数学自我小测利用导数研究函数的极值

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．在下面函数y＝f(x)图象中，既是函数的极大值点又是最大值点的是()A．x1 B．x2 C．x3 D．x42．函数y＝f(x）的定义域为开区间(a，b），导函数y′＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数y＝f(x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．函数f(x）＝x3－3x＋1在闭区间［－3,0]上的最大值、最小值分别是()A．1,－1 B．1，－17 C．3，－17D．9，－194．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间［0,3］上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为(）A．2 B．4 C．18 D．205．已知函数f（x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1，0)点，则函数f(x)的极值是()A．极大值为eq\f(4，27)，极小值为0 B．极大值为0，极小值为eq\f（4，27）C．极大值为0，极小值为－eq\f(4,27) D．极大值为－eq\f(4,27)，极小值为06．关于函数f（x）＝x3－3x2，给出下列四个命题：（1)f（x）是增函数，无极值；（2)f（x）是减函数，无极值;(3）f（x）的单调递增区间是（－∞，0）和（2,＋∞），单调递减区间是(0，2)；（4)f（x)在x＝0处取得极大值0,在x＝2处取得极小值－4。其中正确命题是________．（填序号)7．已知函数f(x）＝2x3＋3(a＋2）x2＋3ax的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝2，则a＝__________.8．已知函数f（x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′（x）的图象经过点(1,0)，(2,0），如下图所示，则下列说法中不正确的是__________．①当x＝eq\f(3，2）时函数取得极小值；②f（x）有两个极值点;③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．9．设函数f（x）＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g（x)＝f（x)－f′（x）是奇函数．(1）求b,c的值．(2)求g（x)的单调区间与极值．10．已知f（x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f（1)＝－1.（1)试求常数a，b，c的值．(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．11．已知a为实数，f（x)＝(x2－4）（x－a）．(1）求f（x)的导数f′(x）；(2）若f′(－1）＝0,求f(x）在[－2，2]上的最大值和最小值；(3)若f(x）在（－∞,－2]和［2，＋∞）上都是单调递增的，求a的取值范围．

参考答案1.答案：C2.解析:由y′＝f′(x）的图象可知，函数y＝f（x）在区间（a,b)内，先增，再减，再增,最后再减，故函数y＝f(x）在区间(a，b)内只有一个极小值点．答案：A3。解析：f′（x）＝3x2－3＝3(x－1）（x＋1）．令f′(x)＝0,得x1＝－1或x2＝1，f（－3)＝－17，f(0)＝1，f（－1)＝3,f(1）＝－1,所以f（x)在区间［－3,0]上的最大值为3,最小值为－17.答案:C4。解析：令f′(x）＝3x2－3＝3（x2－1）＝0，得x＝±1.又x∈[0,3],所以x＝1。则x∈(0,1）时,f′(x)＜0;x∈（1，3）时，f′(x）＞0.又f（0)＝－a，f(1)＝－2－a，f（3）＝18－a,所以M＝18－a，N＝－2－a,所以M－N＝20.答案：D5.解析：由题意，得f（1)＝0，所以p＋q＝1。①f′(1)＝3－2p－q＝0，所以2p＋q＝3.②由①②得p＝2，q＝－1.所以f(x）＝x3－2x2＋x，f′（x）＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．令f′(x）＝0，得x＝eq\f(1,3）或x＝1，feq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（\f(1，3）))＝eq\f(4,27)，f(1）＝0。答案:A6。答案：(3）(4）7。解析：f′(x)＝6x2＋6(a＋2）x＋3a。因为x1，x2是f(x）的两个极值点,所以f′(x1）＝f′（x2）＝0，即x1,x2是6x2＋6（a＋2)x＋3a＝0的两个根，从而x1x2＝eq\f（3a，6)＝2，所以a＝4。答案:48。解析:从图象可以看出，当x∈（－∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，2)时,f′（x）＜0；当x∈（2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f（x）有两个极值点1和2,且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值,只有①说法不正确．答案：①9。解:（1)f′（x）＝3x2＋2bx＋c，所以g(x)＝f（x）－f′(x）＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c）＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c。又g（x）是奇函数，所以g（0)＝－c＝0。由g（－x)＝－g(x)得b－3＝0，所以b＝3，c＝0。（2）由（1)知,g(x)＝x3－6x，所以g′(x）＝3x2－6.令g′（x）＝0，得x＝±eq\r（2）；令g′（x)＞0，得x＜－eq\r（2)或x＞eq\r(2)；令g′（x)＜0,得－eq\r(2)＜x＜eq\r(2）。所以（－∞，－eq\r（2)），(eq\r(2），＋∞）是函数g（x)的递增区间，(－eq\r（2），eq\r(2))是函数g(x)的递减区间，函数g（x)在x＝－eq\r（2）处取得极大值为eq4\r(2）；在x＝eq\r（2）处取得极小值为－eq4\r(2)。10.解:(1）f′(x)＝3ax2＋2bx＋c。因为x＝±1是函数f(x）的极值点，所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得又f（1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.③由①，②，③解得a＝eq\f（1，2)，b＝0,c＝－eq\f（3，2)。（2)f（x)＝eq\f（1，2）x3－eq\f(3，2)x，所以f′(x）＝eq\f(3，2)x2－eq\f(3，2)＝eq\f（3,2）（x－1)(x＋1）．当x＜－1或x＞1时，f′（x）＞0;当－1＜x＜1时，f′(x)＜0。所以函数f（x)在（－∞，－1）和(1，＋∞)上是增函数,在（－1,1)上是减函数．所以当x＝－1时,函数取得极大值f（－1）＝1,当x＝1时，函数取得极小值f（1)＝－1。11。解：(1)由原式，得f（x）＝x3－ax2－4x＋4a,所以f′（x）＝3x2－2ax－4。（2）由f′(－1)＝0,得a＝eq\f（1,2），此时有f(x)＝(x2－4）·eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(x－\f(1，2））），f′(x）＝3x2－x－4.由f′（x)＝0，得x＝eq\f（4,3),或x＝－1.又feq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(4，3）))＝－eq\f（50，27）,f(－1）＝eq