专题07函数方程不等式及函数的应用（4个考点梳理11题型解读提升训练）

专题07函数、方程、不等式及函数的应用【清单01】函数的零点1.函数零点的定义：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2.三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点3.拓广：（）1若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．【清单02】二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系1．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的关系函数图象判别式符号(设判别式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0与x轴交点个数210方程的根（函数零点）的个数210ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集（ꝏ，x1)∪(x2,+ꝏ)（ꝏ，x0)∪(x0,+ꝏ)R（注：a<0的情况，类似可以给出）2.拓广：穿根法（根轴法）解不等式：（1）整理不等式，一端化为因式积，且各因式中x系数为正；（2）求相应方程的根；（3）将上述根标在数轴上；（4）从最右边的根开始，自上而下穿过数轴，其它各根依次穿过（二重根穿而不过）；（5）位于数轴上方的曲线对应区间使不等式大于0，其它对应区间使不等式小于0成立.类似如图所示：【清单03】零点存在性定理及其近似值的求法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2.二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【清单4】常见函数模型1.常见函数模型（1）一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；（2）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；（3）分式函数模型（4）分段函数模型（5）拓广：函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的性质及最值：(1)该函数在(－∞，－eq\r(a))和(eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．(2)当x>0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，当x<0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).2.函数应用问题解法=1\*GB3①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；=2\*GB3②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；=3\*GB3③求模：求解数学模型，得出数学结论；=4\*GB3④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．【考点题型一】求函数的零点【例1】（2324高一上·湖南衡阳·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（

）A．30 B．14 C．12 D．6【答案】A【知识点】求零点的和、函数对称性的应用、函数周期性的应用【分析】先根据题干求出函数的最小正周期，在画出函数的大致图像即可求解.【详解】因为函数是奇函数，所以，且又因为，所以即且函数关于对称，令得，所以，即函数的最小正周期，再由函数在上单调递减，方程在有实根可知方程在有且仅有一个实根，函数的大致图像如图所示：

由图可知函数与在区间有个交点，且两两对称所以.故选：A【变式11】（2324高一上·湖南长沙·期末）函数的零点是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【知识点】求函数的零点【分析】解方程求出的解，即可求得函数的零点.【详解】令，即函数的零点是，故选：C【变式12】（2425高一上·上海·课前预习）函数中，若，则的值为．【答案】【知识点】函数与方程的综合应用、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系【分析】已知函数值，代入求解即可.【详解】即，即，则.故答案为：【变式13】（2526高一上·全国·课后作业）函数的零点是.【答案】【知识点】求函数的零点【分析】令解得，从而即为的零点.【详解】由题意可知的定义域为，令，可得，解得（舍去）或，所以.故答案为：.【变式14】（2425高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点．(1)；(2)．【答案】(1)和2．(2)答案见解析．【知识点】求函数的零点【分析】（1）解一元二次方程求零点即可；（2）分类讨论函数的零点即可.【详解】（1）由得，∴或．所以函数的零点为和2．（2）①当时，，由得，所以函数的零点为．②当时，由得，当，即时，相应的方程无实数根，函数无零点；当，即时，，函数有唯一的零点．当，即且时，由得或，函数有两个零点和．综上，当时，函数的零点为；当时，函数无零点；当时，函数的零点为；当且时，函数有两个零点和．【考点题型二】函数零点所在区间的判断【例2】（2425高一上·全国·课后作业）函数的零点是和2，判断函数的零点所在的大致区间．【答案】【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间【分析】根据给定条件，求出，再探讨函数的单调性，结合零点存在性定理即可得解.【详解】由和2是函数的零点，得和2是方程的两个实根，则，解得，于是，函数在R上是单调递减，而，因此函数在内有零点，所以函数的零点所在的大致区间为.【变式21】（2324高一上·江西景德镇·期末）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】判断零点所在的区间【分析】根据函数零点存在性定理即可求解.【详解】由题可知，为增函数，再由，所以，根据零点存在定理知，零点在范围内．故选：B.【变式22】（2425高一上·上海·课堂例题）下列区间中存在方程的根的是（）A． B． C． D．【答案】B【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间【分析】根据零点存在定理即可求解.【详解】因为当时，当时，根据零点存在定理可得1,2存在方程的根.故选：B（2324高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用【分析】直接得到函数的单调性，计算出，并结合零点存在性定理得到答案.【详解】因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增．又因为，，所以，根据零点存在定理，得的零点所在区间为．故选：B【变式23】（多选）（2324高一上·浙江杭州·期末）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数必有零点的区间为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，由零点存在定理可知：在区间内各至少有一个零点，故选：BCD.【变式24】（2425高一上·上海·课后作业）若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的有．（填序号）①若，则不存在实数使得；②若，则有且只有一个实数使得；③若，则可能存在实数使得；④若，则可能不存在实数使得．【答案】③【知识点】零点存在性定理的应用【分析】由零点存在定理逐一判断各个选项即可求解.【详解】对于①③，若，则在上，满足：，故①错③对；对于④，若，则由零点存在定理可知，一定存在实数使得，故④错误；对于②，若，且在上不单调，则可能有多个零点，事实上，我们可以举出如下反例：若，则在上，满足：，故②错误.故答案为：③.【考点题型三】函数零点个数的判断【例3】（2324高一下·全国·课后作业）若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少有个.【答案】7【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、求函数零点或方程根的个数【分析】运用奇函数性质，结合周期函数性质，赋值即可求解.【详解】由是定义域为R的奇函数可得，再由可得函数周期为1，所以，所以，因为为奇函数，所以，所以，故，所以，，，所以在上的零点个数至少为7．故答案为：7．【变式31】（2223高一上·北京·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【知识点】求函数零点或方程根的个数【分析】分解因式求解方程的根即可.【详解】函数的零点，即方程的实数根.由解得，或.故函数的零点个数是.故选：D【变式32】（2324高一上·安徽·阶段练习）已知函数，，，，设，则关于的方程的实根个数最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数【分析】根据题意写出函数的解析式并画出图象，利用换元法设，解关于的方程；然后根据方程根的个数转化为函数图象交点的个数，结合图象确定实根的个数.【详解】由题意可知，，图象如图所示：设，由得，解得或，即或，当时，由图可知有两个实根，当时，当时，没有实根，当时，有一个实根，当时，有两个实根，综上，有两个实根或三个实根或四个实根，所以实根个数的最小值为2.故选：.【变式33】（多选）（2324高一上·安徽安庆·期中）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（

