基本不等式技巧-一览众山小-换元法

（5）一览众山小——换元法分母换元例1.已知实数满足，且，则的值最小时，实数（

）A． B．C． D．1解：利用换元法,设，即，故，然后利用基本不等式求最值即可．设，解得，所以，即，设，则，即，当且仅当，即时取等号，即，则的值最小时，实数，选:．例2.对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．解：利用基本不等式可求的最大值，从而可求实数k的取值范围.令，则，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故，选：B.注：复杂的分式型，可以把分母换元（双换元），达到化简的目的.比值换元例3.已知a>0,b>0,则6aba2+36b2+aba6ab=6xx2+36+则fx=当且仅当t=x+6x=5即x=2或3即ab=2或3时取''=”.

所以6aba2+36b2+aba2+b2的取大值为710.

评注例4.解：令t=a6aba=6=6t=6t=8t=8t=8≤8例5.已知y2解：令y=kx则由原式把y全部换成x可以得y2⇒k⇒k⇒xk⇒x=4=4=4k=4∵x=40<k1-k当k=此时y2故x例6.已知a,b,c∈R+且满足abc=1,求解:令a=x所以1=y=y2y由权方和不等式y2⩾x+y+z=x+y+z当且仅当yy改变条件形式的换元——寻求熟悉的面孔例7.已知实数x,y满足5x2-4xy-y2=5,则2x2+y2的最小值为令x-y=a,5x+y=b,则ab=5,x=a+b62x=1⩾1=1当且仅当27a2=3b例8.已知出数abc+2a2+2b2+2c解：由已知得a-1⇒a-1⇒a-1令a-1=x则x⩾0⇒x+y+z⇒x+y+z2+x+y+z2=124-x则t⇒t⇒t-6⇒t⩽6.

当且仅当x=y=z=2时取"="

于是可得,a+b+c的最大值为6.一次二次的换元——为了对勾而代换对与形如可令进行代换例9.函数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2解：，，则，当且仅当，即时，等号成立.（方法2）令，，，.将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.选：D例10.已知，函数的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4解：令，则，所以，当且仅当等号成立.选：B.三角换元【规律点拨】模型1.出现“|x|≤1”,可设x=sinα或x=cos出现“|x|≥1”,可设x=secα或出现“x∈R”,可设x=tanα或x=cotα.

模型2.出现“出现“x2-y2=出现“x+y=rxyr∈R+”可设x=rcos出现“x2a2-y2b2若出现“a2≤x2+y2≤b2若出现“r2-x2”,可设出现“x2-r2”,可设出现“r2+x2”，可设x=rtanα或rcotα.

模型6.出现“出现“x+y1-xy、x-y1+xy”,可设x=tanα、y=tanβ.

模型7.出现“x+y+z=xyzα+β+γ=nπ,n∈Z.

模型8.出现“xy+yz+zx=1”，可设x=tanα2、y=α+β+γ=2n+1π,n∈Z.

模型9.出现“x2+kxy+y例11.已知a>0,b>0,a+b=1,求a+12+b+12的最大值.

解：a+12+b+12=2sin2α+2cos2例12.若实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值为_______

解：由a2+b2+c2=1得b2+c2=1-a例13.设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是_______

解将4x2+所以2x+y=315sin⁡θ+cos⁡θ=85sin⁡(θ+φ),