九年级数学教案3 方程（组）与不等式（组）（一）

第三讲方程（组）与不等式（组）（一）

［教学内容］

《佳一动态数学思维》春季版，九年级第三讲“方程（组）与不等式（组）（一）”.

［教学目标］

知识技能

1.掌握一元一次方程的概念及解法，并能够应用一元一次方程解决一些简单的实际问题.

2.掌握用换元法、加减消元法解二元一次方程组的方法，能够运用二元一次方程组解决一些实

际生活应用问题.

3.掌握一元二次方程的概念及基本的四种解法，理解一元二次方程根的判别式及根与系数的关

系，并能够灵活运用解决问题.

4.掌握列方程解应用题的一般步骤，并能利用方程解决一些简单的生活实际问题.

数学思考

L通过用方程描述等量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识.

2.在解方程的过程中，体会换元、降次的思想方法，在利用方程解决实际问题的过程中体会模

型的思想.

问题解决

1.学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法解决简

单的实际问题，增强应用意识.

2.在解决问题的实际过程中学会合作、交流.

情感态度

通过解决实际问题，让学生感受数学的应用，激发学生学习热情，体会解决问题的方法，培养

学生的合作交流意识和探索精神.

［教学重点、难点］

重点：一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的概念及解法

难点：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及列方程解决实际问题

［教学准备］

动画多媒体语言课件

第一课时

教学路径

导入

师：前一讲我们复习了代数式，今天我们来复习代数方程的有关知识，方程在

初中数学中是很重要的一部分内容，在中考中一般占15%—20%左右，方程思想也

是我们在解决很多实际问题是最常用的一种思想方法，下面我们来看一下历史伟大

的数学家牛顿是怎么用方程的思想来解决实际问题的.

启动性问题

问题：一个商人每年要花掉100元维持全家生计，然后将自己剩余的财产增加

经过3年，商人发现他的财产增加了1倍.问商人最初有多少财产？

3

牛顿给出了如下解法：

商人有财产X

第一年花掉100元

然后增加剩余的八八x—1004x—400

1r-100+---------=------------

333

4%-400…4x-700

第二年又花掉100元-------------100=

3--------------3

然后又增加剩余的工tr-700+4.r-700一16x-280(

3399

16x-28OO…16%-3700

第三年再花掉100元---------------100=---------------

99

16x-37OO16x-370064x-14800

然后再增加剩余的!---------------1---------------=-----------------

392727

此数等于最初财产的两倍64%-14800_

27

（下一步）

解方程64XT4800=及解得商人最初财产为1480元.

27

师：下面我们就一起来看一下方程这部分内容在中考中主要考查哪几个方面.

考点11一元一次方程

师：在复习具体考点之前，首先我们把这一讲的知识网络体系梳理清楚.代数式是由

一些运算符号连接而成的式子，这里不包括等号和不等号，今天我们要复习含有等

号的式子和含有不等号的式子.含有等号的式子叫等式，由不等号连接的式子叫不等

式，方程也是等式，所以我们今天要复习的就是代数方程和一些简单的不等式.

回顾：

“一元一次方程

「整式方程彳二元一次方程（组）

一元二次方程

代数方程《■■、分式方程

I无理方程

（下一步）■4/―.

二元一次方程（组）消元>一元一次方程<降次一元二次方程

（下一步）

（先出现红色字体，再一步一步出现黄色阴影字体）

i.等式的概念及性质

等式：表示相等关系的式子叫做等式.

等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果

仍相等.

（2）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0）,所得的结果仍是等式.

（下一步）

（先出现红色字体，再一步一步出现黄色阴影字体）

2.一元一次方程及相关概念

方程：含有未知数的等式叫做方程.

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解也叫它

的根.

解方程：求方程解的过程叫做解方程.

一元一次方程：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次

数是1,这样的方程叫做一元一次方程.

一元一次方程的一般形式：ax+b=0（a^O）.

（下一步）

（先出现红色字体，再一步一步出现黄色阴影字体）

3.一元一次方程的解法

一般步骤：（1）去分母，（2）去括号，（3）移项，（4）合并同类项，（5）系数化1.

注意：（1）去分母时不要漏乘无分母的项.

