2024-2025学年北京市延庆一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市延庆一中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，其终边经过点P(1,2)，则sinα=(

)A.255 B.55 2.已知向量a=(k,−2)，b=(−1,k)，且a与b方向相反，则k=(

)A.±2 B.0 C.−3.在△ABC中，a=2，b=3，cosB=74，则∠A=A.π6 B.π3 C.5π6 D.4.已知cosα=35，且角α，β的终边关于y轴对称，则cosβ=(

)A.35 B.−35 C.45.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

)A.若l⊥α，l//m，则m⊥α B.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

C.若l//α，m⊂α，则l//m D.若l//α，m//α，则l//m6.在△ABC中，∠A=π3,BC=2，则“AB=2”是“△ABC的面积为3A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA.8 B.62 C.88.已知函数f(x)=tsinωx+cosωx(ω>0,t>0)的最小正周期为π，最大值为2，则函数f(x)的图象(

)A.关于直线x=−π4对称 B.关于点(−π4,0)对称

C.关于直线x=π9.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⋅PB的取值范围是(

)A.[−5,3] B.[−3,5] C.[−6,4] D.[−4,6]10.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥S−ABCD为阳马，且AB=AD，SD⊥底面ABCD.若E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S−AE−D的平面角为γ，则(

)A.β<γ<α

B.β<α<γ

C.α<γ<β

D.α<β<γ二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为12.在△ABC中，点M，N满足AM=2MC，BN=NC.若MN=x13.已知α是任意角，且满足cos(α+k⋅π6)=sinα，则常数k的一个取值为14.楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用.如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形.若AB=6cm，EF=3cm，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为______．

15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是该正方体对角线BD1上的动点，给出下列四个结论：

①AC⊥B1P；

②△APC面积的最小值是2；

③只存在唯一的点P，使BD1⊥平面三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=1，E是PB的中点．

(1)求直线BD与直线PC所成角的大小；

(2)求点B到平面ADE的距离．17.(本小题14分)

已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx−cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期及[0,π2]上的最值；

(2)18.(本小题14分)

在△ABC中，cos2A=−12,a=7,c=8且∠C为锐角.求：

(1)求∠A的大小；

(2)求△ABC19.(本小题14分)

如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．

(1)求平面ABE与平面BEC所成的角的余弦值；

(2)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出EPEC的值；若不存在，说明理由．20.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1是边长为4的菱形，AB=BC=13，点D为棱AC上动点(不与A，C重合)，平面BDB1与棱A1C1交于点E．

(1)求证：BB1//DE；

(2)若ADAC=34，从条件①、条件②、条件③中选择两个条件作为已知，求直线21.(本小题15分)

定义向量OM=(a,b)的“伴随函数”为f(x)=asinx+bcosx；函数f(x)=asinx+bcosx的“伴随向量”为OM=(a,b)．

(1)写出函数f(x)=sin(x−π3)+sinx的“伴随向量”为ON，并求|ON|；

(2)已知|OM|=|ON|=1,OM的“伴随函数”为f(x),ON的“伴随函数”为g(x)，设OP=λOM+μON(λ>0,μ>0)，且OP的伴随函数为ℎ(x)参考答案1.A

2.D

3.A

4.B

5.A

6.C

7.C

8.C

9.D

10.A

11.2

12.1313.−3(答案不唯一)

14.30cm15.①③④

16.解：(1)因为底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，

则以点D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系．

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E(12,12,12)，

设直线BD与直线PC所成的角为θ，

因为BD=(−1,−1,0)，PC=(0,1,−1)，

cosθ=|BD⋅PC||BD|⋅|PC|=12×2=12，

所以直线BD与直线PC所成角为π3；

(2)因为DA=(1,0,0)，PC=(0,1,−1)，DE=(117.解：(1)根据题意，f(x)=−(cos2x−sin2x)+sin2x=2sin(2x−π4)，

∴f(x)的最小正周期T=2π2=π；

∵x∈[0,π2]，∴2x−π4∈[−π4,3π4]，

即−1≤f(x)≤2，

18.解：(1)因为a<c，所以A为锐角，

所以2A∈(0,π)，由cos2A=−12<0可得2A=2π3，

可得A=π3；

(2)由正弦定理asinA=csinC，

而a=7，c=8，

可得7sinπ3=8sinC，

所以sinC=437，

因为∠C为锐角，所以cosC=19.解：(1)∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，

∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EA⊂平面ABE，

∴EM⊥平面ABCD，∴EM⊥MC，

∵△ABC是正三角形，∴MC⊥AB.∴MB、MC、ME两两垂直，

建立如图所示空间直角坐标系M−xyz，

则M(0,0,0)，A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，E(0,0,3)，

BC=(−1,3,0)，BE=(−1,0,3)，

设m=(x,y,z)是平面BCE的一个法向量，

则m⋅BC=−x+3y=0m⋅BE=−x+3z=0，

令z=1，得m=(3,1,1)，

∵y轴与平面ABE垂直，∴n=(0,1,0)是平面ABE的一个法向量，

则cos<m,n>=m⋅n|m|⋅|n|=15×1=55，

由图可知，平面ABE与平面BEC所成的角为锐角，

∴平面ABE与平面BEC所成的角的余弦值为55；

(2)假设在线段EC上存在点20.(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1/​/BB1，

又BB1⊄面ACC1A1，AA1⊂面ACC1A1，

∴BB1/​/平面ACC1A1，

又面B1BDE∩面ACC1A1=DE，BB1⊂面B1BDE，

∴BB1//DE．

(2)解：若①②，取AC中点O，连接BO，A1O，由题意易知BO⊥AC，BO=3，

又二面角A1−AC−B为直二面角，即面ABC⊥面ACC1A1，

∵面ABC∩面ACC1A1=AC，BO⊂平面ABC，∴BO⊥面ACC1A1，

而A1O⊂平面ACC1A1，

∴A1O⊥BO，OB⊂平面ABC，

故A 1O⊥OB，

由A1B=21，则A1O=A1B2−BO2=23，

故可以以O为原点，以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,−2,0),A1(0,0,23),B(3,0,0),B1(3,2,23),C(0,2,0)，

C1(0,4,23),D(0,1,0)，

∴A1B1=(3,2,0),A1C=(0,2,−23),C1D=(0,−3,−23)，

设面B1A1C的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，

则n⋅A1B1=0n⋅A1C=0，即3x1+2y1=02y1−23z1=0，

令x1=2⇒y1=−3,z1=−3，故n=(2,−3,−3)，

设直线C1D与面B1A1C所成角为θ，

则sinθ=|cos<n,C1D>|=|n⋅C1D||n|⋅|C1D|=154⋅21=52128，

∴直线C1D与面B1A1C所成角的正弦值为52128；

若选②③，连接A1C，取AC中点O，连接A1O，BO，

在菱形AC21.解：(1)由题可知f(x)=sin(x−π3)+sinx

=sinxcosπ3−cosxsinπ3+sinx=32sinx−32cosx，

故ON=(32,−32)，

所以|ON|=(32)2+(32)2=3；

(2)①设OM=(cosα