、的距离差的绝对值等于6的点的轨迹方程______________.答案:解析:由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为,这里,,∴,,由此得.从而求得双曲线的方程为.（二）课堂设计1.知识回顾(1)已知点则(2)我们预习本课的双曲线的标准方程得两种形式是怎样的?2.问题探究问题探究一双曲线的定义●活动一什么是双曲线?与之相关的概念有哪些?在平面内到两个定点距离之差的绝对值等于定值(大于且小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.●活动二与之间有何大小关系?去掉定义中“绝对值”三个字,对结论有影响吗?在双曲线的定义中,条件不应忽视,若,则动点的轨迹是两条射线;若,则动点的轨迹不存在.双曲线定义中应注意关键词“绝对值”,若去掉定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线一支.问题探究二双曲线的标准方程●活动一焦点在x轴上的双曲线的标准方程为焦点在y轴上的双曲线的标准方程为其中a、b、c的关系为●活动二椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.椭圆双曲线定义定义,,(不一定大于)★▲问题探究三确定双曲线的标准方程,掌握运用待定系数法,定义法求双曲线的标准方程例1.过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点,为其右焦点,则________.【知识点:双曲线的定义及标准方程】分析:由双曲线定义及条件知.详解:根据双曲线的定义,有例2.（1）双曲线的一个焦点坐标是,经过点,求双曲线的标准方程.【知识点:双曲线的定义及标准方程】(1)详解一:由已知得,,且焦点在y轴上,则另一焦点坐标是.因为点在双曲线上,所以点与两焦点的距离的差的绝对值是常数,即因此,所求的双曲线标准方程是详解二:由焦点坐标知∴双曲线方程为∵双曲线过点,双曲线方程为（2）已知双曲线通过、两点,求双曲线的标准方程.【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解一:若焦点在轴上,则设双曲线的标准方程为.∵、在双曲线上,∴,解得.若焦点在轴上,设双曲线的标准方程为.同理有,解得,舍去.故所求双曲线的标准方程为.详解二:设所求双曲线的方程为.将点、代入上述方程,得,解得:.故所求双曲线的标准方程为.点拔:求双曲线的标准方程时,可以根据其焦点位置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出a,b的值;若双曲线的焦点位置难以确定,可设出双曲线方程的一般式,利用条件,通过待定系数法求出系数的值,从而可写出双曲线的标准方程.例3.求与双曲线共焦点,且过点的双曲线方程【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解:由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为.由于点在所求的双曲线上,从而有.整理得,∴或.又,∴.从而仅有.故所求双曲线的方程为.点拔:与共焦点的双曲线方程可设为,然后根据条件确定待定系数即可.3.课堂总结【知识梳理】（1）平面内点到两定点的距离之差的绝对值为常数,即当时,点的轨迹是双曲线;当时,点的轨迹是两条射线;当时,点的轨迹不存在（2）双曲线,的相同点为它们的形状、大小都相同,都有,不同点为它们在坐标系中位置不同,焦点坐标也不相同。【重难点突破】（1）对于双曲线定义的理解,要抓住双曲线上的点所要满足的条件,即双曲线上点的几何性质,可以类比椭圆的定义来理解.还要注意到对“定值”的限定.即定值大于零且小于.这样就能避免两种特殊情况,即:“当定值等于时,轨迹是两条射线;当定值大于时,点不存在.”（2）类比椭圆标准方程的推导方法,建立适当坐标系,推导出双曲线的标准方程,但要注意在椭圆标准方程推导中,是令,而在双曲线标准方程的推导过程中,是令.（3）用待定系数法求双曲线方程利用待定系数法求双曲线的标准方程时,应先判断焦点所在位置,不能确定时应分类讨论.在求过两定点的椭圆方程时,我们曾经将椭圆方程设为以简化运算,同理求经过两定点的双曲线方程也可设为.（4）在椭圆的标准方程中,判断焦点在哪个轴上是看项分母的大小,而在双曲线标准方程中,判断焦点在哪个轴上,是看系数的符号.4.随堂检测1.已知双曲线的方程为,点在双曲线的右支上,线段经过双曲线的右焦点,,为另一个焦点,则△的周长为（）.A. B. C. D..答案:B解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】2.已知点,曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6,则曲线C的方程为()A. B.C. D.答案:D解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】3.以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线的标准方程是________________.答案:解析:【知识点:双曲线标准方程】（三）课后作业基础型自在突破1.双曲线方程为,则它的右焦点坐标为()A.B. C.D.答案:B解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】2.已知双曲线中心在原点,一个焦点为F1(－eq\r(5),0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是()A. B.C. D.答案:B解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】3.双曲线的焦点为,则m的值是()A.±1 B.1C.－1 D.不存在答案:B解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】4.已知双曲线焦距为26,且,则双曲线的标准方程是（）.A. B.C. D.或答案:D解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】5.已知双曲线的左、右焦点分别为,若双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为,是的中点,为坐标原点,则等于()B.1C.2D.4答案:解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】6.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是()A. B.C. D.答案:B解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】椭圆的焦点,由双曲线定义知,∴双曲线方程为能力型师生共研7.椭圆和双曲线有相同的焦点,则实数的值是（）A. B. C. D.答案:B解析:【知识点:椭圆的标准方程,双曲线的定义及标准方程】8..已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点,且,则该双曲线的方程是() 答案:解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】 9.已知双曲线上的一点到双曲线的一个焦点的距离为9,则点到另一个焦点的距离为______________.答案:15或3解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】10.已知双曲线的两个焦点分别为、,点P在双曲线上且满足,则△的面积是______.答案:1解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】探究型多维突破11.设P是双曲线的右支上的动点,F为双曲线的右焦点,已知A(3,1),则|PA|＋|PF|的最小值为______.答案:解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】设双曲线的另一个焦点为,则有,连结交双曲线的右支于点,连结,则于是12.求与双曲线有共同焦点,且过点（0,2）的双曲线方程.答案:见解析解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】将化为标准方程得:.∴.设所求方程为,∴.将（0,2）代入得:.∴,∴.∴所求双曲线的方程为:.（四）自助餐1.“”是方程表示双曲线的（）.A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:【知识点:双曲线的标准方程】2.双曲线的焦距是（）A.4 B. C.8 D.与有关答案:C解析:【知识点:双曲线的标准方程】3.在双曲线中,,且双曲线与椭圆有公共焦点,则双曲线方程为（）A. B. C. D.答案:B解析:【知识点:椭圆的几何性质,双曲线的定义及标准方程】4.已知双曲线的一个焦点为,则的值为（）A. B. C. D.答案:B解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】5.、是双曲线的两焦点,点P在双曲线上,G是的中点,且,则△的面积是（）A.B. C. D.11答案:C解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】6.已知平面内有一定线段,其长度为,动点满足为的中点,则的最小值为()A.1B.C.2D.4答案:B解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】7.椭圆与双曲线有公共点,则点与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为（）A.48 B. C.24 D.答案:C解析:【知识点:椭圆的定义,双曲线的定义及标准方程】8.设为双曲线的左焦点,在轴上点的右侧有一点,以为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为,则的值为() 答案:解析:【知识点:椭圆的定义,双曲线的定义及标准方程】9.双曲线的焦点在轴上,且经过点则双曲线标准方程是________.答案:解析:【知识点:双曲线的标准方程】10.已知双曲线,是双曲线上一点,、是双曲线的两个焦点,并且,则____________.答案:解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】11.设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上,且,则___