）A．0 B． C．3 D．1【答案】BC【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用、分段函数的性质及应用【分析】把问题转化为有四个根，即和有四个交点，再分讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出的取值范围.【详解】因为函数恰有4个零点，所以有四个根，即和有四个交点.当时，与图像如下：两图像有2个交点，不符合题意；当时，与x轴交于两点.图像如下：当时，函数的函数值为，函数的函数值为.两图像有4个交点，符合题意；当时，与轴交于两点，在内函数图像有两个交点.要使两图像有4个交点，只需与在内有两个交点即可，即在还有两个根，就是在内有两个根，函数（当且仅当时等号成立）.所以且，解得：.综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.所以A，D不符合，B，C符合.故选:BC【变式34】（2324高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且时，.(1)求的解析式；(2)在给定坐标系中画出函数的图象，并讨论方程（为常数）根的个数（写出结果即可）.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题意利用函数的奇偶性求函数在上的解析式，结合奇函数的性质可得函数的解析式.（2）根据函数的解析式，画出函数的图象；数形结合即可写出方程（为常数）根的个数的情况.【详解】（1）函数是定义域为的奇函数，当时，当时，有，则（2）函数的图象如图所示：方程（为常数）根的个数即为函数与的图象交点的个数.由图象可得：当或时，方程（为常数）根的个数为1个；当或时，方程（为常数）根的个数为2个；当时，方程（为常数）根的个数为3个.【考点题型四】函数零点、方程的根与不等式的解【例4】（2324高一上·广东清远·期中）已知函数的两个零点为，且，则下列说法正确的序号为.①；②不等式的解集为；③；④不等式的解集为.【答案】②③④【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据零点求函数解析式中的参数、二次函数的图象分析与判断【分析】根据题意得到和是的两根，得到，再由，得到，结合二次函数的性质和不等式的解法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意得，和是方程的两根，可得，解得，对于①中，因为，结合二次函数的性质，可得，所以①错误；对于②中，由不等式，即为，解得，所以②正确；对于③中，由，所以③正确；对于④中，由不等式，可得化为，解得，所以④正确.故答案为：②③④.【变式41】（2324高一上·浙江温州·期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【答案】D【知识点】求函数的零点、由一元二次不等式的解确定参数【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可.【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和2，且，则，解得，故函数，则与轴的交点坐标为和，所以零点为和.故选：D.【变式42】（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和1，且，则变形可得故函数的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.故选：A【变式43】（2223高一上·湖北咸宁·自主招生）二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是．