（2）去括号时，括号前是号，去掉括号时括号内每一项都要改变符号.

（3）移项时要变号.

师：下面我们就一起来看几道例题.

初步性问题

探究类型之一等式的基本性质

例1如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果

冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（）

▲▲,

A.10g,40gB.15g,35gC.20g,30gD.30g,20g

解析：

设每块巧克力和每个果冻的重量分别为尤g,yg,

则产=2、解得「=2。，

答案：c

师：天平表示的就是一种?

生：等量关系（预设）.

师：我们可以设巧克力和果冻的质量分别为Xg和yg,这样我们就可以建立已知量

和未知量之间的等量关系了，哪位同学可以说一说你列的等量关系式？

生：（预设）3x=2y,x+y=50.

师：这是一个二元一次方程组，如何求解？

生：（预设）消元法求解.

师：当天平的左右两盘的质量相等时，天平就处于平衡状态，即可找到等量关系.

类似性问题

1.如图①所示，在第一个天平上，祛码A的质量等于祛码8加上祛码C的质量；如

图②所示，在第二个天平上，跌码A加上祛码8的质量等于3个祛码。的质量.请

你判断：1个祛码A与一个祛码C的质量相等.

\⑷/、同//、闻局xlcflcjJlcjL

I二Ij7

①

解析：\@/\同同/、耳町血，圆

4△

①②

同0向/间而/

△

②

\@/vJ既/

探究类型之二一元一次方程的解法

例2依据下列解方程°3x+°5=汩■的过程,请在前面的括号内填写变形步骤,

0.23

在后面的括号内填写变形依据.

答案：绿色标记部分一步一步填横线上

师：每一个变形步骤和变形依据是否都能说清楚，第一步变形是如何将系数变成整

系数的，依据是？

生：（预设）等号左边分数的分子分母同时乘以10,所以依据的是分数的基本性质.

师：能不能说是分式的基本性质呢？

生：（预设）不能，分母中不含有未知数，所以不是分式.

师：好，下面的每一步请同学们来说一说？

生：（预设）第二步去分母是分子分母同时乘以6,依据是等式的性质2.

生：（预设）第三步去括号的依据是去括号法则.

师：解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化

为1等.在解具体方程时，要仔细观察它的特点，注意解方程的方法与技巧；去分母

时，分子是多项式的要添括号.

类似性问题

2.解方程生」一吆±1=21一1.

364

解析：

先去分母，然后去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为1,在去分母的过

程中，注意不含分母的项别忘了也要乘各分母的最小公倍数.

考点12二元一次方程组的解法

师：复习完了一元一次方程的知识，下面我们一起来复习一下二元一次方程组的相

关知识.

回顾：

（先出现红色字体，再一步一步出现黄色阴影字体）

1.二元一次方程组的有关概念

二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.

二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做二元一次方

程的解.

二元一次方程组：由几个二元一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一

次方程组.

二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值相等的两个未

知数的值，叫做二元一次方程组的解.

（下一步）

2.二元一次方程组的解法：

（下一步）

代入

二元一次方程（组）-元一次方程

加减“

（下一步出现黄色阴影字体）

（1）代入消元法；（2）加减消元法.

师：回顾完二元一次方程组的相关知识，接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之一二元一次方程组的有关概念

例1已知|"=2,是二元一次方程组b=7'的解，则_的值为（

ab)

y=1[ax-by=1

A.-1B.1C.2D.3

解析:

x=7依+外=7,

根据方程组解的定义，把"'代入到关于x、y的二元一次方程组，

[y=icix—by=i

2a+0=7,

中得<（下一步）

2〃一。=1,

a=2,

解关于°、。的二元一次方程组（下一步）

翼二g3;

a-b=2-3=-l.

答案：A

师：5=2,是二元一次方程组（依+外=7,的解，说明什么？

y=l\ax-by=1

生：（预设）将X、y的值代入方程组，两个等式成立.

师：代入后我们可以得到？

生：（预设）关于。、人的二元一次方程组.

师：能否求出。、8的值？

生：（预设）可以，加减消元法.

师：大家在解有字母系数方程组的时候要明确方程的未知数.

类似性问题

1.若关于x,y的二元一次方程组=的解满足》+y<2,则a的取值范围

x+3y=3

为.

