高二下学期第一次段考答案

2017~2018高二下学期第一次段考理科数学答案命题人：李维、吴以浩一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．ADBBCDDACBAD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 14. 15. 16.5三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元，又据题意200πrh＋160πr2＝12000π，………………1分所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，…………………2分从而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．………………………4分因r>0，又由h>0可得r<5eq\r(3)，故函数V(r)的定义域为(0,5eq\r(3))．………………………5分(2)因V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，故V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)，………………6分令V′(r)＝0，解得r1＝5.r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．……………7分当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；……………8分当r∈(5,5eq\r(3))时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上为减函数．………9分由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．……………………10分18.（1）由题意知，，，，由此得到一般性结论：（或者猜想也行）．……4分

（2）①当时，，猜想成立．……5分②假设时，结论成立，即，………6分那么，时，…7分…9分…10分所以当时，猜想也成立．…………………11分由①②可知，上述结论对都成立，所以猜想成立．………………12分19.（1）连接AC1，交A1C于点M。连接OM，BC1。．因为棱柱的侧面是平行四边形，所以M是AC1的中点。又因为O是AB中点，所以OM是△ABC1的中位线，……………1分所以OM∥BC1。………2分又因为OM⊂平面OA1C，BC1⊄平面OA1C，………3分所以BC1∥平面OA1C．………………4分

（2）连接，，．因为，，故，都为等边三角形。因为O是AB中点，所以，。因为，，所以OC＝OA1＝eq\r(3)，A1C2＝OC2＋A1O2。所以OC⊥OA1。所以，，两两垂直，……………………5分以为原点，，，所在直线分别为x，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，…………………6分，，…………7分设平面的法向量，则…8分取，得，……………9分平面的法向量，……………10分设二面角的平面角为，显然为锐角，故．…11分所以二面角的余弦值为．………12分20.（1）时，，，………………2分令，可得或；令，可得．…4分所以函数的单调增区间是，；单调减区间为．………6分

（2）．令，则．……………………8分若，则当时，，为增函数，而，从而当时，，即．……………9分若，则当时，，为减函数，而，从而当时，，即．………………………11分综合得的取值范围为．……………………12分21.（1）设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率是，所以，即，…………1分由解得…………………3分所以椭圆的方程为．………………4分

（2）．证明如下：将代入，消去整理得，………5分令，解得，……………6分设，，则，，…………7分设直线，的斜率分别是，，则，其中………10分所以直线，的倾斜角互补，所以，所以，……………11分所以．……………………12分22.（1）因为，所以，………1分由可得．又在处取得极值，所以，所以，，所以，其定义域为，，，………………2分令，得，当时，；当时，；所以函数的增区间为，减区间为．…………3分

（2）当时，，其定义域为，①由得，记，由题意得与函数的图象有两个不同的交点，………………4分又，，………………5分令，且，得；令，且，得；所以在上单调递减，在上单调递增；所以当时，取得最小值，……………6分又，所以当时，，而当时，，当时，，…………………………7分因为与函数的图象有两个不同的交点，所以的取值范围是．…8分②由题意得，，所以，，所以，则，不妨设，要证，只需要证，即证，