四年级数学下册 期末复习专题讲义（知识点归纳 典例讲解 同步测试）-5.认识方程（北师大版）

北师大版四年级下册数学期末复习专题讲义-5.认识方程【知识点归纳】1.用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。2.用字母表示有关图形的计算公式：①长方形周长公式：C=2（a＋b）。②长方形面积公式：S=ab。③正方形周长公式：C=4a。④正方形面积公式：S=a2。3.在含有字母的式子中，字母和字母之间、字母和数字之间的乘号可以用“?”表示或省略不写，数字一般都写在字母前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。如：a×b=ab、5×a=5a、1×a=a、a×a=a24.区别a的平方和2乘a的区别：a2=a×a,2a=a+a=2×a。5.方程的意义与等式性质①方程的含义：含有未知数的等式叫方程。②方程与等式的联系区别：方程是等式，但等式却不都是方程。③等式性质一：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。④等式性质二：等式两边都乘一个数（或除以一个不为0的数），等式仍然成立。⑤解方程的书写格式：解方程前要先写一个“解”字和冒号；一步一脱式，每算一步，等号都要上、下对齐；表示未知数的字母一般都要放在等号的左侧。⑥使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。求方程的解的过程叫作解方程。⑦能运用减法、除法各部分间的关系，求未知数是减数、除数的方程。⑧看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。在列方程时，把未知数尽量放在等式左边。⑨用方程解决实际问题（解应用题），首先要用字母表示未知数，然后根据题目中数量之间的相等关系，列出一个含有未知数的等式（也就是方程）再解出来，最后检验，写出答语。6.图形中的规律①摆n个三角形需要2n＋1根小棒。②摆n个正方形需要3n＋1根小棒。【典例讲解】例1．在x÷y＝z中，x是y的12倍，x是z的18倍，则x是（）A．12 B．18 C．206 D．216【分析】x是y的12倍，即12y＝x，代入得12y÷y＝z＝12；x是z的18倍，则x是12×18＝216．【解答】解：由题意得12y＝x代入x÷y＝z得：12y÷y＝z＝12x＝18z＝12×18＝216答：x是216．故选：D．【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母所表示的含义，再进一步解答．例2．等式的两边都除以同一个数，等式仍然成立．×（判断对错）【分析】等式的性质：等式的两边同时加上、同时减去、同时乘上或同时除以一个数（0除外），等式的左右两边仍相等；据此进行判断．【解答】解：等式的两边只有同时加上、同时减去、同时乘上或同时除以一个数（0除外），等式的左右两边仍相等；所以等式两边都除以同一个数，等式仍成立的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查学生对等式性质内容的理解，要注意：当等式的两边同时除以一个数时，必须得0除外，等式才仍然相等．例3．奇奇去商店买学习用品，一支圆珠笔a元，一支钢笔的价钱比圆珠笔的2倍少0.3元．（1）用式子表示一支钢笔的价钱．（2）已知a＝3.6，利用上面的式子求一支钢笔的价钱．【分析】（1）圆珠笔的2倍是2×a＝2a元，比圆珠笔的2倍少0.3元是2a﹣0.3＝（2a﹣0.3）元；（2）已知a＝3.6，代入2a﹣0.3即可求出一支钢笔的价钱．【解答】解：（1）2a﹣0.3＝（2a﹣0.3）元答：一支钢笔的价钱是（2a﹣0.3）元．（2）2×3.6﹣0.3＝7.2﹣0.3＝6.9（元）答：一支钢笔的价钱是6.9元．【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母所表示的含义，再进一步解答．例4．如图，第5个图形中有25个小三角形；第n个图形中有n2个小三角形；第10个图形中有100个小三角形．【分析】观察图形，第一个图形有1个小三角形；第二个图形有4个小三角形；第三个图形有9个小三角形；…，据此依次向上排列，发现；第n个图形中，小三角形的个数是n2；据此即可解答．