《椭圆的简单几何性质（第2课时）》教学设计

PAGEPAGE82.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时）（名师：张远建）一、教学目标1.核心素养发展直观想象、逻辑推理、数学建模、等价转化的素养2.学习目标（1）会判断直线与椭圆的位置关系.（2）能够解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题，初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用.（3）理解解析法解决问题的基本思想，掌握用方程研究曲线问题的基本方法.3.学习重点直线与椭圆的位置关系,初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用.4.学习难点解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1例4，思考椭圆在生活中还有那些应用?思考直线与椭圆有那些位置关系?任务2回忆椭圆的有那些几何性质?2.预习自测1.两个正数的等差中项是，等比中项是，则椭圆的离心率等于()A.B.C. D.答案：C解析：椭圆的几何性质2.已知椭圆的焦点分别是是椭圆上一点，若连接三点恰好能构成直角三角形，则点到轴的距离是()A. B．C. D.答案：A解析：，∴.设，代入椭圆方程得.即点P到y轴的距离是.（二）课堂设计1.知识回顾（1）一元二次方程的根的判别式为；求根公式为．（2）一元二次方程根与系数的关系：若是方程的两个根，则，．（3）平面内两点之间的距离公式为2.问题探究问题探究一椭圆几何性质在生活中的应用例1.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距离地面，地球半径为，则飞船运行轨道的短轴长为()A．B.C．D．【知识点：椭圆的几何性质】详解：由题意可得．即，，所以椭圆的短轴长为，故选A.★▲问题探究二直线与椭圆的位置关系1.设直线方程为，椭圆，联立方程得根据方程解得情况，便可确定直线与椭圆的位置关系．通常消去方程组的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，一般地：直线与椭圆相交直线与椭圆有两个公共点；直线与椭圆相切直线与椭圆有且只有一个公共点直线与椭圆相离直线与椭圆无公共点2.弦长问题设直线方程为交椭圆于点两点，则同理可得例2(1)当为何值时，直线与椭圆相交、相切、相离?(2)若，求直线与椭圆相交的弦AB的长.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，弦长公式；数学思想：分类的思想】详解：(1)由消去化简得(2)当m=1，则，直线与椭圆相交，则得设,则：，例3.过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称，试求直线与椭圆的方程．【知识点：直线与椭圆的位置关系，对称问题，直线的方程】详解1：由，得，从而.设椭圆的方程为，在椭圆上．则，两式相减得，，即.设线段的中点为，则.又在直线上，所以，于是，故，所以直线的方程为.设右焦点关于直线的对称点为，则，解得.由点在椭圆上，得，则，故.所以所求椭圆的方程为，直线的方程为.详解2：由，得，从而，.设椭圆的方程为，直线的方程为．将直线的方程代入椭圆C的方程，得，则，故.又直线过线段的中点，则，解得或.若，则直线的方程为，焦点关于直线的对称点就是点本身，不可能在椭圆上，所以舍去，从而，故直线的方程为，即，以下同方法1.点拔：由题设情境中点在直线上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线上而求得直线的方程，进一步应用对称的几何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解．例4设直线与椭圆相交于、两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点．

