专题18平行线常见几何模型（综合练）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.8平行线常见几何模型（综合练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）如图，，把一个直角三角板如图放置，使它的直角顶点落在直线和之间，已知，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023下·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图，直线，用含的式子表示，则的度数为（

）

A． B． C． D．3．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，已知，，，则的度数是（

）

A． B． C． D．4．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，,一副三角板按如图所示的位置放置．若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，直线，和的数量关系是（

）

A． B． C． D．6．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（

）A． B． C． D．7．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（

）．A． B． C． D．8．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（

）A． B．C． D．与没有数量关系9．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（

）A． B． C． D．10．（2023上·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图，若，，则．12．（2020上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图所示的光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，则可判断进入潜望镜和离开潜望镜的光线是平行的，依据是：．13．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图，，，，则．14．（2023下·七年级课时练习）如图，已知，若，，则．15．（2023下·七年级课时练习）如图，直线，，，则.16．（2023下·七年级课时练习）如图，，，，表示图中三个角的角度，则，，三者之间的数量关系是．17．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则．18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

（1）如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由．（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则°．20．（8分）（2022下·山东济南·六年级统考期末）（1）问题呈现如图1，，，，求的度数；（2）问题迁移如图2，，点在的下方，请探究，，之间的数量关系，并说明理由；（3）联想拓展如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，并说明理由．21．（10分）（2019下·山西太原·七年级统考期中）综合与实践【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和，，，．

（1）在图1中，，求的度数；【深入探究】（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；【拓展应用】（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．22．（10分）（2023上·吉林长春·七年级统考期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．（1）【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）证明：过点作直线，∵，∴_______①_______．∵，∴_______②_______．∵，∴_______③_______（_______④_______）．∴．（2）【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由．（3）【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________．23．（10分）（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前2世纪我国西汉初期的《淮南万毕术》，书中记载的现象：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”即潜望镜的雏形．如图，是一个潜望镜模型示意图，光线经过互相平行的镜子和镜子反射后，形成光线，人眼在点即可看到点的光线．已知，求证．请完成下面的证明，在括号内的横线上补充正确的结论或推理的依据．

证明：（已知），（）（已知），（）（等式的性质）．，（平角的定义），，（）．24．（12分）（2018下·江苏南京·七年级校联考期中）模型与应用.【模型】（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.【应用】（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CMnMn－1的角平分线MnO交于点O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度数．（用含m、n的代数式表示）参考答案：1．B【分析】如图，设相应点的为，过作，利用平行线的性质求解即可．解：直角三角板的直角顶点为，两直角边分别与、交于，过作，如下图：

则∴，∵∴∵∴故选：B【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质．2．C【分析】过角的顶点作，根据平行线的性质可得，，即可求解．解：如图所示，过角的顶点作，

∴∵，∴，∴∴故选：C．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．3．C解：本题考查平行线的判定和性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．∵，∴，∴∴，∴，故选C．4．B【解析】略5．C【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．过作，则，则，根据，计算求解即可．解：如图，过作，则，

∴，∵，∴，即，故选：C．6．B【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．由题意知，，，由，可得，进而可求．解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即，，∵，∴，∴，故选：B．7．D【分析】过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可．解：如图所示，过点，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分线，，，，，，，，即．故选：D．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．8．A【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案．解：过C作∥，∥，，，，，，，，，

故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题．9．C【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．10．D【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正确；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正确；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，将代入，化简可得：，故③正确；④∵，，∴，∵，∴，故④正确；正确的个数共有4个，故选：D．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键．11．/75度【分析】本题主要考查了平行线的性质定理，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解.解：∵,∴，∵∴，故答案为：．12．内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的性质和判定即可求解．解：∵ABCD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠EFG＝∠FGH，∴EFGH（内错角相等，两直线平行）．故答案为：内错角相等，两直线平行．【点拨】此题主要是综合考查了平行线的判定和性质，牢记内错角相等，两直线平行．13．/65度【分析】过点作，得到，进而得到，再利用计算即可．本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点作平行线．解：过点作，

∵，∴，∴，∴；故答案为：．14．【解析】略15．140°【解析】略16．【解析】略17．/88度【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；解：过点、、分别作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案为：．18．/52度【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．解：如图，过点作，过作，

设，，∵，交于，平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案为：．19．（1），理由见分析；（2）58【分析】（1）过E作，根据平行线的性质求解即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．解：（1），理由如下：过E作，如图，

∵，∴，∴，∴，即；（2）同（1）方法可知：，∵，，∴，∴，∵平分，∴．【点拨】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键．20．（1）∠EPF=70°；（2）∠PEA=∠PFC+∠EPF．理由见分析；（3）∠EGP=90°+α．理由见分析【分析】（1）过点P作PQAB，根据平行线的性质可得∠FPQ=40°，∠BEP=∠EPQ=30°，进而可求解；（2）过P点作PNAB，则PNCD，根据平行线的性质可得∠PEA=∠NPE，即可得∠NPE=∠FPN+∠EPF，结合PNCD可求解；（3）过点G作AB的平行线GH．由平行线的性质可得∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．解：（1）如图1，过点P作PQAB，∵PQAB，ABCD，∴CDPQ．∴∠FPQ=∠DFP=40°，又∵PQAB，∴∠BEP=∠EPQ=30°，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=30°+40°=70°；（2）∠PEA=∠PFC+∠EPF．理由：如图2，过P点作PNAB，则PNCD，∴∠PEA=∠NPE，∵PN∥CD，∴∠FPN=∠PFC，∵∠NPE=∠FPN+∠EPF，∴∠PEA=∠PFC+∠EPF；（3）∠EGP=90°+α．理由：如图3，过点P作PNAB．∴PNABCD，同（1）得，∠EGP=∠BEP+∠EPN，∵∠BEP的平分线和∠EPF的平分线交于点G，∴同（2）得，∠EGP=90°+∠CFP=90°+α．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．21．（1）；（2）见分析；（3），理由见分析．【分析】（1）根据及的和为可求出，根据平行线的性质解答；（2）过点作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论；（3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．（1）解：如答图1，

∵，，∴．∵，∴；（2）解：理由如下：如答图2，过点B作．

∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴；（3）解：．理由如下：如答图3，过点C作．

∴．∵平分，，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．【点拨】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理．22．（1）；；；两直线平行，内错角相等；（2），理由见分析；（3）【分析】（）过点作直线，根据平行线的性质与判定即可求解；（）过点作直线，同理可得，，则；（）利用平行线的性质求出的值，再利用平行线的性质进行计算即可；本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.解：（1）过点作直线，∵，∴（平行于同一条直线的两条直线平行），，∴，∵，∴（两直线平行，内错角相等），∴；故答案为：；；；两直线平行，内错角相等；（2）如图所示，过点作直线，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）如图所示，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．23．；两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行.【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”可得，又由于，可得，由平角的定义可得，，由此可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．解：证明：（已知），（两直线平行，内错角相等）（已知），（等量代换）（等式的性质）．，（平角的定义），，（内错角相等，两直线平行）故答案为：；两直线平行，