【解答】解：观察图形可知：第1个图形有1个三角形；第2个图形有1+3＝4＝22个小三角形；第3个图形有1+3+5＝9＝32个小三角形；…第5个图形有1+3+5+7+9＝25＝52个小三角形；…第n个图形有1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2个小三角形．因为100＝102所以第10个图形有100＝102个小三角形；故答案为：25、n2、10．【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．例5．有趣的三角．你发现了什么？【分析】观察前三行可得，除和之外，所有分数的分数单位都是，且由上而下第一行1个分数、第二行2个分数、第三行3个分数……第n行n个分数．首项与末项都是，每行两个分数之和等于下行这两个分数之间的分数．相邻两行中，下一行分数之和是上一行分数和的2倍．【解答】解：根据分析可知：如图所示，我发现的规律是：除和之外，所有分数的分数单位都是，且由上而下第一行1个分数、第二行2个分数、第三行3个分数……第n行n个分数．首项与末项都是，每行两个分数之和等于下行这两个分数之间的分数．相邻两行中，下一行分数之和是上一行分数和的2倍．故答案为：，，，，1；，，，，，2．【点评】除和之和，单看各分数的分子，是杨辉三角形，其特征是：每个数等于它上方两数之和．每行数字左右对称，由1开始逐渐变大．第n行的数字有n项．和的规律是：从第四行起是从1开始的，公比为2的等比递增数列，第n行是2n﹣1．【同步测试】一．选择题（共10小题）1．当a是自然数时，2a+1是（）A．奇数 B．偶数 C．A、B都有可能2．如果是假分数，是真分数，那么（）A．a＞5 B．a＜5 C．a＝6 D．a＝53．一位同学在计算a+235时，把235当做23.5，那么（）A．和增加10倍 B．和减少10倍 C．和减少了235﹣23.54．5x﹣3错写成5（x﹣3），结果比原来（）A．多12 B．少12 C．多35．与a2表示的意义一样的是（）A．a×a B．a+a C．2a D．a+26．五（1）班有学生48名，男生有（48﹣m）名，这里的m表示（）A．男生人数 B．女生人数 C．全班人数 D．男生和女生相差的人数7．a×5＝b×3（ab均不为0），则a与b的关系是（）A．a＝b B．a＜b C．a＞b8．小红的妈妈今年x岁，小红今年（x﹣25）岁，再过10年，她们相差（）岁．A．10 B．x C．25 D．x﹣259．下面的式子中，（）是方程．A．25+75＝100 B．x﹣16＞73 C．5（y+3）＝4510．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆…依此规律，第10个图形中小圆的个数为（）A．136 B．114 C．112 D．106二．填空题（共8小题）11．a为大于0的自然数，是真分数，a9：是假分数，a9；可化成整数a是9的．12．笑笑家一年水电支出a元，平均每月水电支出元．13．粮库有m吨大米，每小时运走n吨，4.5小时后还剩吨．14．玩搭积木游戏，每一阶段增多的积木的个数相同，所搭起来的积木的形状如下图所示．搭第8阶段一共需要积木个．15．京张高速铁路是2022年北京冬奥会重要交通保障设施之一，全长174km，其中北京境内长akm，剩余都在河北境内．如果高铁以每小时350km的速度行驶，高铁在河北境内需要开小时．16．如图，围绕一张方桌可以坐8人，把两张方桌并起来可以坐12人，三张方桌并起来可以坐16人……照这样，5张方桌并成一排可以坐人．n张方桌并成一排可以坐人．17．2只小熊有只脚着地；3只小熊有只脚着地；n只小熊有只脚着地．如果共有26只脚着地，那么有只小熊在表演节目．18．按照如图的规律摆正方形．这样摆下去，第14个正方形应该是色，第24个正方形应该是色．三．判断题（共5小题）19．a2表示两个a相乘，当a＝2时，a2＝2a．（判断对错）20．1.5×（m+n）＝1.5m+n．（判断对错）21．a+1和a﹣1可以分别表示和自然数a（a≠0）相邻的两个自然数．（判断对错）22．如果2a＝3b（a、b不等于0），那么a＜b．（判断对错）23．利民批发市场运来m车蔬菜，每车装3吨，供应给菜场35吨．3m﹣35表示一共运来蔬菜的吨数．（判断对错）四．计算题（共2小题）24．根据运算定律，在□里填上适当的数或字母．a+（30+8）＝（□+□）+825．看图填空．五．应用题（共6小题）26．读唐代古诗．望庐山瀑布[唐]李白日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川．飞流直下三千尺，疑是银河落九天．（1）若唐代的一尺相当于现在的a米，诗中的三千尺相当于现在的米．