(1)证明：；(2)若，求的面积的最大值．【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，三角形的面积，基本不等式】【分析】(1)联立方程、消元、利用易证．(2)结合条件分析出易求．详解：(1)证明：依题意，当时，由知，，显然成立．当时，可化为.将代入，消去，得.①由直线与椭圆相交于两个不同的点，得，化简整理得.原命题得证(2)设，由题意知．由①得，②因为由，得.③由②③联立，解得，△的面积.上式取等号的条件是，所以的最大值为例5.已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线交E于A,B两点交E于C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N.(1)求椭圆E的方程;(2)求的斜率k的取值范围;(3)求的取值范围.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，平面向量的数量积，直线的斜率】解：(1)设椭圆方程为由得∴椭圆方程为.(2)由题意知,直线的斜率存在且不为零.∵:y=kx+2,∴:.由消去y并化简整理,得.根据题意解得.同理得∴.(3)设那么∴∴同理得即.∴.∵∴.∴即的取值范围是.3.课堂总结【知识梳理】（1）直线，与圆锥曲线C：交于两点.则或（2）椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为（3）已知弦的中点，研究的斜率和方程AB是椭圆的一条弦，是AB的中点，则，点差法求弦的斜率步骤是：（1）将端点坐标代入方程：（2）两等式对应相减：（3）分解因式整理：【重难点突破】1.涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．2.注意数形结合思想的运用要注意数形结合思想的运用.在做题时候，最好先画出草图，注意观察、分析图象的特征，将形与数结合起来.3.中点弦问题若问题涉及弦的中点及直线斜率问题，可考虑“点差法”，即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差，同时常与根与系数的关系综合应用.4.随堂检测1.直线与椭圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.直线与椭圆相交于不同的两点P、Q，若PQ的中点的横坐标为2，则弦长|PQ|等于____________.答案：解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，弦长】由于，消去整得.，，得，从而，因此（三）课后作业基础型自主突破1.直线与椭圆的两个交点在轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率等于（）A.B.C. D.解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】答案：B2.直线与椭圆有两个交点时，的取值范围是()A.B.C. D.答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】3.过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为（）A.B.C. D.答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．答案：解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设直线方程为，与双曲线方程联立得，设交点，，则，解得，所以直线方程为.5.设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程．答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】设椭圆方程为，为椭圆上的点，由得.，若，则当时，最大，即，则，故舍去．若时，则当时，最大，即，解得.∴所求方程为.能力型师生共研6.已知直线l与椭圆交于、两点,线段的中点为P,设直线l的斜率为直线OP的斜率为则的值等于（）A.B.C. D.答案：D解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设则.由相减得.故.7.已知椭圆若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是()A. B.C. D.答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设的中点为M(x,y),由题意知①②①②两式相减得即即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则即.8.若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为_______.答案：2解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】由，得.而，即点在椭圆内，所以过点的直线与椭圆相交，即有个交点.探究型多维突破9.已知焦点为的椭圆与直线l:x+y-9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是()A. B.170 C. D.答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系】方法一:依题意,设椭圆方程为0),且c=2,则.将椭圆方程与直线方程联立,得消去参数y,整理得：.因为直线l与椭圆有公共点,所以即整理得.解得或舍去),∴即椭圆长轴长的最小值为.方法二:如图,可设P为椭圆与直线l的公共点,则||+||=2a所以问题转化为当P在l上运动时,求||+||的最小值.作关于l的对称点′则解得即′(9,7).所以||+||=||+|′||′|即椭圆长轴长的最小值为.10.已知椭圆0)的一个焦点在直线l:x=1上,其离心率.设P、Q为椭圆上不同的两点,且弦PQ的中点T在直线l上,点.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P、Q,恒有|RP|=|RQ|.答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，数学思想：等价转化】(1)椭圆的一个焦点在直线l:x=1上,所以c=1.又因为离心率即所以a=2,从而.所以椭圆的方程为.(2)证明:设则.又因为P、Q都在椭圆上,所以两式相减得因为点T是PQ的中点,所以于是所以即,所以,即RT是线段PQ的垂直平分线,所以恒有|RP|=|RQ|.四、自助餐1.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标为（）A.B.C. D.答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的公共点的个数为（）A.B.C. D.答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】3.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆相交于为坐标原点，则的面积为（）A.B.C. D.答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4.已知椭圆，在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出这个最小值.答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为由消去得则得，当时，由图不符合题意，舍去.则所求切线方程为则两平行线之间的距离距离的最小值，即又由5.在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设的轨迹为.（1）写出的方程.（2）设直线与交于两点，则为何值时，此时的值时多少?答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，直线与椭圆的位置关系】（1）由椭圆的定义知的轨迹方程为（2）设由则又，而6．已知点是⊙：上的任意一点，过作垂直轴于，动点满足.(1)求动点的轨迹方程；(2)若点，则在动点的轨迹上是否存在不重合的两点、，使(是坐标原点)．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，向量及运算,轨迹问题】(1)设，，依题意，则点的坐标为，∴，．又，∴，即.∵点在⊙上，∴，∴，∴点的轨迹方程为.假设上存在不重合的两点，，使，则是线段的中点，有，即.又，在椭圆上，∴①－②，得，∴，∴直线的方程为，∴椭圆上存在不重合的两点、，使，此时直线的方程为.7.已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆交于和，若，且，求椭圆方程．【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】解法一：设椭圆方程为，依题意知，点的坐标满足方程组：②①②①=3\*GB3③设方程=3\*GB3③的两根为那么直线与椭圆交点为．由得：即．由得：即．∴．解得或．由=3\*GB3③式结合韦达定理得：或．解得或∴或．解法二：设椭圆方程为依题意知，点的坐标满足方程组，整理得：．则设直线与椭圆的交点为由得：即∴，∴由得：即∴．解得或代入得：或．∴或．8．(本小题满分15分)已知椭圆：的离心率，原点到过点和的直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点，若过点的直线(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点、(在与之间)，记，求的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】(1)由题知直线的方程为，即.依题意，得，解得，，∴椭圆的方程为.(2)由题意知直线的斜率存在且不为零，故可设的方程为，将的方程代入椭圆方程，整理得.由，得，即，∴.设，，则，且，(*)由，得，由此可得：则，且.由(*)知，，，∴，即，∵，∴，又∵，解得.即的取值范围是．法二.由题意知直线的斜率存在且不为零，故可设的方程为代到椭圆方程中，运算量会大大减少．【知识点：直线与椭圆的位置关系】五、数学视野

我们将上一节中椭圆的标准方程的推导过程作如下改变：由，经过化简，得