机械制图第三章直线与平面、平面与平面

第3章

直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置

3.1平行问题

3.1.1直线与平面平行

3.1.2两平面平行

3.2相交问题

3.2.1利用积聚性求交点或交线

3.2.2利用辅助平面法求交点或交线

3.3垂直问题

3.3.1直线与平面垂直

3.3.2两平面垂直

3.4点、线、面综合解题

3.4.1解题的一般步骤

3.4.2解题示例3.1平行问题3.1.1直线与平面平行定理：若空间一直线与平面上的任一直线平行，则此直线必定与该平面平行。(a)(b)图3-1直线与平面平行

3.1平行问题【例3-1】已知△ABC和平面外一点E的投影（图3-2a），过点E作一水平线EF，使其平行于△ABC平面。(a)题设图3-2过点作水平线与平面平行分析：根据直线与平面平行的几何条件，所作直线应平行于△ABC平面内的水平线。在△ABC平面内可作无数条水平线，它们之间均相互平行。为作图方便，本题作过A点的水平线AI，然后过E点作EF∥AI，即为所求。(b)作平面内水平线（c）完成作图3.1平行问题【例3-2】已知△ABC和平面外一直线EF的两面投影（图3-3a），判断直线EF是否与给定平面△ABC平行。(a)图3-3判断直线与特殊位置平面是否平行分析判断：因为直线EF的投影与铅垂面△ABC的有积聚性的投影相互平行，则直线EF与铅垂面△ABC平行，空间分析如图3-3b所示。(b)3.1平行问题

3.1.2两平面平行若一平面上的两条相交两直线，分别与另一平面上的两条相交两直线对应平行，则两平面相互平行。(a)(b)图3-4两平面平行的条件3.1平行问题【例3-3】过点K作一平面平行于由平行两直线AB和CD确定的平面（图3-5a）。(a)题设

图3-5过K点作已知平面的平行面

分析：最简便的方法就是过点K作一对相交直线对应平行于已知平面内一对相交直线，由于已知平面由平行两直线确定，因此应先在已知平面内作一直线与AB、CD相交。(b)作图

3.1平行问题【例3-4】试判断已知平面△ABC和平面△DEF是否平行（图3-6a）。(a)题设图3-6判断两一般位置平面是否平行分析：可过一平面上一点作两相交辅助线，与另一平面的一对相交直线对应平行，如果能证明所作辅助线属于前一平面，则该两平面就互相平行。

(b)作图3.1平行问题【例3-5】试判断已知平面△ABC和平面△DEF是否平行（图3-7a）。(a)图3-7判断两特殊位置平面是否平行分析判断：从已知两平面的水平投影可知，这是两个铅垂面，而且有积聚性的水平投影平行，所以不用作图，可直接判断两个平面是平行的，空间分析如图3-7b所示。(b)3.2相交问题

直线与平面如不平行，则一定相交于一点（图3-8a），该交点是直线与平面的共有点。它既属于直线，也属于平面。两平面如不平行，则一定相交于一条直线（图3-8b），该交线是两平面的共有线。求交线时，只要求出属于该交线上的两点（即两平面的两个共有点）或一个共有点和交线的方向即可作出交线。(a)直线与平面相交(b)两平面相交图3-8相交问题根据直线或平面对投影面的位置，求直线与平面的交点及两平面交线的方法一般有利用投影的积聚性求交线，或利用辅助平面法求交点或交线两种。3.2相交问题3.2.1利用积聚性求交点或交线1）投影面垂直线与一般位置平面相交【例3-6】求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点K（图3-9a）。(a)题设图3-9铅垂线与一般位置平面相交(b)作图过程(c)结果分析：因为水平投影ef积聚为一点，可知EF是铅垂线，交点K的水平投影k与ef重影。因为K点也是△ABC内的一点，利用平面上取点的方法，作出交点K的正面投影k′。3.2相交问题2)一般位置直线与特殊位置平面相交【例3-7】求直线MN与△ABC平面的交点（图3-10a）。(a)题设图3-10一般位置直线与铅垂面相交分析：由于△ABC平面为铅垂面，其水平投影积聚为一直线，因此，水平投影中abc与mn的交点k必为直线与平面的交点K的水平投影，然后再根据K与直线MN的从属关系，利用直线上取点的方法求出其V面投影，空间分析如图3-10b所示。

(b)空间分析

(c)作图过程(d)作图结果3.2相交问题3）一般位置平面与投影面垂直面相交当相交两平面中有一个平面的投影有积聚性时，即可利用有积聚性的投影来确定交线的一个投影，交线的另一个投影，可以按平面上取点、取线的方法作出。【例3-8】求△ABC与△DEF的交线（图3-11a）。(a)题设图3-11铅垂面与一般位置平面相交

(b)空间分析分析：从图3-11b可知，△DEF为铅垂面，水平投影积聚为一直线；△ABC为一般位置平面，两个投影都是类似形。交线的水平投影一定与△DEF的水平投影重合，即在def与△abc重叠的共有部分。可利用属于直线上点的求法，在△a′b′c′的对应边线上求出交线的V面投影。(c)作图3.2相交问题4）两特殊位置平面相交指两个平面对同一个投影面都具有积聚性的情况，这时两平面的交线同时也对此投影面具有积聚性。【例3-9】已知相交两平面□ABCD和□EFGH（图3-12a），试求两平面的交线并判断可见性。(a)题设图3-12两个正垂面相交求交线分析：从图3-12a看，□ABCD和□EFGH均为正垂面，两个正垂面的交线是一条正垂线，正面投影积聚为一点，其水平投影垂直于X轴，空间分析如图3-12b所示。

