#7.2一元二次不等式及其解法

【1】【2】不等式的解集是_________________.{x|x≥2,或x=-1.5}【3】已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x＜-2,或x>-0.5},则ax2-bx+c>0的解集是____________.四面湖山收眼底【1】四面湖山收眼底解:不等式等价于2x+3=0,或【2】不等式的解集是_________________.{x|x≥2,或x=-1.5}四面湖山收眼底【3】已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x＜-2,或x>-0.5},则ax2-bx+c>0的解集是____________.解:由已知得的两个根，且a＜0，解得∴不等式即为即不等式ax2-bx+c>0的解集为临沂第一中学李福国高三数学第一轮复习一元二次不等式及其解法不等关系及不等式二元一次不等式(组)与平面区域简单的线性规划问题不等式的基本性质一元二次不等式及其解法绝对值不等式基本不等式不等式的实际应用两个实数大小的比较最大(小)值问题绝对值的解法Δ=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集Δ>0Δ=0Δ<0有两不等实根x1,x2{x|x<x1,x>x2}{x|x1<x<x2}有两相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}R1.一元二次不等式的解集2.分式不等式与一元二次不等式的关系:3.不等式ax2+bx+c>0恒成立问题①ax2+bx+c>0在R上恒成立③f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)在[m,n]上恒成立f(x)min>0(x∈[m,n])②ax2+bx+c<0在R上恒成立④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)在[m,n]上恒成立4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值(2)若[m,n],则①当x0<m时,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);②当x0>n时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).(1)若∈[m,n],则f(x)min=f(x0)=三、典型例题练一练消去c，得学案P.148T2例1.解关于x的不等式解:原不等式可化为(1)当a=0时,原不等式即为(2)当a≠0时,原不等式变形为：①当a>0时，②当a<0时，例1.解关于x的不等式解:原不等式可化为(1)当a=0时,原不等式即为(2)当a≠0时,原不等式变形为：①当a>0时，②当a<0时，综上,当a<-2时,原不等式解集为当a=0时，原不等式解集为原不等式解集为当a>0时，原不等式解集为【1】解关于x的不等式解:原不等式等价于(1)当a>1时,今日作业(2)当a<1时,②当a=0时,原不等式为(x-2)2<0,①当0<a<1时,③当a<0时,综上,当a>1时,原不等式解集为当0<a<1时,原不等式解集为当a=0时,原不等式解集为∅;当a<0时,原不等式解集为则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)例5.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.一、不等式恒成立问题【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数23y..xo（2）转换求函数的最值例5.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.一、不等式恒成立问题则解：构造函数23y..xo例5.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.（３）数形结合思想一、不等式恒成立问题【1】自我测评练一练【2】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|0<α<x<β}.则关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为________________.临沂第一中学李福国高三数学第一轮复习一元二次不等式及其解法不等关系及不等式二元一次不等式(组)与平面区域简单的线性规划问题不等式的基本性质一元二次不等式及其解法绝对值不等式基本不等式不等式的实际应用两个实数大小的比较最大(小)值问题绝对值的解法Δ=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集Δ>0Δ=0Δ<0有两不等实根x1,x2{x|x<x1,x>x2}{x|x1<x<x2}有两相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}R1.一元二次不等式的解集2.分式不等式与一元二次不等式的关系:3.不等式ax2+bx+c>0恒成立问题①ax2+bx+c>0在R上恒成立③f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)在[m,n]上恒成立f(x)min>0(x∈[m,n])②ax2+bx+c<0在R上恒成立④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)在[m,n]上恒成立4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值(2)若[m,n],则①当x0<m时,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);②当x0>n时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).(1)若∈[m,n],则f(x)min=f(x0)=5.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题记f(x)=ax2+bx+c(a>0)①方程f(x)=0有两正根②方程f(x)=0有两负根③方程f(x)=0有一正根一负根根的分布图象充要条件根的分布图象充要条件根的分布图象充要条件两个实根有且仅有一根在区间内注:涉及方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①f(x)图象的开口方向;②方程f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.③f(x)图象的对称轴与区间的关系;6.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题7.几种等价命题的转化f(x)>a恒成立f(x)<a恒成立2.有解问题f(x)>a有解f(x)<a有解f(x)=a有解注意：转化前常用分离参数的方法1.恒成立问题二、基础练习题号123456答案BCBCAB试题解析三、典型例题三、典型例题三、典型例题恒成立问题题型二、例2.解：数，例2.恒成立问题题型二、✍自我测评题号1234答案DCCA【2】✍自我测评则g(a)是一个以a为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当-1≤a≤1时，线段在a轴上方.【3】✍自我测评此题若把它看成关于x的二次函数,由于a,x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,则给解题带来转机.✍拓展提高题号1答案B消去c，得学案P.148T2例1.解关于x的不等式解:原不等式可化为(1)当a=0时,原不等式即为(2)当a≠0时,原不等式变形为：①当a>0时，②当a<0时，例1.解关于x的不等式解:原不等式可化为(1)当a=0时,原不等式即为(2)当a≠0时,原不等式变形为：①当a>0时，②当a<0时，综上,当a<-2时,原不等式解集为当a=0时，原不等式解集为原不等式解集为当a>0时，原不等式解集为【1】解关于x的不等式解:原不等式等价于(1)当a>1时,今日作业(2)当a<1时,②当a=0时,原不等式为(x-2)2<0,①当0<a<1时,③当a<0时,综上,当a>1时,原不等式解集为当0<a<1时,原不等式解集为当a=0时,原不等式解集为∅;当a<0时,原不等式解集为课堂小结11/3/202464请同学们认真完成课后强化作业——华罗庚