（2）如果唐代的千尺约为现在的307米，那么a约代表多少？27．为了庆祝国庆节，学校手工社团计划做360面小彩旗．（1）如果每天做x面，3天后还剩下多少面小彩旗没有做？（2）当x＝85时，用上面的式子求还剩下多少面小彩旗没有做．28．学校买来m个足球，单价是40元/个；又买来n个篮球，单价是25元/个．（1）用含有字母的式子表示学校买这些球一共花了多少元？（2）当m＝5，n＝3时，学校买这些球一共花了多少元？29．幸福小学四、五年级同学星期天参加义务劳动，四年级去了a人、五年级去的人数是四年级的1.2倍．先用含有字母的式子表示四、五年级一共去的人数，再计算，当a＝80时，四、五年级一共去了多少人？30．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行最多能坐6人，如图．（1）将下表填写完整．拼成一行的方桌数123456……最多能坐的人数46……（2）10张方桌拼成一行最多能坐多少人？（3）n（n≥1，且n为整数）张方桌拼成一行最多能坐多少人？（用含有n的式子表示）31．观察点阵图形，找出规律．（1）第8个图形中有多少个点？（2）第n个图形中有多少个点？

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据偶数和奇数的含义可知：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数．偶数可用2a表示，奇数可用2a+1表示，这里a是整数；可知：2a+1是奇数；进而选择即可．【解答】解：a是自然数，那么2a+1表示的一定是奇数．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解奇数、偶数的意义．2．【分析】假分数是指分子等于或大于分母的分数，真分数是指分子小于分母的分数，是假分数，那么a≥6，是真分数，那么a≤6，所以a＝6．【解答】解：是假分数，说明a≥6；是真分数，说明a≤6．所以a＝6．故选：C．【点评】解决此题要明确假分数和真分数的意义，进而问题得解．3．【分析】把235当作23.5来加就是少加了235﹣23.5＝211.5，就是和减少了211.5，据此选择．【解答】解：一位同学在计算a+235时，把235当做23.5，那么和减少了（235﹣23.5）；故选：C．【点评】解答本题关键是理解：把235当作23.5来加就是少加了（235﹣23.5）．4．【分析】根据题意知道，用5（x﹣3）减去5x﹣3，得出的数大于0说明结果比原来大，得出的数小于0说明结果比原来小．【解答】解：5（x﹣3）﹣（5x﹣3）＝5x﹣15﹣5x+3＝﹣12答：把5x﹣3错写成5（x﹣3），结果比原来少12，故选：B．【点评】注意括号前面是减号，去掉括号时，括号里面的运算符合要改变．5．【分析】根据乘法的意义可知：a2＝a×a，而B项a+a＝2a，C项2a也等于a+a，D项a+2是字母与数字相加，没有其它的表达形式，据此解答即可．【解答】解：由分析可知，与a2表示的意义一样的是a×a；故选：A．【点评】此题考查了用字母表示数，解答此题应注意乘法的意义的灵活应用．6．【分析】因为班级里所有学生人数包括男生和女生，则男生人数＝全班人数﹣女生人数＝48﹣m，所以m表示女生人数．【解答】解：因为男生人数＝全班人数﹣女生人数＝48﹣m，所以m表示女生人数．故选：B．【点评】解题关键是明确：男生人数＝全班人数﹣女生人数，据此可知字母表示的意义．7．【分析】根据在乘法算式里，如果乘积相等，那么一个因数大，另一个因数反而小得解．【解答】解：在等式a×5＝b×3（ab均不为0）中，因为5＞3，所以a＜b．故选：B．【点评】明确在乘法算式里，如果乘积相等，那么一个因数大，另一个因数反而小．8．【分析】因为不管经过多长时间，小红与妈妈的年龄差是不变的，也就是说今年她们相差25岁，那么过10年后她们仍相差25岁．据此即可解答．【解答】解：x﹣（x﹣25）＝25（岁）答：再过10年，她们相差25岁．故选：C．【点评】解答此题应抓住年龄差不变来求解，因为不管经过多少年，二人增长的年龄是一样的，故差不变．9．【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．【解答】解：A、25+75＝100，是等式，但不含有未知数，也不是方程．B、x﹣16＞73，含有未知数，但不是等式，不是方程；C、5（y+3）＝45，是含有未知数的等式，是方程；故选：C．