17.3.2 一元二次方程根的判别式 同步练习

17.3.2一元二次方程根的判别式）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞且k≠02．（2021·上海·八年级期中）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＜－23．（2022·上海市田林第三中学八年级期中）对于二项方程（，），当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么一定（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是___．5．（2020·上海市建平实验中学八年级期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．7．（2020·上海市甘泉外国语中学八年级期中）方程有两个相等的实数根，则k的值是_______．8．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）关于x的一元一二次方程mx2﹣2x+l=0有两个实数根，则m的取值范围是______________．9．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是________．10．（2022·上海·八年级期末）如果关于x的一元二次方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是___________．11．（2021·上海·八年级期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________．12．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___；13．（2022·上海浦东新·八年级期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．14．（2022·上海·八年级开学考试）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为_____．15．（2022·上海·八年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．16．（2022·上海·八年级期末）如果关于x的一元二次方程

没有实数根，那么m的取值范围是_____________．17．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________．三、解答题18．（2020·上海市实验学校八年级期中）设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．19．（2021·上海·八年级期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的取值范围.20．（2021·上海·八年级期中）已知关于的一元二次方程有实数解，求的非负整数解，并求出取最大整数解时方程的根.21．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x的一元二次方程．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．22．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣3＝0（m为实数）有两个实数根，求m的值．23．（2022·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程x2﹣+k＝0有实数根，求k的取值范围．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海·八年级期末）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2−10x+m=0的两个实数根，则m的值是(

)A．24 B．25 C．26 D．24或252．（2021·上海·八年级期中）若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．A．a≤ B．a≥4 C．a≤或a≥4 D．≤a≤4二、填空题3．（2022·上海市民办新世纪中学八年级期末）若关于的方程在实数范围内有解，则的取值范围是________．4．（2022·上海·上外附中八年级期末）关于的一元二次方程有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的绝对值，则的取值范围是_____________5．（2022·上海松江·八年级期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．6．（2022·上海·八年级期末）对于实数m、n，定义一种运算“*”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是____________．7．（2022·上海·八年级期末）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三条边，其中a=2，如果b，c是关于x的一元二次方程的两个根，则m是_________.8．（2021·上海·八年级期中）已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x²-3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=______.9．（2021·上海·八年级期中）在等腰△ABC中，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个根，则△ABC的周长为_______10．（2021·上海·八年级期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是____________11．（2021·上海·八年级期中）已知是等腰的三条边，其中，如果是关于的一元二次方程的两个根，则的值是__．三、解答题12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：关于x的一元二次方程．当m为何值时，方程有两个实数根？13．（2022·上海·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k+1=0，若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.14．（2022·上海·八年级专题练习）m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0(1)两个正根(2)一正一负两根(3)两根都大于1．15．（2022·上海·八年级专题练习）当m为何值时，关于x的方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根？并求出这时方程的根（用含m的代数式表示）．16．（2022·上海·八年级专题练习）已知方程组（x、y为未知数）有两个不同的实数解或．(1)求实数k的取值范围；(2)如果y1y2+＝3，求实数k的值．17．（2022·上海·八年级专题练习）m为何值时，关于x的方程有唯一的根，并求这个根．18．（2022·上海·八年级开学考试）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．19．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，为实数，求的取值范围．20．（2022·上海市罗星中学八年级期末）已知：关于的一元二次方程有两个相等实数根，(1)求的值；(2)写出此方程的解．

