2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.1向量的加法运算练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE第六章6.26.2.1A级——基础过关练1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0D．eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))【答案】B【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))≠0.故B错．2．下列各式中运算的结果与向量AC1共线的有()①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】D【解析】由向量加法法则可知都对．3．若向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行eq\r(3)km”，则向量a＋b表示()A．向东北方向航行2kmB．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2kmD．向东北方向航行(1＋eq\r(3))km【答案】B【解析】如图，易知tanα＝eq\f(1,\r(3))，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2km.故选B．4．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|等于()A．1B．2C．3D．2eq\r(3)【答案】B【解析】由正六边形知eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.故选B．5．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的是()A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向C．若a与b同向，则a＋b与a同向D．若a与b同向，则a＋b与b同向【答案】ACD【解析】a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．6．在边长为1的等边三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝________，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.【答案】1eq\r(3)【解析】易知|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|×sin60°＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝________.【答案】1【解析】在菱形ABCD中，连接BD，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝1，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝1.8．平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为平面内随意一点．求证：eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝4eq\o(PO,\s\up6(→)).证明：∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(PO,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝4eq\o(PO,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝4eq\o(PO,\s\up6(→))＋0＋0＝4eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝4eq\o(PO,\s\up6(→)).9．如图所示，分别求出图中与下列向量相等的向量．(1)a＋d；(2)c＋b；(3)e＋c＋b；(4)c＋f＋b.解：(1)a＋d＝d＋a＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).(2)c＋b＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→)).(4)c＋f＋b＝eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→)).10．如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))；(2)eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0.证明：(1)由向量加法的三角形法则，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)).(2)由向量加法的平行四边形法则，∵eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＋(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝0＋0＋0＝0.B级——实力提升练11．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是()A．eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0B．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0C．eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))【答案】D【解析】由eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→)).故D错误．12．如图，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))【答案】D【解析】∵在正六边形ABCDEF中，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).13．已知有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))不平行，则()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|>|eq\o(AB,\s\up6(→))|B．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|≥|eq\o(CD,\s\up6(→))|C．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|≥|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|D．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|<|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|【答案】D【解析】由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号在a，b共线的时候取到，所以本题中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|<|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|.14．如图所示，点G是△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝________.【答案】0【解析】如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，则eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))，eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.15．小