【答案】【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、函数【分析】根据对称轴求出的值，从而得到时的函数值，再根据一元二次方程（为实数）在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论.【详解】∵对称轴为直线，∴，∴二次函数解析式为.当时，；当时，；当时，.因为方程的根为图象与直线的交点的横坐标，∴当时，在的范围内有解.故答案为：.【变式44】（2324高一上·福建莆田·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是．【答案】【知识点】函数与方程的综合应用【分析】先求解出、、、时的解析式，然后作出与的图象，根据图象的交点横坐标确定出符合条件的的取值范围.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，且，作出的大致图象如下图所示：由图象可知：若，对于任意都有显然不成立，所以，由图象可知，当时，令，则有，解得或，结合图象可知，若对于任意都有成立，则有，故答案为：.【考点题型五】已知函数零点或方程根的个数，求参数取值范围【例5】（2023高一·全国·课后作业）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．【答案】【分析】分析函数的性质，作出图象，数形结合即可求解作答.【详解】当时，函数是增函数，函数值集合是，当时，是减函数，函数值集合是，关于的方程有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，

观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根，所以实数的取值范围为.故答案为：.【变式51】（2021高一上·广东佛山·期中）“”是“方程只有一个解”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次方程根的分布问题【分析】利用充分性，必要性的定义判定即可.【详解】若，则方程为，即，则其只有一个解；若方程只有一个解，则或，所以或a=−1，所以“”是“方程只有一个解”的充分不必要条件.故选：B【变式52】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围【分析】法一：转化成一元二次方程在0,+∞上有两个不同的解的问题；法二：分离参数，转化成两个函数图像在0,+【详解】法一：因为，且有两个零点，所以方程在0,+∞上有两个不同的解，所以解得．法二：由得，因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点．函数的图像如图，由图可知．故选：D．【变式53】（2425高一上·全国·课堂例题）函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是.【答案】【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、判断零点所在的区间【分析】利用数形结合思想来求函数的零点问题.【详解】在平面直角坐标系中作出函数和的图像如图，结合图像可以看出：当时，两函数的图像只有一个轴左侧的交点，即函数仅有一个负零点.故答案为：.【变式54】（2324高一上·安徽马鞍山·期中）关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据题意问题转化为方程有4个不相等的实数根，作出函数与函数的图象，数形结合可得解.【详解】原方程等价于，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示：可得当时，两图象有4个不同的公共点，即方程有4个不相等的实数根，所以实数的取值范围为.故答案为：.【考点题型六】根据函数零点所在区间，求参数取值范围【例6】（2324高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数．(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围．【答案】(1)或；(2).【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围【分析】（1）由函数零点个数，结合二次函数性质列不等式组求参数范围；（2）由题意易知，法一：讨论函数开口方向列不等式组求参数范围；法二：根据的零点和的零点的等价性，列不等式组求参数范围.【详解】（1）由题意，可得，则或.（2）由的两个零点一个在内，另一个在内，故，法一：当的图象开口向上时，，所以，解得.当的图象开口向下时，，所以，解得；综上，的取值范围为.法二：的零点和的零点相同，则，所以，解得.综上，的取值范围为.【变式61】（2324高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】一元二次方程根的分布问题【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围.【详解】设，开口向上，由题意知，即，解得，所以．故选：B．【变式62】（2324高一上·上海浦东新·阶段练习）方程在区间和各有一个根的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围.【详解】因为一元二次方程在区间和各有一个根，令，则由题意可得，即，解得，则方程在区间和各有一个根的充要条件是.故选：B.【变式63】（2324高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据零点所在的区间求参数范围、零点存在性定理的应用【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可.【详解】当时，，令得，符合题意；当时，是二次函数，对于方程，只需，即，解得，且，当时，，此时，得或，符合题意，当时，，此时，得或，符合题意，综上，实数的取值范围为.故答案为：.【变式64】（2324高一上·山东青岛·期中）已知（）．(1)当时，求不等式的解集；(2)若时，有实数解，求a的范围．【答案】(1)(2)【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）将代入得，再代入不等式移项通分，进而解分式不等式得到答案.（2）由题意得，令，进而利用单调性和不等式的性质求的值域，于是得到a的范围.【详解】（1）当时，.代入原不等式：，即，移项通分，解得.∴原不等式的解集为（2）由于在上有解，所以，即求在值域，由于在单调递增，所以，于是，即.所以．【考点题型七】“二分法”与零点的近似解【例7】（2425高一上·上海·随堂练习）求方程的零点（精确到0.1）．【答案】2.1【知识点】二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间【分析】令，设函数y=fx的零点为，因为f2<0，，所以，再由精确度为0.1时，利用二分法确定.【详解】令，设函数y=fx的零点为，因为f2<0，，所以，由二分法得到下表，中点所在区间2.52.252.1252.18752.156252.1406252.1484375因为在精确度为0.1时，，，所以在精确度为0.1时，．【变式71】（2425高一上·全国·随堂练习）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】判断零点所在的区间【分析】根据所取的初始区间的端点值对应的函数值异号进行逐项判断即可.【详解】因为，且在定义域上递增，所以，函数在上有零点.故可以取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算.故选：A.【变式72】（2425高一上·全国·课后作业）在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（