17.3.2一元二次方程根的判别式）（解析版）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞且k≠0【答案】B【分析】用一元二次方程的根的判别式大于0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【详解】解：整理方程得：ky2-7y-7=0，由题意知：Δ=b2-4ac=49+28k≥0，且k≠0，∴k≥-且k≠0．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．2．（2021·上海·八年级期中）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＜－2【答案】C【分析】当△=b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2－4ac<0时，方程没有实数根．【详解】解：Δ＝4−4（a−1）＝8−4a＞0，得a＜2．又a−1≠0，所以a＜2且a≠1．故选：C．【点睛】本题考查函数的零点以及方程根的关系，是基础题．3．（2022·上海市田林第三中学八年级期中）对于二项方程（，），当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么一定（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据n为偶数时，方程有两个实数根，得出−＞0即可．【详解】，可得：xn＝−，因为当为偶数时，已知方程有两个实数根，所以−＞0，所以ab＜0，故选：A．【点睛】此题考查高次方程的问题，关键是根据n为偶数时，方程有两个实数根得出ab的范围．二、填空题4．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是___．【答案】【分析】方程整理得，根据题意得，进行解答即可得．【详解】解：∵方程没有实数根，∴解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．5．（2020·上海市建平实验中学八年级期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．【答案】，且k≠0【分析】由一元二次方程的定义可得，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式求解即可．【详解】解：∵是一元二次方程，∴，又∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：，综上所述，的取值范围是，且k≠0．故答案为：，且k≠0．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．【答案】9【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得：．故答案为：9【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．7．（2020·上海市甘泉外国语中学八年级期中）方程有两个相等的实数根，则k的值是_______．【答案】【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=0，即，解方程即可得k的值．【详解】根据方程有两个相等的实数根可得△=0，即，解方程得，故答案.【点睛】本题考查根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式和解一元二次方程.8．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）关于x的一元一二次方程mx2﹣2x+l=0有两个实数根，则m的取值范围是______________．【答案】m≤1且m≠0．【详解】解：∵关于x的一元一二次方程mx2﹣2x+l=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m＞0，∴m＜1．又∵mx2﹣2x+l=0是一元二次方程，∴m≠0，故m的取值范围是m≤1且m≠0．故答案为m≤1且m≠0．9．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是________．【答案】##【分析】方程有两个不相等的实数根就是方程根的判别式△＞0，由此可得关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围．【详解】根据题意可知解得：故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10．（2022·上海·八年级期末）如果关于x的一元二次方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是___________．【答案】【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．11．（2021·上海·八年级期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________．【答案】且【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出a的范围即可．【详解】解∶∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，解得且．故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．12．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___；【答案】m＜且m≠1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组：，然后解不等式组即可求出m的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，∴，解得m＜且m≠1．故答案为：m＜且m≠1．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．13．（2022·上海浦东新·八年级期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．【答案】且##或【分析】根据“关于x的方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．【详解】解：根据题意得：Δ=9+4m＞0且，解得：m＞-且，故答案为：m＞-且．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．14．（2022·上海·八年级开学考试）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为_____．【答案】9【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．【详解】解：∵方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=（-6）2-4m=0，解得m=9，故答案为：9．【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，根据根的个数得到和参数有关的式子是解题的关键．15．（2022·上海·八年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．【答案】且．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得．又∵该方程为一元二次方程，，且．故答案为：且．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．16．（2022·上海·八年级期末）如果关于x的一元二次方程

没有实数根，那么m的取值范围是_____________．【答案】【分析】由已知方程没有实数根，得到根的判别式小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【详解】解：∵方程x2-4x-m+1=0没有实数根，∴△=16-4（-m+1）=4m+12＜0，解得：m＜-3．故答案为：m＜-3【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．17．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________．【答案】【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的意义得到△＞0，即（-4）2+4×1×（m+4）＞0，解不等式即可．【详解】∵x2−4x−(m+4)=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即(−4)2+4×1×(m+4)>0，解得m>−8，∴m的取值范围是m>−8．故答案为m>−8．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式的相关知识点．三、解答题18．（2020·上海市实验学校八年级期中）设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．