重难点25 直线与圆综合（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点25直线与圆的综合【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆的弦长与中点弦问题】 2【题型2圆的切线及切线方程问题】 3【题型3直线与圆中的面积问题】 3【题型4直线与圆中的最值问题】 4【题型5距离及其新定义问题】 5【题型6阿波罗尼斯圆】 6【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 7【题型8直线与圆中的向量问题】 8【题型9直线与圆中的探索性问题】 81、直线与圆的综合直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.【知识点1直线与圆相交时的弦长求法】1．圆的弦长的求法：设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【知识点2圆的切线及切线方程问题】1．自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2．求过圆上的一点的圆的切线方程：

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.(2)重要结论：①经过圆上一点P的切线方程为.

②经过圆上一点P的切线方程为.

③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.【知识点3解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题的解题方法直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【题型1圆的弦长与中点弦问题】【例1】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2−2x−2y−2=0.则直线l被圆C所截得的弦长为（

）A．2 B．23 C．27 【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=x+m(m>0)与⊙C:(x−1)2+y2=2交于A，B两点，若A．1 B．2 C．2−1 D．【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x−22+y−4A．6 B．7 C．8 D．9【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）直线l:y=kx−2与圆C:x2+y2−6x−7=0交于A，A．7,4 B．27,8 C．3【题型2圆的切线及切线方程问题】【例2】（2024·全国·模拟预测）已知圆C:x2+y2+4x+6y+12=0，直线l过点P−1,0，则“直线l的方程为4x−3y+4=0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为QA．2 B．2 C．6 D．2【变式2-2】（2024·天津和平·二模）过直线y=x上的点P作圆C：x+32+y−52=4的两条切线l1，l2，当直线l1，A．1,1 B．35,35 C．【变式2-3】（2024·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线2x−y−3=0上一点P作圆C:x2+2x+y2=1的两条切线，切点分别为A．265 B．255 C．【题型3直线与圆中的面积问题】【例3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆C的圆心在直线l1:x−y−3=0上且圆C与x轴相切于点(1)求圆C的方程；(2)已知直线l2:x+2y−1=0与圆C相交于A,B两点，求【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：x2+y(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=90°时，求k的值；(2)若k=12时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形【变式3-2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆M经过A1,5(1)求圆M的方程；(2)已知斜率为−12的直线l经过第三象限，且与圆M交于点E,F，求【变式3-3】（2024·江苏苏州·三模）已知圆O:x2+y2=4，直线l1:x=m，直线l2:y=x+b和圆交于A，B两点，过(1)求实数b的取值范围;(2)若m=−4，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数b的值;(3)若直线AD和直线BC交于点E，问是否存在实数m，使得点E在一条平行于x轴的直线上?若存在，求出实数m的值;若不存在，请说明理由.【题型4直线与圆中的最值问题】【例4】（2024·四川乐山·三模）已知圆O:x2+y2=16，点E是l:2x−y+16=0上的动点，过E作圆O的切线，切点分别为A,B，直线AB与EO交于点A．2 B．5 C．6 D．7【变式4-1】（2024·广东珠海·一模）已知点A−1,0，B0,3，点P是圆x−32+yA．6 B．112 C．92 【变式4-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆C:x2+2x+y2=0，点P为直线2x+y−2=0上的一点，过P作圆C的切线，切点分别为A．455 B．38 C．−【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【题型5距离及其新定义问题】【例5】（2024·四川成都·三模）已知圆C：x2+y2=1，直线l：x−y+c=0，则“c=22”是“圆CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）已知实数a，b满足a2+b2+1=2a+2bA．1 B．2 C．4 D．16【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线C是直线族t2−1x−2ty+2t2+2=0t∈R的包络线，则C【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知点Px,y是圆(x+2)(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值．(2)求x−2y的最大值和最小值．(3)求y−2x−1【题型6阿波罗尼斯圆】【例6】（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点O0,0，A15,25，动点Px,y满足POPA=52，若点PA．12 B．1 C．2 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点P到相异两点A和B距离比值为不等于1的定值，则动点P的轨迹是圆心在直线AB上的圆，该圆被称为点A和B相关的阿氏圆．已知P在点A和B相关的阿氏圆O:x2+y2=4上，其中点A−4,0，点QA．32−1 B．32+1【变式6-2】（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A2,0，B−2,0的距离比为3，则点P到直线l：22A．32+23 B．2+23 C．【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A−2,0,B4,0，点P满足PAPB=12A．C的方程为(x+4)B．当A,B,P三点不共线时，则∠APO=∠BPOC．