重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点04利用导数研究不等式恒（能）成立问题【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】 3【题型2分离参数法求参数范围】 3【题型3分类讨论法求参数范围】 4【题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 5【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 5【题型6洛必达法则】 7【题型7双变量的恒（能）成立问题】 81、利用导数不等式恒（能）成立问题恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.【知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略】1．不等式恒（能）成立问题的求解方法解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．②恒成立；恒成立；能成立；能成立.(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.【知识点2双变量的恒（能）成立问题的解题策略】1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有：对于某一区间I，(1).(2).(3).【知识点3洛必达法则】“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则.1．洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)，那么.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)，那么.2．用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法则求值.3．用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法则求值.【注意】：1．将上面公式中的换成，洛必达法则也成立.2．洛必达法则可处理型求极限问题.3．在着手求极限前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.，如满足条件，可继续使用洛必达法则.【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若ex−ea≥e+lnax在x∈0,+∞上恒成立，则a的最大值为（

）A．e2−e2 B．2e12【变式1-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知不等式lnx−2x−a−A．−∞,−12e B．−∞【变式1-2】（2024·四川成都·模拟预测）若关于x的不等式e−1lna+x≥aex−1A．12e,e2 B．1e【变式1-3】（2024·甘肃兰州·三模）已知函数f(x)=1ex+1−x3，对于任意的x∈(1,2]A．(1,+∞) B．[−1,1] C．(−∞【题型2分离参数法求参数范围】【例2】（2024·宁夏银川·模拟预测）已知a∈N∗，函数fx=eA．2 B．3 C．6 D．7【变式2-1】（2024·四川宜宾·二模）已知不等式axex+x>1−A．−1e2,+∞ B．−1【变式2-2】（2024·四川成都·三模）若x∈0,+∞，x2+ax+1≤eA．e B．2 C．e−1 D．e−2【变式2-3】（2024·四川南充·三模）已知函数f(x)=13x3，g(x)=ex−12x2−x，A．(−∞,e−2] B．(−∞,【题型3分类讨论法求参数范围】【例3】（2024·广东汕头·三模）已知函数fx(1)求函数fx(2)若fx≤gx【变式3-1】（2024·四川泸州·二模）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点0,f(2)若∃x∈−1,1，fx≥3【变式3-2】（2024·北京·三模）已知函数fx(1)求fx(2)若fx≤−1恒成立，求实数(3)求证：i=2nlnii+1<【变式3-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=axlnx−2x+b（a，b∈R）在点(1)求函数fx(2)设gx=exxf1x【题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】【例4】（2024·四川乐山·二模）若存在x0∈−1,2，使不等式x0+A．12e,e2 B．1e【变式4-1】（2024·甘肃兰州·二模）若关于x的不等式ex+x+2ln1xA．12 B．e24 C．e【变式4-2】（2023·河南开封·模拟预测）若存在x∈1,+∞，使得关于x的不等式1+1xx+aA．2 B．1ln2 C．ln2−1【变式4-3】（2024·江西赣州·二模）已知函数fx=ekx+1，gx=A．0,e B．e,+∞ C．1e,+【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】【例5】（2024·云南昆明·三模）已知函数fx(1)当a=−1时，证明：对任意x∈−π6(2)若x=0是函数fx的极值点，求实数a【变式5-1】（2024·青海·模拟预测）已知函数fx=e(1)当a=1时，求fx(2)当a∈−1,1时，证明：对任意的x1，x2【变式5-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=ae(1)证明：当a=1时，∀x∈0,+(2)若fx与gx有两条公切线，求【变式5-3】（2024·贵州六盘水·三模）若函数fx在a,b上有定义，且对于任意不同的x1,x2∈a,b，都有f(1)若fx=x2，判断(2)若fx=2eln(3)若fx为1,2上的“2类函数”且f1=f2，证明：∀x1【题型6洛必达法则】【例6】（23-24高二下·全国·期末）若不等式sinx>x−ax3对于x∈(0,【变式6-1】（2023高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在x=12处取得极值，且曲线(1)求实数a,b的值；(2)若∀x∈[1 , +∞)，不等式【变式6-2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数fx，gx的导函数分别为f′x，limx→a②设a>0，k是大于1的正整数，若函数fx满足：对任意x∈0,a，均有fx≥fxk成立，且limx→0结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断fx=x(2)计算：limx→0(3)证明：sinxx−π【变式6-3】（23-24高二下·广东珠海·期末）在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则该法则表述为：“设函数f(x)，g(x)满足下列条件：①limx→af(x)=0，②在点a处函数f(x)和g(x)的图像是连续且光滑的，即函数f(x)和g(x)在点a处存在导数；③limx→af′(x)g′(x)则limx→a那么，假设有函数f(x)=ex，(1)若f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围；(2)证明：ex【题型7双变量的恒（能）成立问题】【例7】（2023·四川泸州·一模）已知函数fx=ax+1−xlnx的图像在(1)求函数fx(2)若∀x1,x2∈0,+【变式7-1】（2023·四川自贡·二模）已知函数fx=aex−(1)求a的取值范围；(2)若x2≥3x1时，不等式【变式7-2】（2024·全国·二模）已知函数fx=xlnx−a(1)当a=12时，若gx=f′(x)(2)已知x1,x2是函数f（x）的两个极值点，且x1【变式7-3】（2023·河南·二模）已知函数fx=1(1)讨论fx(2)当m>0时，若对于任意的x1∈0,+∞，总存在x2一、单选题1．（2024·陕西·模拟预测）当x>0时，x2⋅e4x−2A．4e B．4 C．4e2．（2024·陕西安康·模拟预测）若存在x∈0,+∞，使得不等式a2x4A．12e,+∞ B．1e,+3．（2024·河南·模拟预测）已知λ>0，对任意的x>1，不等式e2λx−lne12λA．1e,+∞C．2e,+∞4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数f(x)=aex+1nax+2−2A．0<a<e B．a>e2 C．a>5．（2024·全国·模拟预测）若关于x的不等式e−1lnx+ax≥xeax−1A．0,2+2ln2 B．1e,e 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=1−elnx−3x,x>0(x−2)eA．−∞,3 C．6e−2,37．（2024·重庆·模拟预测）已知函数fx=lnxx,gx=axeA．−∞,−2 B．−2,−1 C．−1,+∞8．（2023·上海崇明·一模）若存在实数a, b，对任意实数x∈[0,1]，使得不等式x3 −m≤ax+b≤A．39, +∞ B．83二、多选题9．（2024·新疆·一模）设fx=1+xlnx,gx=a−1x，若fA．3−ln22 B．3 C．210．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数fx=xcosA．函数fx在x=πB．对于∀x∈0,π，C．若0<x1D．若对于∀x∈0,π2，不等式a<sinxx<b恒成立，则11．（2024·江苏·模拟预测）设x1,x2(x1A．x1x2<eC．∃a∈(0,1),x2−x三、填空题12．（2024·四川成都·三模）若不等式emxmx−ln2−xlnx13．（2024·广西桂林·三模）若xk−exe．14．（2024·浙江·三模）已知函数fx=x−2ex+lnx，gx=ax+b，对任意四、解答题15．（2024·山西吕梁·三模）已知函数fx(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的x1,x2∈16．（2024·全国·模拟预测）已知函数