【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．10．【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4；由此把n＝10代入计算即可．【解答】解：10×11+4＝110+4＝114（个）答：第10个图形中小圆的个数为114个．故选：B．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，得出通项公式，从而解决问题．二．填空题（共8小题）11．【分析】真分数是指分子小于分母的分数；假分数是指分子大于或等于分母的分数，当假分数的分子是分母的倍数时，就能化成整数；当假分数的分子不是分母的倍数时，就能化成带分数．据此进行解答．【解答】解：解：由分析可得：a为大于0的自然数，当a＜9时，是真分数，当a≥9时，是假分数，当a是9的倍数时，可化为整数．故答案为：＜9，≥9，倍数．【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母所表示的含义，再进一步解答．12．【分析】求平均每个月水电支出多少元，根据：总价÷数量＝单价，由此带入解答即可．【解答】解：笑笑家一年水电支出a元，平均每月水电支出（a÷12）元．故答案为：（a÷12）．【点评】明确总价、数量和单价之间的关系，是解答此题的关键．13．【分析】每小时运走的吨数（n吨）乘运的时间（4.5小时）就是运走的吨数，用总吨数（m吨）减去运走的吨数就剩下的吨数．【解答】解：m﹣n×4.5＝m﹣4.5n（吨）答：粮库有m吨大米，每小时运走n吨，4.5小时后还剩m﹣4.5n吨．故答案为：m﹣4.5n．【点评】此题是使学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量．14．【分析】观察图形可知，第一阶段，积木个数是3＝3×1；第二阶段，积木个数是6＝3×2；第三阶段，积木个数是9＝3×3，第四阶段，积木个数是12＝3×4…，据此可得，第n阶段，积木个数是3n；据此即可解答．【解答】解：根据题干分析可得：第n阶段，积木个数是3n；当n＝8时，3×8＝24（个），答：第8阶段有24个积木．故答案为：24．【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．15．【分析】由题意可知，京张高速铁路全长174km，其中北京境内长akm，剩余都在河北境内．河北境内的高铁长度（174﹣a）千米，然后再运用路程速度时间之间的数量关系进行解答即可．【解答】解：（174﹣a）÷350（小时）答：高铁在河北境内需要开（174﹣a）÷350小时．故答案为：（174﹣a）÷350．【点评】此题考查用字母表示数，关键是把给出的字母当做已知数，再根据基本的数量关系列式．16．【分析】一张方桌坐8人，两张方桌并起来坐12＝8+4人，三张方桌并成一列坐16＝8+4+4人，…5张方桌并起来坐8+4×4人，n张方桌并成一列可以坐8+4（n﹣1）人，由此得解．【解答】解：8+4×4＝24（人）8+4（n﹣1）＝4n+4（人）答：5张方桌并起来坐24人，n张方桌并成一列可以坐（4n+4）人．故答案为：24，（4n+4）．【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．17．【分析】（1）从图中看出，有1只小熊的4条腿着地，有n﹣1只小熊的2条腿着地，由此用（n﹣1）×2+4分别求出n＝2，n＝3，n只小熊表演节目腿着地的条数；（2）让（n﹣1）×2+4等于26，解此方程即可求出n的值．【解答】解：（1）2只小熊有2+4＝6（只）3只小熊有2×2+4＝8（只）n只小熊有：（n﹣1）×2+4＝2n﹣2+4＝（2n+2）（只）答：2只小熊有6只腿着地，3只小熊有8只腿着地，n只小熊表演时共有（2n+2）只腿着地．（2）（n﹣1）×2+4＝262n+2＝262n＝26﹣22n＝24n＝12答：如果共有26只脚着地，那么有12只小熊在表演节目．故答案为：6，8，（2n+2），12．【点评】关键是根据给出的图，判断出有n﹣1只小熊的2条腿着地，再根据乘法的意义列式解答．18．【分析】图形是按照的规律循环排列的，14÷3＝4（周）…2（个），即循环排列了4次后还有2个正方形，第14个正方形应该是黑色正方形；24÷3＝8，即循环排列了8次，第24个正方形应该是白色正方形．【解答】解：14÷3＝4（周）…2（个），24÷3＝8（个），答：第14个正方形应该是黑色，第24个正方形应该是白色．