在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|D．若D2,2，则PB+2【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆A：(x+2)2+y2=25，A为圆心，动直线l过点P(2,0)，且与圆A交于B，C两点，记弦BC(1)求曲线E的方程；(2)过A作两条斜率分别为k1，k2的直线，交曲线E于M，N两点，且k1【变式7-1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆G经过点2,23,−4,0(1)求圆G的标准方程；(2)若圆G与x轴分别交于M,N两点，A为直线l:x=16上的动点，直线AM,AN与曲线圆G的另一个交点分别为E,F，求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标．【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知△AMN的三个顶点分别为A3,0，M0,1，N0,9，动点P(1)求动点P的轨迹T的方程；(2)若B，C为（1）中曲线T上的两个动点，D为曲线x+12+y2=4x≠−3上的动点，且【变式7-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆C与直线x−3y+2=0相切于点1,3，且圆心C(1)求圆C的方程；(2)过点A1,0作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点B4,0，直线BN和直线OM交于点G.证明：点【题型8直线与圆中的向量问题】【例8】（2024·安徽·一模）已知直线x+y−k=0k>0与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，O是坐标原点，且有A．3,6 B．2,6 C．【变式8-1】（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x−12+y2=4，P为直线l:x+y+3=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PM，切点为点M，当A．4 B．2 C．2 D．3【变式8-2】（2024·河北唐山·二模）已知圆C：x2+y−32=4，过点0,4的直线l与x轴交于点P，与圆C交于A，BA．0,1 B．0,1 C．0,2 D．0,2【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设点Pa,b，若直线l:ax+by=1与圆O:x2+y2=4交于A,BA．12,22 B．0,22【题型9直线与圆中的探索性问题】【例9】（23-24高一下·云南昆明·期末）已知直线l:y=kxk≠0与圆C:x2+y(1)若AB=14(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期中）圆C:x(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；(2)已知a>1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=9相交于两点A，B．问：是否存在实数【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心C在直线y=−2x上，并且经过点A2,−1，与直线x+y−1=0(1)求圆C的标准方程；(2)对于圆C上的任意一点P，是否存在定点B（不同于原点O）使得PBPO恒为常数？若存在，求出点B【变式9-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为2的圆C的圆心在x轴的正半轴上，且直线l:3x−4y+4=0与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)若Q的坐标为(−2,4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M,N，求直线MN的方程；(3)过点A(1,0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E,F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE=∠ABF？若存在，求点一、单选题1．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线l:kx−y−2=0与曲线C:1−(y−1)2=x−1有两个不同的交点，则实数A．(43,+∞) B．(42．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆C:x−32+y−42=9，直线l:m+3A．27 B．10 C．22 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x=4−y2A．17＋2，17－2 B．17＋2，5C．37，17－2 D．37，54．（2024·江西宜春·模拟预测）已知动点P到原点O与到点A(2,0)的距离之比为3:2，记P的轨迹为E，直线l:5x−53y+2=0，则（A．E是一个半径为25B．E上的点到l的距离的取值范围为2C．l被E截得的弦长为4D．E上存在四个点到l的距离为25．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圆(x−2)2+y2=9的弦AB的中点为Q1,1，点A．2 B．62−3 C．8 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点M是圆O:x2+y2=1上任一点，点Q−3,0A．1 B．43 C．53 7．（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知圆C:x−32+y−42=1，直线l:3kx−3y+5k−6=0上存在点P，过点P作圆C的切线，切点分别为A,B，使得A．34,14C．43,128．（2024·河北承德·二模）已知圆C:x2+(y−2)2=1，圆C与y轴交于A0,3,B0,1，斜率存在且过原点O的直线l与圆C相交于M,N两点，直线AM与直线BN相交于点P，直线AM､直线A．k1+6kC．2k1+二、多选题9．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线l:kx−y+k=0，圆C:x2+y2A．x0B．y0xC．直线l与圆C相切时，k=±D．圆心C到直线l的距离最大为410．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆C:(x−2)2+(y−1)2=9，直线l:kx−y+1=0与C交于A,B两点，点M为弦A．弦AB有最小值为25 B．OM有最小值为C．△OCM面积的最大值为5+12 D．11．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆C:x−12+y−12=3，直线l:x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A．PA的取值范围为6B．四边形PACB面积的最小值为3C．存在点P使∠APB=D．直线AB过定点0,0三、填空题12．（23-24高二下·上海·期中）过点A−1,3的直线l被圆x2+y2.13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数x，y满足y=8−x2+2x，则t=y+314．（2024·河南商丘·模拟预测）已知过点P(0,−2)的直线l1,l2分别与圆E:x2+y2−4y=0交于A,B两点（点B在A的上方）和C,D