解析：

将两个二元一次方程相加得4x+4y=4+a,即x+y=*.（下一步）

整体代换，解关于。的一元一次不等式*<2.

x=2

3.已知<［是关于元，y的二元一次方程百x=y+a的解，求（。+1）（。-1）+7

y=g

解析:

x=2

把11代入Gx=y+q得26=G+〃，解得a=y/3.（下一步）

y=G

代入求值：（a+1）（a-l）+7=a2+6=（V3）2+6=9.

初步性问题

探究类型之二二元一次方程组的解法

2x-3>,=-5,

例2解方程组:

3x+2y=12.

解析:

加减消元法解此二元一次方程组.

答案：

j2x-3y=-5,①

解：〈〜

3x+2y=12,②

①X2+②X3得，13x=26,即尤=2.

把x=2代入②得6+2y=12,解得y=3.

x=2

所以此二元一次方程组的解为’

』=3.

师：解二元一次方程组的基本思想是什么？

生：（预设）消元.

师：这个方程组如何消元？

生：（预设）加减消元.

师：在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采

用代入法；当两个方程中的某个未知数的系数相等时，或者系数均不为零时，一般

采用加减消元法把两个方程增大适当的倍数再相加减可消去一个未知数.

类似性问题

2x+y=5,

2.解方程组:

x-3y=6.

解析：代入消元法解此二元•次方程组.

考点13二元一次方程组的应用

师：同学们先回忆一下列方程（组）解应用题的一般步骤以及我们日常生活中常见

的等量关系.

回顾：

（先出现红色字体，再出现绿色阴影字体，再一步一步出现黄色字体）

1.列方程（组）解应用题的一般步骤：

审：|审清题意，分清题中的已知量、未知量.

设：［设未知数，设其中某个未知量为X,并注意单位.

列:］建立已知量和未知量之间的等量关系，根据等量关系列方程.

・解方程.

■检验方程的解是否符合题意.

答J写出答案（包括单位）.

（下一步）

（先出现红色字体）

2.常见的几种方程类型及等量关系

（1）行程问题

基本量之间的关系：（下一步）路程=速度X时间.（下一步出现三个绿色字体）

相遇问题：|全路程=甲走的路程+乙走的路程.（下一步）

追及问‘若甲为快者，则被追路程=甲走的路程-乙走的路程.（下一步）

流水问题：1'嫉=丫静+丫水，V送=丫静-丫水・（下一步）

（2）工程问题

工作效率=工作总量

基本量之间的关系:（下一步）作工作时间.（下一步）

相等关系：甲、乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.（下一步）

提醒:工程问题中通常把工作总量看做“1”.（下一步）

（3）利率问题

寺里天外（下一步）

①本息和=本金+利息.

②利息=本金X利率义期数.

③利息税总额=利息总额X利息税率.

师：回顾完基本概念，接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型利用二元一次方程（组）解决实际问题

例1某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班主任安排小明购买奖品,

下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：

请根据上面的信息，解决问题：（1）试计算两种笔记本各买了多少本？（2）请你解

释：小明为什么不可能找回68元？

解析：

设未知数：单价为5的笔记本x本，单价为8元的笔记本y本；

（1）找等量关系：两种笔记本本数和=40,

两种笔记本钱数=300-68+13；

列方程组求解；

（下一步）

（2）找等量关系：两种笔记本本数和=40,

两种笔记本钱数=300-68；

列方程组求解，解方程组得出解不为正整数即可说明.

答案:

解：设5元的笔记本买了x本，8元的笔记本买了y本.

x+y=40,x=25,

（1）根据题意得解得＜

5%+8y=300—68+13,y=15.

答：5元的笔记本买了25本，8元的笔记本买了15本.（下一步）

（2）如果是找回68元，则买笔记本共花了232元，可得方程组

88

x=3,」

x+y=40

解得■

5x+8y=300-683-2

y=3

由于买的笔记本的数量只能是整数，故与实际生活不符，也就是说不可能找回

68元.

师：题目以对话的形式给出我们条件和问题，大家是否清楚题意？

生：（预设）两个本子的单价为5元和8元，共买了40本，花了300-68+13元，要

求两种本子的数量.