【答案】（1）△ABC是等边三角形，理由见解析；（2）﹣12．【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即Δ＝0，由Δ＝0可以得到一个关于a，b，c的方程，再结合方程3cx+2b＝2a的根为x＝0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的值，可以得到关于m的方程，解方程即可求出m．【详解】解：（1）∵有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即，则b﹣2c+a＝0．∵方程3cx+2b＝2a的根为0，∴a＝b．∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，且a＝b，∴Δ＝m2﹣4（﹣3m）＝m2+12m＝0，∴m＝0或m＝﹣12．当m＝0时，a＝b＝0，不符合题意，应舍去；当m＝﹣12时，a＝b＝6，符合题意．综上所述m＝﹣12．【点睛】此题考查了一元二次方程解的含义，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的含义，等边三角形的判定方法．19．（2021·上海·八年级期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的取值范围.【答案】【分析】首先将原方程化为一般形式，然后根据方程有两个实数根得出，即可得解.【详解】原方程可转化为根据题意得，解得【点睛】此题主要考查根据一元二次方程根的判别式，求参数取值范围，熟练掌握，即可解题.20．（2021·上海·八年级期中）已知关于的一元二次方程有实数解，求的非负整数解，并求出取最大整数解时方程的根.【答案】；当时，【分析】根据一二次方程定义和有两个不相等的实数根，得到k≠0和根的判别式的值大于或等于0列出关于的不等式组，求出不等式的解集即可得到的非负整数解；然后找出范围中的最大整数解确定出的值，并求得方程的解．【详解】解：由题意可知：且∴当时，方程为：【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及一元二次方程解的解法，弄清题意是解本题的关键．21．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x的一元二次方程．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．【答案】(1)且(2)【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，令且解不等式即可得出答案；（2）根据方程有两个相等的实数根，令，求出的值，代入原方程，解方程即可得出答案．（1）解：方程有两个不相等的实数根，且，即且，解得且，k的取值范围为且；（2）解：方程有两个相等的实数根，，，代入方程得，，解得．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键．22．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣3＝0（m为实数）有两个实数根，求m的值．【答案】且m≠1．【分析】由题意得m﹣1≠0且Δ≥0，由此求得m的值．【详解】解：．解得且m≠1．即m的值为：且m≠1．【点睛】此题考查了已知一元二次方程根的情况求参数的值，熟记一元二次方程根的三种情况并应用是解题的关键．23．（2022·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程x2﹣+k＝0有实数根，求k的取值范围．【答案】【分析】根据根的判别式的意义得到△，还有被开方式，然后解不等式组即可．【详解】解：根据题意得△且，解得：．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根，本题关键还应考虑被开方式非负．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海·八年级期末）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2−10x+m=0的两个实数根，则m的值是(

)A．24 B．25 C．26 D．24或25【答案】D【分析】结合根与系数的关系，分已知边长4是底边和腰两种情况讨论．【详解】方程x2-10x+m=0的有两个实数根，则△=100-4m≥0，得m≤25，当底边长为4时，另两边相等时，x1+x2=10，∴另两边的长都是为5，则m=x1x2=25；当腰长为4时，另两边中至少有一个是4，则4一定是方程x2-10x+m=0的根，代入得：16-40+m=0解得m=24．∴m的值为24或25．故选D．【点睛】考查了：①一元二次方程的根的判别式，②方程的根与系数的关系，③分类讨论的思想．2．（2021·上海·八年级期中）若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．A．a≤ B．a≥4 C．a≤或a≥4 D．≤a≤4【答案】C【分析】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．【详解】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2−ab+a+2＝0的判别式△≥0，即a2-4（a+2）≥0，a2-2a-8≥0，（a-4）（a+2）≥0，解得a≤-2或a≥4．故选C．二、填空题3．（2022·上海市民办新世纪中学八年级期末）若关于的方程在实数范围内有解，则的取值范围是________．【答案】【分析】先将方程变形为，再根据一元二次方程根的判别式列出不等式即可解答．【详解】解：方程可变形为：，则，解得或，∵，∴不符合题意，故舍去，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解无理方程，解题的关键是对原方程进行变形，转化为一元二次方程．4．（2022·上海·上外附中八年级期末）关于的一元二次方程有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的绝对值，则的取值范围是_____________【答案】【分析】根据根与系数的关系判断即可．【详解】设方程得两个根为，，∴∵于的一元二次方程有一个正根、一个负根，∴解得故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟记是解题的关键．5．（2022·上海松江·八年级期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．【答案】【分析】利用一元二次方程的根判别式即可求解【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根∴由根的判别式得，，解得故答案为【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的情况判断出根的判别式的情况，从而作出解答．6．（2022·上海·八年级期末）对于实数m、n，定义一种运算“*”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是____________．【答案】1.【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+m，所以关于x的方程x*（a*x）=-1变为ax2+（a+1）x+1=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．【详解】解：∵，∴ax2+（a+1）x+1=0，又∵方程有两个相等的实数根，∴a≠0，△=（a+1）2-4×a×1=0，解得：a1=a2=1，故答案为1.【点睛】本题考查新定义运算、一元二次方程根的判别式和解法，解题关键是正确理解、运用新运算公式.7．（2022·上海·八年级期末）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三条边，其中a=2，如果b，c是关于x的一元二次方程的两个根，则m是_________.【答案】9.【分析】分a为腰和底两种情况，当a为腰时，根据一元二次方程的根与系数的关系求得另一根，再结合三角形的三边关系进行判断求解；当a为底边时，根据一元二次方程的根的判别式求解，再结合三角形的三边关系进行判断即可.【详解】解：方程x2－6x+m=0，由根与系数的关系得到：x1+x2=6，当a为腰长时，则x2－6x+m=0的一个根为2，∴方程的另一根为4，∵2+2=4，∴不能组成等腰三角形；当a为底边时，x2－6x+m=0有两个相等的实数根，故△=36－4m=0，解得：m=9，方程x2－6x+9=0的两根为x1=x2=3，∵3+3>2，∴能组成等腰三角形.