）A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6【答案】C【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程、二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间【分析】利用二分法可得出结果.【详解】已知，则函数的零点的初始区间为，又因为，且，所以零点在区间上，又，所以所求近似值可以为.故选：C.【变式73】（2324高一·上海·课堂例题）已知函数在区间0,1上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1）【答案】【知识点】二分法求函数零点的过程【分析】结合零点存在性定理，用二分法逐次计算，直到满足题意的区间即可求解零点近似值.【详解】令函数，，又，，则在12,1内存在零点，又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，由于，故函数的零点区间为，因为，，又，且零点结果精确到0.1.所以在区间0,1内的零点近似为.【变式74】（2425高一上·全国·课前预习）用二分法求函数零点的近似值【答案】1.4375（答案不唯一，符合题意即可）【知识点】二分法求方程近似解的过程、二分法求函数零点的过程【分析】根据题意结合二分法即可求解.【详解】由于函数为单调递增函数，且，，因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：零点所在区间中点的值中点函数近似值1.50.3751.251.3751.4375当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程，实际上，如果我们一开始给一个误差范围的话，只要满足了给出的误差范围，我们就可以停止计算，比如，该问题中，我们给出误差不超过0.1．由于，所以原函数的一个正实数零点可取为1.4375．【考点题型八】函数零点相关综合问题【例8】（2324高一上·福建福州·期中）定义：对于定义域为D的函数，若，有，则称为的不动点．己知函数．(1)当时，求函数的不动点；(2)若，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；(3)设且的两个不动点为，且，求实数b的最小值．【答案】(1)或(2)(3)【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）利用不动点的定义，得到关于的方程，解之即可得解；（2）利用一元二次方程有两个不等实根列式，结合一元二次不等式恒成立即可得解；（3）利用定义结合韦达定理得到关于的表达式，再利用均值不等式即可得解.【详解】（1）当时，，令，即，解得或，所以的不动点为或.（2）令，即，则，，于是得方程有两个不等实根，即，则，由题意知，，不等式恒成立，所以，整理得，解得，所以实数的取值范围是.（3）由（2）知，当时，，，又，于是得，则，令，则，，所以，当且仅当，即，时取等号，所以实数的最小值为.【变式81】（2324高一上·福建南平·期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、求零点的和【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数，所以，则的图象关于对称，且，当时，，又因为函数，所以的图象关于对称，所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，和的图象，如图所示：

由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称，所以5个交点的横坐标之和为，故选：C【变式82】（2324高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知二次函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围【分析】根据题意，转化为方程与直线的图象有3个不同的交点，画出函数的图象，结合图象和二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解.【详解】由方程有三个不同的实数根，等价于方程与直线的图象有3个不同的交点，当时，显然不符合题意，所以，令，直线过定点且斜率为（1）当时，如图所示，要使得与有3个交点，则满足，即，由，整理得，因为直线与抛物线相交，所以，解得，所以；（2）当时，如图所示，要使得与有3个交点，则满足，即，由，整理得，因为直线与抛物线相交，所以，解得，所以；综上可得，实数的取值范围为,故答案为：.【变式83】（2324高一上·江西宜春·期中）已知关于的一元二次方程.(1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值；(2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围.【答案】(1)或(2)或【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、二次函数的图象分析与判断【分析】（1）利用根与系数关系，将方程两根之差的绝对值用含m的代数式表示出来，再列方程解出m即可.（2）将方程转化为二次函数，利用二次函数的图形与性质，根据限制条件列不等式组即可求解.【详解】（1）若方程两根为，，则，且，，所以，即，所以或，经检验满足，故或.（2）令，若方程两不等实根都小于5，则，可得或.【变式84】（2223高一上·四川成都·阶段练习）已知函数．(1)恒成立，求实数的取值范围；(2)求不等式的解集；(3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)见解析(3)【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】（1）将，恒成立，转化为，恒成立求解.（2）由，分，，，，讨论求解.（3）由时，得到，令，将问题转化为存在，有两个不等正根求解.【详解】（1）因为，恒成立，所以，恒成立；时，恒成立，满足题意；时，只需，，即；综上，实数的取值范围是；（2）即，当时，即，解得：，所以不等式的解集为：；当时，即，，不等式的解集为：；当时，即，当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为.综上：当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.（3）时，令，则存在，有四个不等实根，即有四个不等实根，令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应；则存在，有两个不等正根，则，存在，，即存在，，即，且存在，，时，时最大值为，则，由可得，所以实数的取值范围是.【考点题型九】用函数图象刻画变化过程【例9】（2324高一上·全国·课后作业）下图是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．