师：这里我们可以直接设两种本子的数量为x和y,关键信息是两种本子的总价，是

300-68,还是300-68+13,接下来就是列方程求解了.

学生列方程求解.

师：对于用图表信息的形式表示的等量关系，要从数据出发，探究内在联系从而找

出等量关系.

师：运用二元一次方程解应用题，关键是弄清题意，找出各种等量关系，列出方程

并解出结果.

类似性问题

1.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖

品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买

多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是（）

x+y=30y=30

A..B..

12x+16y=40016x+12y=400

12x+16y=30DJ16x+12y=3O

C..

x+y=400x+y=400

解析：

找等量关系式，根据等量关系式建立方程组求解.（卜一步）

等量关系：甲种奖品件数+乙种奖品件数=30件，

购买甲种奖品钱数+购买乙种奖品钱数=400元.

2.在长为10m,宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等

的小矩形花圃，其示意图如图所示，求小矩形花圃的长和宽.

解析：

设小矩形花圃的长为xm,宽为ym,（下一步）

等量关系式：两个小矩形的长+一个小矩形的宽=大矩形的长，

一个小矩形的长+两个小矩形的宽=大矩形的宽，（下一步）

根据等量关系式列方程求解：［2x+V=10，

%+2y=8.

3.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按

每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这

种出租车走了23千米，付了35元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元？超

过3千米后，每千米的车费是多少元？

解析：设这种出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，

等量关系：起步价+超出3千米部分的价格=总价格，

x+(ll-3)y=17,

根据等量关系式列方程求解：■

x+(23-3)y=35.

第二课时

教学路径

师：上节课我们复习了一元一次方程及二元一次方程组的相关知识，下面这节课我

们一起来复习一下一元二次方程的知识.

考点14一元二次方程

师：我们首先来回忆一下一元二次方程的基本概念及解法.

回顾：

（先出现红色字体，再一步一步出现黄色字体）

1.一元二次方程的概念

一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程，其一般形

式为ax*2+/?x+c=0（a，0）.

易错点：一元二次方程的概念隐含其二次项系数不等于0,故解有关字母系数的一元

二次方程不要忘掉其二次项系数。邦.

（下一步）

（先出现红色字体，再出现绿色字体，一步一步出现黄色字体）

2.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：|它适合于（x+a）2=6（妇0）或（办+炉=（cx+d）2形式的方程.

（2）配方法：|通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法，叫做配方法.

（3）公式法|先把方程整理成一般形式ajr+hx+c=0,且b2-4ac>0,其求根公式为为.2=

-b±\/b2-4ac

2a，

（4）因式分解法:［把方程化为〃2〃=0,得m=0或n=0的形式.

师：接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之一一元二次方程的有关概念

例1若x=2是关于龙的一元二次方程加x+8=0的一个解，则的值是（）

A.6B.5C.2D.-6

解析：

由方程根的定义，把x=2代入fr/u+gR得4-2〃?+8=0,解得〃?=6.

答案：A

师：请一位同学来讲一讲这道题？

生：（预设）将x的值代入方程，解关于根的一元一次方程.

师：还有其他方法吗？

生：（预设）利用根与系数的关系.

师：非常好，若已知方程的根代入可求字母系数的值，反之，已知字母系数，可求

方程的根，总之等式中有两个未知量，知一可求一；利用根与系数的关系也是一样

的道理，通过未知量之间的关系来求解.

类似性问题

2.已知x=l是方程/+8下2=0的一个根，则方程的另一个根是（）

A.1B.2C.-2D.-1

解析：

方法一：根据方程根的定义，把尸1代入x2+陵-2=0得l+b-2=0,得8=1,所

以厂2=0,解得汨=1,X2=-2；（下一步）

方法二：根据根与系数的关系可知汨*2=-2,又即=1,故X2=-2.

初步性问题

探究类型之二一元二次方程的解法

例2解方程f-4x+l=0.

解析：

用配方法或公式法求解.

答案：

解：

方法一：移项，得f-4x=T.

配方，得（x~2）2=3.

两边开平方，得尸2=±6，故x=2±&,即XI=2+百，、2=2-e.（下一步）

方法二：因为a=l,b=-4,c=L所以A=b2-4ac=12>0.