故答案为：黑，白．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．抓住题干，得出这组图形排列的周期特点是解决此类问题的关键．三．判断题（共5小题）19．【分析】根据题意，当a＝2时，把a＝2分别代入a2与2a，求出值再比较解答．【解答】解：当a＝2时；a2＝2×2＝4；2a＝2×2＝4；所以a2＝2a．所以，原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题考查了用字母表示数，把a表示的数代入即可得出结论．20．【分析】根据乘法分配律可得1.5×（m+n）＝1.5m+1.5n．【解答】解：1.5×（m+n）＝1.5m+1.5n，题干的计算是错误的．故答案为：×．【点评】此题是使学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量．关键是记住乘法分分配律的意义．21．【分析】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，与自然数a（a≠0）相邻的两个自然数是a+1和a﹣1．【解答】解：与自然数a（a≠0）相邻的两个自然数是a+1和a﹣1；故答案为：√．【点评】此题考查的目的是理解自然数的意义，掌握自然数的排列规律．明确：相邻的自然数相差1．22．【分析】由题意知2a＝3b（a、b不等于0），要比较a、b两数的大小，可比较另外两个数的大小，根据“积一定的情况下，一个因数小则另一个因数就大”，据此判断．【解答】解：如果2a＝3b（a、b不等于0），因为2＜3，所以a＞b，因此如果2a＝3b（a、b不等于0），那么a＜b，这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】解答此题要明确：积（0除外）一定的情况下，一个因数小则另一个因数就大．23．【分析】用每车的质量乘辆数求出求出总吨数，再减去35吨就是剩下的吨数．【解答】解：3m﹣35表示剩下蔬菜的吨数．故题干的说法是错误的．故答案为：×．【点评】在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．四．计算题（共2小题）24．【分析】加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）；据此解答即可．【解答】解：a+（30+8）＝（a+30）+8故答案为：a、30．【点评】本题利用具体的算式考查了学生对于加法结合律的理解．25．【分析】根据题意可得等量关系式：要求的支数＝总支数﹣4个a支，据此解答即可．【解答】解：800﹣a×4＝800﹣4a（支）【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．五．应用题（共6小题）26．【分析】（1）若唐代的一尺相当于现在的a米，诗中的三千尺相当于现在的3000×a＝3000a米；（2）唐代的千尺约为现在的307米，则一尺相当于307÷1000＝0.307米，即a约代表0.307米．【解答】解：（1）3000×a＝3000a（米）答：诗中的三千尺相当于现在的3000a米．（2）307÷1000＝0.307（米）答：a约代表0.307米．故答案为：3000a．【点评】解答此题的关键是正确找出题中数据的关系，再灵活选用乘法或除法解答．27．【分析】（1）用每天做的面数乘3，求出已经做的面数，再与总面数作差即可；（2把x＝85，代入上面（1）中的代数式解答即可．【解答】解：（1）360﹣x×3＝360﹣3x（面）答：如果每天做x面，3天后还剩下（360﹣3x）面小彩旗没有做．（2）当x＝85时，360﹣3x＝360﹣3×85＝360﹣255＝105（面）答：还剩下105面小彩旗没有做．【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，明确数量之间的关系，然后根据题意列式计算即可得解．28．【分析】（1）根据“总价＝单价×数量”分别求出买足球、篮球的钱数，再把二者相加．（2）把（1）中用含有字母m、n的表示买这两种球一共要付的钱数的式子中的m、n用5、6代换，计算即可．【解答】解：（1）m×40+25×n＝40m+25n（元）答：学校买这两种球一共要付的钱数是（40m+25n）元．（2）当m＝5，n＝3时，40m+25n＝40×5+25×3＝200+75＝275（元）答：一共要付275元．【点评】此题主要是使学生在现实情景中理解用字母表示