(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）以测试序号为横坐标，成绩为纵坐标描点即可的函数图象；（2）根据各人成绩与平均成绩比较分析即可.【详解】（1）不宜用解析法表示，用图象法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：

（2）王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．【变式91】(2022·广东广州检测)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()【答案】B【解析】水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B．【变式92】（2324高一上·贵州安顺·期末）为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的选项是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据题意可得运输效率逐步提高则函数增长逐渐加快判断即可.【详解】由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足.故选：B【变式93】（2023高一上·上海·专题练习）如下图所示，向高为的水瓶A，B，C，D同时以等速注水，注满为止；若水深与注水时间的函数图象如图，则水瓶的形状是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】依据水瓶的形状来决定水面的高度上升的速率，由此得出结论．【详解】A中的水瓶水面上升的速率越来越慢，不符合题意；B中的水瓶水面上升的速率越来越快，不符合题意；C中的水瓶的水面上升是均匀的，图象是一条直线，不符合题意；D中的水瓶的水面上升的速率先变慢再变快，和给出的图象相符，故选：D．【变式94】（2324高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断.【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误；对于A：由等边三角形可知：线段的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误；对于D：由圆可知：线段的长度不会是线性变化，故D错误；对于C：由正方形可知：线段的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确；故选：B.【考点题型十】已知函数模型解决实际问题【例10】（2324高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨．(1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润．【答案】(1)年产量为吨时，最低平均成本为万元(2)年产量为吨时，最大利润为万元【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据题意写出生产每吨产品的平均成本的解析式，由基本不等式求解可得；（2）写出利润的解析式，由二次函数最值可求.【详解】（1）由题意可得，，因为，当且仅当时，即时等号成立，符合题意.所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元．（2）设利润为，则，又，当时，．所以当年产量为吨时，最大利润为万元．【变式101】（多选）（2425高一上·全国·课后作业）已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y（万元）与营运年数x的关系为，则下列判断正确的是（

）A．车辆营运年数越多，收入越高B．车辆在第6年时，总收入最高C．车辆在前5年的平均收入最高D．车辆每年都能盈利【答案】BC【知识点】利用二次函数模型解决实际问题【分析】由题可知二次函数开口向下，对称轴为6，根据二次函数的图象和性质可以判断；平均收入为，利用基本不等式即可求最大值，由此判断C.【详解】由题意，，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x=6，故B正确；平均收入，当且仅当时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误．故选：BC【变式102】（2324高一上·陕西·期中）某厂每年生产某种产品万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为10万元，浮动成本若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡.(1)设年利润为（万元），试求与的关系式;(2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大?并求出最大利润.【答案】(1)(2)年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为90万元.【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用【分析】（1）依题意得，即可得到分段函数；（2）分别求分段函数每一段的最大值即可求解．【详解】（1）（2）当时，，当时，，故当时，取得最大值90.当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为90万元.【变式103】（2324高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表：时间（天）1361036日销售量（件）9490847624未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）．(1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式；(2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少?(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围．【答案】(1)(2)第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元；(3)【知识点】待定系数法、利用二次函数模型解决实际问题【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分和两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得；（3）根据前20天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数的性质和即可.【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数，设一次函数为，把和代入，解得，∴；把代入检验，，符合题意，∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为；（2）设销售利润为W元，①当时，，∴当时，W有最大值450，②当时，，∴当时，W随x增大而减小，∴时，，∵，∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元；（3）由题意知二次函数开口向下，对称轴是，要使日销售利润随时间x的增大而增大，则，∴，又，∴．【变式104】（2223高一下·江西宜春·开学考试）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源耗损，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消费费用为万元，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.(1)请写出的表达式；(2)隔热层多厚时，达到最小，并求出其最小值.【答案】(1)(2)当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出的解析式；（2）利用基本不等式得出的最小值及对应的x的值.【详解】（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.再由，得，因此.而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（2），当，即时取等号，所以当隔热层厚度为时总费用最小万元.【考点题型十一】构建函数模型解决实际问题【例11】（2324高一上·广东佛山·阶段练习）如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知长方形休闲区的面积为，人行道的宽分别为4m和10m.(1)设长方