《平面与平面垂直-平面与平面垂直的性质》名师课件

直线与平面垂直的定义:直线与平面垂直的判定定理:

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.复习引入αβ

aBbCEAD一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.记作α⊥β平面与平面垂直的定义复习引入如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.线面垂直面面垂直平面与平面垂直的判定定理

符号表示:复习引入平面与平面垂直---平面与平面垂直的性质湘教版同步教材名师课件学习目标学习目标核心素养掌握平面与平面垂直的性质定理.逻辑推理学习目标课程目标1.理解平面与平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理:探究归纳平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化;2.数学运算:求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象:题中几何体的点、线、面的位置关系.思考1

黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直?提示:作与墙脚线垂直的交线.探究点1、平面与平面垂直的性质探究新知αβEF思考2

如图,在长方体中,α⊥β,(1)α里的直线都和β垂直吗?(2)什么情况下面α里的直线和面β垂直?与AD垂直不一定探究新知

αβABDCE探究新知

平面与平面垂直的性质定理符号表示:DCAB两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.探究新知例1、如图所示,在正方体ABCD­-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点．(1)因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.典例讲解证明例1、如图所示,在正方体ABCD­-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点．典例讲解(2)如图,连接ON,

证明(1)直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线线、线面平行相互转化的桥梁,因此必须熟练掌握这些定理,并能灵活地运用它们.(2)当题中垂直条件很多,但又需证平行关系时,就要考虑线面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.方法归纳1.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD＝DE＝2AB,F为CD的中点.求证:平面BCE⊥平面CDE.

变式训练

G证明取CE的中点G,连接FG、BG、AF．例2、在三棱锥P­ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:AB⊥BC.因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC＝PB,所以AD⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC,所以AD⊥BC.又因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥PA.又因为AD∩PA＝A,所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,所以AB⊥BC.典例讲解证明如图,过点A作AD⊥PB于D,(1)在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.(2)面面垂直的性质定理等价于:如果两个平面互相垂直,则过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在这个平面内.方法归纳2.如图,E为△ABC所在平面外一点,若AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD＝CD.求证:AE∥平面BCD.变式训练因为BD＝CD,所以DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC＝BC,所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.又因为AE平面BCD,DM⊂平面BCD,所以AE∥平面BCD.证明取BC的中点M,连接DM,AM,例3、如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE＝CA＝2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.典例讲解

证明(1)如图,取EC的中点F,连接DF.典例讲解例3、如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE＝CA＝2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.

(3)由(2)易知DM∥BN,BN⊥平面CAE,所以DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.证明(2)取CA的中点N,连接MN,BN,(1)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此,判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键.(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题.方法归纳3.如图所示,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.变式训练证明因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,PG∩BG＝G,所以AD⊥平面PGB,因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点,∠DAB＝60°,所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.(2)连接PG,如图,1.平面与平面垂直的性质(1)平面与平面垂直的性质定理有三个条件:①α⊥β;②l⊂β;③l垂直于α与β的交线,这三个条件缺一不可．(2)平面与平面垂直的其他性质．①如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．②如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．③如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．素养提炼2.可以通过直线与平面垂直判定平面与平面垂直.平面与平面垂直的性质定理说明