(b)空间分析(c)作图结果3.2相交问题3.2.2利用辅助平面法求交点或交线当相交两几何元素都不垂直于投影面时，其投影均无积聚性，不能从投影图上直接利用积聚性作图，这时可利用辅助平面的方法来求交点或交线。其基本原理和作图步骤如下（图3-13）：（1）过已知直线作一辅助平面。为作图方便，一般所作辅助平面应为特殊位置平面，如过EF作辅助平面P为一铅垂面。（2）作出该辅助平面与已知平面的交线，如P平面与△ABC的交线MN。（3）作出该交线与已知直线的交点，即为已知直线与已知平面的交点，如MN与EF的交点K。图3-13用辅助平面法求交点3.2相交问题1)一般位置直线与一般位置平面相交【例3-10】求直线EF与△ABC平面的交点（图3-14）。(a)题设

图3-14求一般位置直线与一般位置平面的交点(b)作图过程(c)作图结果分析：直线EF为一般位置直线，△ABC为一般位置平面，投影均无积聚性，需用辅助平面求交点。辅助面一般为过直线某一投影作投影面垂直面，通常用迹线表示。3.2相交问题2）一般位置平面与一般位置平面相交两一般位置平面相交，由于其投影均无积聚性，因此，交线也不能直接求出，同样需用辅助平面法求。求作时可将一平面中的某一边看成是一直线，利用一般位置直线与一般位置平面求交点的方法，求出交点。再取另一条边，同样方法求出交点，两交点同面投影连线即交线的投影。3.2相交问题【例3-11】求△ABC与△DEF的交线（图3-15a）。(a)题设图3-15求两一般位置平面的交线

(b)作图过程(c)结果作图分析：选取△ABC的两条边AB、AC，分别作出它们与△DEF的交点，连接两交点即为所求的交线。3.3垂直问题3.3.1直线与平面垂直定理：直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。应用直角投影定理，该直线的水平投影必垂直平面上水平线的水平投影，该直线的正面投影必垂直平面上正平线的正面投影。此定理的逆定理成立。（a）(b)图3-16直线与平面垂直3.3垂直问题【例3-12】试过定点N作给定平面△ABC的法线MN（图3-17a）。(a)题设图3-17过点作平面的垂线分析：为方便应用直角投影定理，在△ABC内分别作正平线和水平线，然后使所作直线分别垂直于正平线的正面投影和水平线的水平投影，则所作直线与给定的平面垂直。(b)作图

3.3垂直问题【例3-13】已知由平行两直线AB和CD给定的平面（图3-18a），试判断直线MN是否垂直于该平面。(a)题设图3-18判断直线是否垂直于平面分析：关键是验证直线MN是否能垂直给定平面的一对相交直线，为方便应用直角投影定理，应在平面内分别作正平线和水平线，然后验证所给直线是否分别垂直于正平线的正面投影和水平线的水平投影。(b)作图3.3垂直问题3.3.2两平面垂直如一直线垂直一平面，则包含这一直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如两平面互相垂直，则从属于第一平面上的任意一点向第二平面所作的垂线，必定属于第一平面。(a)(b)(c)图3-19两平面垂直3.3垂直问题【例3-14】已知铅垂面△ABC、直线ED和K点（图3-20a），过K点作一平面垂直于△ABC，并平行于ED。(a)题设图3-20过点作平面垂直于铅垂面且平行于已知直线分析：只要过K点作直线垂直于△ABC，则包含该直线的所有平面都垂直于△ABC。由于△ABC是铅垂面，则过K点作△ABC的垂线KN必为水平线，其水平投影kn⊥abc，正面投影k′n′∥X轴，再过K点作一直线KM∥ED，则KM、KN两相交直线所组成的平面一定垂直△ABC，并平行于ED。(b)作图3.3垂直问题【例3-15】判断△ABC平面与相交直线GH、KL所确定的平面（图3-21a）是否垂直。(a)题设图3-21判断两平面是否垂直分析：判断两平面是否垂直，只要在第一个平面内任取一点，向第二个平面作垂线，并判断垂线是否在第一个平面内。若在，两平面垂直；反之，则不垂直。(b)作图3.4点、线、面综合解题3.4.1解题的一般步骤（1）分析题意首先应仔细分析已知条件和欲求的结果，及其对应满足的条件。要根据几何元素的投影特性，分析已知几何元素的空间位置和相互关系。（2）确定解题方法和步骤在分析题意的基础上，确定解题方法和步骤。即以有关的几何概念和定理，以及有关的投影概念为依据，进行必要的逻辑推理、空间思维和空间分析。一般地说，应当在想象中建立起空间几何模型，也可借助于画轴测图或以简易模型（如以笔代线，以纸代面）帮助构思。（3）投影作图将设想的解题步骤逐步绘制在投影图上，求出最后结果，完成作图。3.4点、线、面综合解题3.4.2解题示例常用的解题方法有“轨迹法”和“反推法”。“轨迹法”就是根据已知条件和题目要求进行空间分析，分别作出满足题目各个要求的轨迹，例如与两点等