方程有两个不相等的实数根

1±”二4**注叵二2±6即即=2+百，32-6

2a2x1

师：如何求解比较简单？

生：（预设）配方或求根公式法.

师：要注意什么？

生：（预设）配方法要注意开方前要检验被开方数是否非负，求根公式法要注意先判

断△再决定是否求根.

师：很好，大家还要注意直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法之间的

联系和区别，求根公式是通过先配方再开平方得到的，选择合适的方法会给求解带

来便利，比如这道题目，不是完全平方的形式，所以不能直接开平方，但是可以配

方，然后再开方，当然也可以直接用求根公式，由于方程的根不是有理数，所以不

能用常用的因式分解法，反而是我们求出根后知道等号左边的二次三项式如何因式

分解.

类似性问题

1.一元二次方程尤（k1）=0的解是（）

A.x=0B.x=l

C.x=0或x=lD.x=0或x~l

解析：因式分解法.

由x（x~l）=0可得x=0或犷1=0,即x=0或x=L

3.解方程x（x+6）=16.（用三种不同的方法）

解析：

配方法，因式分解法，求根公式法.

考点15一元二次方程根的判别式

师：同学们先回忆一下我们是如何判断一元二次方程的根的情况的？

回顾：

（先出现红色字体，再出现绿色字体，最后一步步出现黄色字体）

一元二次方程根的判别式：关于X的一元二次方程加+笈+c=O（a/））的根的判别式

为b2-4ac,也把它记作△=/-4ac,.

判别式△=一元二次方程根的个数

（1）房-4a.>do方程有两个不相等的实数根.

（2）用方程有两个相等的实数根.

（3）b24t7c<0<=>方程没有实数根.

（4）。7*$<=>方程有实数根.

（下一步）

易错点：在使用根的判别式解决问题时，二次项系数中含有字母，常漏掉二次项系

数不为零这个隐含条件.

初步性问题

探究类型一元二次方程根的判别式

例1已知关于x的一元二次方程（a—1）/—2x+l=0有两个不相等的实数根，则a

的取值范围是（）

A.a<2B.a>2

C.a<2且aWlD.a<-2

解析：由根的个数与判别式的关系得：

一元二次方程有两个不相等的实数根="=（-2）-4（«-l）xI>0,（下一步）

解得a<2且a/1.

答案：C

师：如何求。的取值范围？

生：(预设)由方程根的个数，知△大于0.

师：完整吗？

生：(预设)还有二次项系数不为0.

师：如果一元二次方程中含有字母系数，大家要注意二次项系数不能为0,这是由根

的情况求字母系数的取值范围，反之根据字母系数的取值范围我们也可以判断根的

个数.在判别方程实根的情况时，由△=及-4"判别式的特点知：当a,c异号时，

方程必有两个不等实根；只有当a,c同号时，才用计算判别式的值的方法判断，以

加快解题速度.

例2关于x的一元二次方程f-3xd=0有两个不相等的实数根.

(1)求人的取值范围.

(2)请选择一个上的负整数值，并求出方程的根.

师：请同学们思考以下问题：

1.该一元二次方程的判别式是什么？

2.方程有两个不相等的实数根等价于什么条件？

解析：

(1)由题意，令△=02-4ac>0,求人的取值范围；(下一步)

(2)在上的取值范围内选取负整数.

答案：

解：(1)A=(-3)2-4XlX(-k)=9+4k.

由方程有两个不相等的实数根知△>(),

9

即9+4左>0,解得心>-一.

4

(2)可选取攵=-2,此时该一元二次方程为f-3x+2=0,

解这个一元二次方程得加=1，X2=2.

师：第一问与例1是同样的题目，第二问，选取人的取值时要注意什么？

生：（预设）在第一问的取值范围内选取.

类似性问题

1.证明：不论加取何值时，关于X的方程（尸1）（X-2）=加2总有两个不相等的实数

根.

解析：

先将（尸1）（厂2）=加2化为一般形式，然后证明A>0即可.

2.若关于x的一元二次方程f+4尤+2上0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负

整数值.

解析：

方程有两个实数根，即AX）,然后解不等式求人的取值范围，最后取R的负整

数解即可.