天才在于积累。聪明在于勤奋，例1.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x＜-2,或},求ax2-bx+c>0的解集.解:由已知得的两个根，且a＜0，解得∴不等式即为即不等式ax2-bx+c>0的解集为题型一、一元二次不等式的解法【1】若不等式x2+ax+4<0的解集是空集,则a的取值范围是___________.练一练【2】不等式的解集是_________________.解:不等式等价于2x+3=0,或{x|x≥2,或x=-1.5}【1】如果不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是_____________.对一切实数x恒成立，四面湖山收眼底练一练四面湖山收眼底【2】如果a≠0,函数的定义域为R,则实数a的取值范围是________.对一切实数x恒成立，练一练【3】已知全集且,则实数m的取值范围是__________.自我测评对一切实数x恒成立，四面湖山收眼底【1】自我测评练一练例3.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切值都恒成立，求实数x的取值范围.解：设f(m)=mx2-2x-m+1,【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.则f(m)是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当-2≤m≤2时，线段在x轴下方,所以实数x的取值范围是所以原不等式的解为：例3.解关于x的不等式①当a<0时，(2)当a≠0时,解:(1)当a=0时,原不等式即为原不等式变形为：②当a>1时，所以原不等式的解为：③当a=1时，所以原不等式的解为∅.④当0<a<1时，所以原不等式的解为：题型三、系数为字母的不等式的解法例3.解关于x的不等式解:原不等式等价于当a>1时(1)原不等式的解集为当a<1时(1)当a=0时原不等式为(x-2)2<0,解集为φ当a<0时原不等式解集为当0<a<1时,则原不等式的解集为当a<0时,【2】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|0<α<x<β}.则关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为________________.练一练作业布置作业纸:——华罗庚

天才在于积累。聪明在于勤奋，完成：学案:P.114-116题型一、系数为字母的不等式的解法例1.解关于x的不等式解:原不等式可化为(1)当a=0时,原不等式即为(2)当a≠0时,原不等式变形为：①当a>0时，②当a<0时，例1.解关于x的不等式解:原不等式可化为(1)当a=0时,原不等式即为(2)当a≠0时,原不等式变形为：①当a>0时，②当a<0时，综上,当a<-2时,原不等式解集为当a=0时，原不等式解集为原不等式解集为当a>0时，原不等式解集为【1】解关于x的不等式解:原不等式等价于当a>1时(1)原不等式的解集为当a<1时(1)当a=0时原不等式为(x-2)2<0,解集为φ当a<0时原不等式解集为当0<a<1时,则原不等式的解集为当a<0时,【例3】解：【例3】【2】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|0<α<x<β}.则关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为________________.练一练则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在