12.11 勾股定理 同步练习

第十二章三角形五勾股定理12.11勾股定理基础过关全练知识点1勾股定理1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边的长分别是a，b，c，若∠A+∠C=90°，则有()A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.a+b=c2.(2023北京石景山期末)在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=213，则底边上的高为()A.12 B.23 C.32 D.183.(2021四川成都中考)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为.

4.(2023北京通州期末)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为.

5.(2022北京海淀教师进修学校期中)已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10+2，BC=10-2，则斜边AB边上的高为.

6.(2021江苏宿迁中考改编)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何?”题意：如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在池塘的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与池塘边垂直的方向拉向池塘边，那么芦苇的顶部C恰好碰到池塘边的C'处，问水深和芦苇长各多少尺?该问题的水深为尺，芦苇长为尺.

7.(2020江苏苏州中考)如图，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD.若E是AD的中点，则EC=.

8.如图所示，试求出下列各直角三角形的未知边的长. 图1 图2 图39.《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索OB的长度.10.类比勾股定理我们规定两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做倍勾股三角形，例如：某三角形的三边长分别为3，2，5，满足(3)2+(5)2=2×22，我们就判定该三角形是倍勾股三角形.(1)判断等边三角形倍勾股三角形(填是或不是)；

(2)若直角三角形的最短边为1，且该三角形为倍勾股三角形，求另外两条边的长.11.如图，意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞(图②中的空洞可看成由两个正方形和两个直角三角形组成，图③中的空洞可看成由一个正方形和两个直角三角形组成).(1)a，b，c之间满足的等量关系是；

(2)若图③中的空洞的面积为36，∠α=45°，求图③中正方形的边长c.图① 图② 图③知识点2勾股定理的验证12.(2021辽宁抚顺期末)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是() A B C D13.(2022吉林长春朝阳期末)我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个全等的直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间的四边形也是一个正方形.其中直角三角形的直角边长分别为a、b，斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为(a+b)2，也可表示为c2+4×12ab，即(a+b)2=c2+4×12ab，所以a2+b2=c如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中∠BAE=∠C=∠D=90°，请利用图②证明a2+b2=c2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边的长分别为a、b、c.求证：a2c2+a2b2=c4-b4. 图① 图②能力提升全练14.(2021山西中考)在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形去验证勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是()A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想15.(2022北京海淀首师大附中期末)如图所示的是由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是()A.16 B.25 C.144 D.16916.(2022浙江湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是()A.42 B.6 C.210 D.3517.(2019浙江宁波中考)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出() 图1 图2A.直角三角形的面积 B.最大的正方形的面积C.较小的两个正方形重叠部分的面积 D.最大的正方形与直角三角形的面积和18.(2021湖南常德中考)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD=3，BD=5，则BE的长为.

19.(2023北京顺义期末)如图所示的是某路口处草坪的一角，行走路线应是A→C→B时，但有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长为6米，BC的长为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌.则提示牌上的“多行数步”是指多行米.

20.(2022内蒙古鄂尔多斯中考)如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，若BC=5，AD=10，BE=132，则AB的长是21.(2022北京延庆期末)如图，AD、BE为△ABC的高，∠ABC=45°，F是AD与BE的交点，AC=5，BD=2.求线段DF的长度.素养探究全练22.(2022北京门头沟期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E.(1)求证：AE=DE；(2)如果AC=3，AD=23，求AE的长.