考点16一元二次方程根与系数的关系

师：复习完了一元二次方程根的判别式，接下来我们复习一下一元二次方程根与系

数的关系.一元二次方程的根与系数有什么关系呢？同学们想一想.

回顾：

一元二次方程根与系数的关系：（下一步）

如果x\,xz是一元二次方程cuc2+bx+c=Q（a#0）的两个根，那么

hc

X\+X2=~—,Xl*X2=­.

aa

师：下面我们就来看一下用一元二次方程根与系数的关系可以解决哪些类型的问题.

初步性问题

探究类型之一利用根与系数的关系求方程根的有关代数式的值

例1已知一元二次方程9-6厂5=0的两根为a,b,则的值是__________.

ab

解析：

根据根与系数的关系可得a+匕=6,ab=~5；（下一步）

整体代入有关根的代数式：1+1==

abab5

答案：-9

5

师：由条件和要求的你的解题思路是？

生：（预设）将要求的代数式通分可知只要求出两根之和，两根之积即可，而方程式

已知的，所以利用根与系数的关系可求.

师：非常好，关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择哪

种方式要根据具体题目的特点来确定）：①利用求根公式求根；②利用根与系数的关

系将这两个根的和与积表达出来：X|+X2=-2,»检=£,以便后继作整体代换；③将

aa

根代入方程中进行整体处理，具体如何处理要根据题目条件和式子的特点来决定.

类似性问题

1.已知一元二次方程VTy+UO的两个实数根分别为“，小，则（yi-l）（”T）的

值为.

解析：

由根与系数的关系可得yi+”=3,5”=1,（下--步）

整体代入有关根的代数式:（yi-l）（p-l）=yi”-（yi+”）+l=l-3+l=-l.

初步性问题

探究类型之二利用根与系数的关系求未知系数的值

例2关于x的一元二次方程f+2x+A+l=0的实数解是总和以

（1）求女的取值范围；

（2）如果X1+X2—X2<—1且左为整数，求女的值.

解析:

（1）一元二次方程f+2x+k+l=0有两个实数根，故AK）；（下一步）

（2）根据根与系数的关系得为+及=-2,X（x2=k+l,整体代入有关根的不等式

用+及一制无2<一1，再结合（1）的结论确定出左的范围，最后取整数解即可.

答案：

解：（1）因为一元二次方程f+2x+k+1=0有两个实数根，

所以—=22-4（A+1）=~4k>0,

即”0.（下一步）

（2）根据根与系数的关系得xi+%2=-2,x\X2=k+1,

所以-2-（Jt+l）<-1,

解得%>-2,

结合（1）知-2〈仁0.

又攵为整数，

所以左=-1或0.

师：第一问请同学来讲一下思路？

生：（预设）由方程根的个数求字母系数的取值范围.

师：勿忘二次项系数非0,第二问呢？

生：（预设）根据不等式的特点，利用根与系数的关系即可.

师：当方程中含有字母系数利用根与系数的关系时勿忘判别式的符号，最后结合（1）

的结论勿忘求整数解，

类似性问题

2.若关于x的一元二次方程f-4x+h3=0的两个实数根为汨，X2,且满足幻=3及，试

求出方程的两个实数根及k的值.

解析：

根据根与系数的关系可知为+X2=4,结合加=3尬可求出R，X2的值；（下一步）

根据根与系数的关系X1X2=63求出4的值.

3.已知关于x的方程x2—2（^―1）x+M=0有两个实数根Xi,X2.

(1)求人的取值范围；(2)若婕|+X2|=X1X2-1，求女的值.

解析：

(1)方程X2—2(A—1)x+R=O有两个实数根xi，及，则AN0,从而确定出人

的取值范围；(下一步)

(2)由根与系数的关系得无1+无2=2(女一1),X\X2=^2，代入k|+X21=X|X2-1求出

上的值，结合(1)中的结论要注意女的取值范围.

考点17一元二次方程的应用

师：同学们先想一下前面我们复习的用二元一次方程组解决实际问题的步骤.

生：(思考回答)

师：那么利用一元二次方程解决实际问题是不是也是这样的步骤呢？利用一元二次

方程都能解决哪些类型的实际问题呢？

生：(思考回答)

回顾：

(先出现红色，再绿色，再黄色)

1.增长率问题

等量关系：

(1)增长率=增量濯础量.