综上所述，m的值是9．故答案是：9．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系以及三角形的三边关系，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键.8．（2021·上海·八年级期中）已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x²-3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=______.【答案】4或【分析】等腰三角形ABC中4可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①4是底时，关于x的方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出m，再根据三角形的边不能是零，舍去；②4是腰时，则方程有一个根是4，代入即可求得m的值.【详解】当4是底边时，则关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得，或（舍去）当4是腰时，则方程有一个根是4，把x=4代入方程得，解得：综上所述，m的值为4或故答案为4或【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.9．（2021·上海·八年级期中）在等腰△ABC中，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个根，则△ABC的周长为_______【答案】7或【分析】等腰三角形ABC中a可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①a是底时，即b=c时，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出其周长；②a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解.【详解】a是底边时，则b=c，关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得或（舍去）当时，方程变形为此时所以此时△ABC的周长为3+4=7；当a是腰时，则方程有一个根是3，把x=3代入方程得，解得：方程变形为：，则，解得：所以此时△ABC的周长为；综上所述，△ABC的周长为7或故答案为7或【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.10．（2021·上海·八年级期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是____________【答案】【分析】设一元二次方程的两个根分别为，根据方程有两个不相等的正实数根可得出，，，由此可得出m的取值范围.【详解】设一元二次方程的两个根分别为∵关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根∴∴由①得：由②得：故m的取值范围是：【点睛】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，还涉及解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点是解题关键.11．（2021·上海·八年级期中）已知是等腰的三条边，其中，如果是关于的一元二次方程的两个根，则的值是__．【答案】9【分析】分为腰长及底长两种情况考虑：当为腰长时，代入求出值，进而可得出原方程为，解之可得出底边长度，由2．2．4不能围成三角形，可得出不符合题意；当为底长时，由根的判别式△可求出值，进而可得出原方程为，解之可得出腰长，由2．3．3能围成三角形，可得出符合题意．综上即可得出结论．【详解】解：当为腰长时，将代入原方程，得：，解得：，此时原方程为，解得：，．、2．4不能围成三角形，不符合题意；当为底长时，方程有两个相等的实数根，△，，此时原方程为，解得：．、3．3能围成三角形，符合题意．故答案为9．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分为腰长及底长两种情况考虑是解题的关键．三、解答题12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：关于x的一元二次方程．当m为何值时，方程有两个实数根？【答案】当且m≠1时方程有两个实数根【分析】由方程是一元二次方程，可知m﹣1≠0，由方程有两个实数根，可得△≥0，计算求解可得m的取值范围．【详解】解：∵方程是一元二次方程，∴m﹣1≠0，解得m≠1，∵方程有两个实数根，∴，解得，∴当且m≠1时方程有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．13．（2022·上海·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k+1=0，若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.【答案】且【分析】直接利用一元二次方程根的判别式大于0即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，且；解得，且．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．14．（2022·上海·八年级专题练习）m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0(1)两个正根(2)一正一负两根(3)两根都大于1．【答案】(1)m＞3或m＜0(2)1＜m＜3(3)﹣6+3≤m≤1【分析】（1）直接利用根与系数的关系得出关于k的不等式进而求出即可；（2）利用根与系数的关系以及根的判别式得出关于k的不等式进而求出即可；（3）根据两根分别减1后，两根都为正，然后利用根与系数的关系及根的判别式，即可求出k的取值范围．(1)解：（1）由题意可得，，解得，m＞3或m＜0，即当m＞3或m＜0时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两个正根．(2)由题意可得，，解得：1＜m＜3；即当1＜m＜3时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有一正一负两根．(3)根据题意，得：，即，解得：﹣6+3≤m≤1，即当﹣6+3≤m≤1时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两根都大于1．【点睛】本题主要考查根与系数分关系和根的判别式，解决此类题目的关键是能熟练运用根与系数的关系，，，及根的判别式．15．（2022·上海·八年级专题练习）当m为何值时，关于x的方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根？并求出这时方程的根（用含m的代数式表示）．【答案】m＞，x1＝m+，x2＝m﹣【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×（m﹣1）2＝8m﹣4＞0，解不等式即可求得m的取值；然后利用配方法解方程即可．【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×（m﹣1）2＝8m﹣4＞0，解得：m＞；∵x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0，∴x2﹣2mx+m2﹣2m+1＝0，∴（x﹣m）2＝2m﹣1，∵m＞，∴x﹣m＝±，∴x1＝m+，x2＝m﹣．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握：（1）Δ＞0即方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0即方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0即方程没有实数根．16．（2022·上海·八年级专题练习）已知方程组（x、y为未知数）有两个不同的实数解或．(1)求实数k的取值范围；(2)如果y1y2+＝3，求实数k的值．【答案】(1)k，且k≠0(2)k＝1【分析】（1）首先把y＝k（2x﹣1）代入kx2﹣x﹣y+＝0，可得kx2﹣（2k+1）x+k+＝0；然后根据方程组（x、y为未知数）有两个不同的实数解，可得k≠0，且Δ＞0，据此求出k的取值范围是多少即可；（2）首先根据韦达定理，可得，，然后根据y1y2+＝3，可得k2+2＝3，据此求出k的值是多少即可．(1)把y