第十二章三角形五勾股定理12.11勾股定理答案全解全析基础过关全练1.C根据三角形内角和定理求得∠B=90°，根据勾股定理得a2+c2=b2.故选C.2.B如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∴BD=CD=12BC=13在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=AB2-BD2即底边上的高为23.故选B.3.答案100解析三个正方形的边长正好是直角三角形的三边长，根据勾股定理得到A所代表的正方形的面积=36+64=100.4.答案45解析∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，∴正方形MNPQ的面积=MN2=45.5.答案2解析∵∠C=90°，∴由勾股定理得AB=AC2+BC2设斜边AB上的高为h，则12AB·h=12×(10+2)(10-2解得h=263.∴AB边上的高为6.答案12；13解析设芦苇长为x尺，则水深为(x-1)尺，由题可知，C'B=12×10=5(尺)，∠ABC'=90°在Rt△AC'B中，∠ABC'=90°，∴BC'2+AB2=AC'2，∴52+(x-1)2=x2，解得x=13，∴x-1=12.故芦苇长为13尺，水深为12尺.7.答案1解析∵E为AD的中点，∴AE=ED，设AE=ED=x，CD=y，则BD=2y，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴AB2=AD2+BD2，∴22=(2x)2+(2y)2，∴x2+y2=1，在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∴EC2=DE2+CD2，∴EC2=x2+y2=1，∴EC=1.8.解析题图1：∵a2=122+52=169，∴a=13.题图2：∵(93)2=b2+(82)2，∴b2=243-128=115，∴b=115.题图3：∵82=(39)2+c2，∴64=39+c2，∴c2=25，∴c=5.9.解析设OA=OB=x尺，∵EC=BD=5尺，AC=1尺，∴EA=EC-AC=5-1=4(尺)，OE=OA-AE=(x-4)尺，在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺，根据勾股定理得x2=(x-4)2+102，解得x=14.5.则秋千绳索的长度为14.5尺.10.解析(1)设等边三角形的边长为a，根据a2+a2=2a2，得等边三角形是倍勾股三角形.(2)设该直角三角形的另外两条边的长为b和c，且1<b<c，根据勾股定理得12+b2=c2，根据倍勾股三角形的概念得12+c2=2b2，∴12+12+b2=2b2，∴b2=2，∴b=2，∴c2=12+(2)2=3，∴c=3.11.解析(1)a2+b2=c2.(2)由题可知三角形为直角三角形，且∠α=45°，∴a=b.又∵a2+b2=c2，∴c2=2a2.∵空洞的面积为36，∴c2+2×12ab=2a2+a2=36∴a2=12，∴c2=24，∴c=24=26.12.DA.12ab+12c2+12ab=12(a+b)(a+b)，整理得a2+b2=c2，能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B.4×12ab+c2=(a+b)2，整理得a2+b2=c2，能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C.4×12ab+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2，能证明勾股定理13.证明【尝试探究】梯形的面积=12(a+b)(b+a)梯形的面积=S△ABC+S△ABE+S△ADE=12ab+12c2+12ab=ab+12c2，∴12(a+b)(b+a)=ab+12c2，∴a【定理应用】易知a2+b2=c2.∵a2c2+a2b2=a2(c2+b2)，c4-b4=(c2+b2)·(c2-b2)=(c2+b2)a2，∴a2c2+a2b2=c4-b4.能力提升全练14.C这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选C.15.B根据勾股定理得AB=AC2-BC2=∴阴影部分的面积=PE2+PF2=EF2=25.故选B.16.C如图所示，∵BM=NC=4，BN=CP=2，且∠B=∠C=90°，∴△BMN≌△CNP(SAS)，∴MN=NP，∠BMN=∠CNP，∵∠BMN+∠BNM=90°，∴∠BNM+∠CNP=90°，∴∠MNP=90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得MN=NP=22+4则PM=MN2+P17.C设直角三角形的斜边长为c，较长的直角边长为b，较短的直角边长为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，较小的两个正方形重叠部分(长方形)的宽=a-(c-b)，长=a，则较小的两个正方形重叠部分(长方形)的面积=a(a+b-c)，∴知道题图中阴影部分的面积，则一定能求出较小的两个正方形重叠部分(长方形)的面积.故选C.18.答案4解析∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC=3，∠DEB=90°，在Rt△BDE中，∠DEB=90°，BD=5，DE=3，∴BE=BD2-D19.答案4解析在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6米，BC=8米，∴AB=AC2+BC∴AC+BC-AB=6+8-10=4(米)，∴多行4米的路.20.答案12解析如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE=CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE，∵∠FED=∠BEC，∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴DF=BC=5，BE=EF，∴AF=5，BF=2BE=13，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB=12.21.解析∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°.∴∠C+∠DAC=90°，∠C+∠DBF=90°，∴∠DAC=∠DBF，∵∠ABC=45°，∴∠DAB=45°.∴∠ABC=∠DAB.∴DA=DB，在△ADC与△BDF中，∠ADC=∠BDF,∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴AC=BF，∴BF=5，在Rt△BDF中，∠BDF=90°，∴DF=BF2-B素养探究全练22.解析(