(2)设“为原来的量，为平均增长率，〃为增长次数，b为增长后的量，则

a(l+m)n=b9当加为平均下降率时，Rlla(l-m)n=b.

2.利润率问题

等量关系：

(1)毛利润=售出价-进货价.

(2)纯利润=售出价-进货价-其他费用.

利润

(3)利润率=aw-

师：下面我们就来看一下如何用一元二次方程解决增长率问题及销售问题.

初步性问题

探究类型之一增长率问题

例1广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房

地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格

经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠

方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问

哪种方案更优惠？

解析：

（1）设平均每次下调的百分率为X,

第一次下调后价格为6000（1-x）元，

第二次下调后价格为6000（l—x）2元：（下一步）

（2）分别算出两种方案下的优惠价格.

答案：

解：（1）设平均每次下调的百分率为x,则根据题意可得

6000（1—x）2=4860,

解这个方程得xi=0.1=10%,%2=1.9（不合题意，舍去）.

答：平均每次下调的百分率为10%.（下一步）

（2）按方案①购房优惠4860X100X0.02=9720（元）；

按方案②购房优惠80X100=8000（元）.

因为9720>8000,所以方案①更优惠.

师：增长率问题，如何求解？

生：（预设）设下调的百分率为x,将第二次下调后得价格表示出来，列出方程求解.

师：解方程的过程中勿忘检验，第二问，如何判断哪个方案更优惠？

生：（预设）我们可以求优惠后的价格.

生：（预设）也可以求优惠了的价格.

师：非常好，从不同的角度去思考一个问题是我们在解决问题时需要注意的.

类似性问题

1.某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百

分率为x,则下面所列方程中正确的是()

A.289(1-x)2=256B.256(1-x)2=289

C.289(1-2%)=256D.256(l-2r)=289

解析：

第一次降价后的售价为289(1-x)元，第二次降价后售价为289(1-x)(1-x)

=289(1-x)2元，故289(1-x)2=256.

初步性问题

探究类型之二商品销售问题

例2商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存,

商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天

可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：

(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利_____元(用含x的代数式表示);

(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达

到2100元？

解析：

(2)根据等量关系“每件商品的盈利X可卖出商品的件数=2100元”列方程求

解.

答案：

(1)2x；(50-x)

(2)解：设每件商品降价x元，根据题意可得

(50-x)(30+2%)=2100,

整理得f-35》+300=0,

解这个方程得xi=15,X2=20.

因为随着价格的降低销售量逐渐增加，所以为了要尽快减少库存应降价20

元.

所以，当降价20元时，商场日盈利可达到2100元.

师：这是商品销售问题，商品销售量增加的件数与降的价格有什么关系，盈利与降

的价格又有什么关系？

生：（预设）商品销售量增加的件数与降的价格成正比例，为2x件，盈利随着x的

增加而减小，为（50-x）元.

师：第二问呢？

生：（预设）根据等量关系式：每件的利润X件数=总利润可列方程求解.

类似性问题

3.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，

可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个.商店若准备获利2000元，则

应进货多少个？定价为多少？

（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？

（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？

（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则定价多少？

解析：

（1）本题适合设定价增加x元，需表示出每件的利润和销售量；（下一步）

（2）根据“每件的利润X销售量=2000元”列方程，方程的解为正值表明是提

高定价，方程的解为负值表明降低定价；（下一步）

（3）二次函数最值问题：配方法确定定价和最大利润.

师：接下来我们看一道面积型的一元二次方程应用题.

2.如图所示，邻边不等的矩形花圃它的一边AO利用已有的围墙，另外三边

所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2,则A8的长度是m（可

利用的围墙长度超过6m）.,

r围aL墙

////////////////////

AD

B'-------------'c

解析：

设A3=xm,则8C=（6-2x）m；（下一步）

根据题意得x(6-2%)=4,解得汨=1,X2=2；(下一步)

当x=2时，6-2犬=2,也就是说此时A3=BC=2m,与图中的“邻边不等”

相矛盾，故应舍去.

答案：

【类似性问题】

考点11

1.2

考点12

1.a<4

(x=3

2