数学自主训练：6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积7柱、锥、台和球的体积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A。B.C.D.思路解析:设球的半径为R，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，由勾股定理可得一个半径为的圆，所以.答案：A2。正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A.1∶B。1∶3C.1∶3D.1∶9思路解析：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为1∶3，选C.答案：C3.如图11-（6,7）—5,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是____________。图11—（6，7）-5思路解析：显然正六棱锥P—ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2。依题意可得正六棱锥P—ABCDEF的高为2，以此可求得侧面积为.答案：4。如图11-（6,7）-6，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，所有棱长均为1,则点B1到平面ABC1的距离为___________图11—(6,7）-6思路解析:利用等体积法，易知，所以点B1到平面ABC1的距离为h=.答案：5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3,则其体积为__________________。思路解析:如图，在△OPA中,因为PA=3,OA=,所以正四棱锥的高h==1，故正四棱锥的体积为V=Sh=。图11—（6,7）-7答案：6。一块长方体木料，长、宽、高分别为8厘米、4厘米、6厘米,把它切削成一个体积最大的圆柱体，求这个圆柱体的体积是多少？(π取3.14)思路分析:根据此题提供的条件，削成圆柱体有三种情况，要按条件比较一下哪一种削法削成的圆柱体最大。解：(1）以长8厘米,宽4厘米的面为底,6厘米为高，圆柱的体积为V=π×（)2×6=24π（立方厘米).(2）以长8厘米，宽6厘米的面为底,4厘米为高,圆柱的体积为V=π×（)2×4=36π(立方厘米).（3)以长6厘米，宽4厘米的面为底,8厘米为高,圆柱的体积为V=π×(）2×8=32π（立方厘米).通过比较，以长8厘米，宽6厘米的面为底，以4厘米为高，削出的圆柱体体积最大，Vmax=π×（)2×4=36π=113.04(立方厘米)。7.在正四棱台内作一个内接棱锥，该棱锥以这个棱台的上底面正方形作底，以下底面正方形的中心作顶点。如果棱台上、下底面的边长分别为a和b，棱台和这个内接棱锥的侧面积相等，求这个内接棱锥的高，以及本题有解的限制条件。思路解析：可以根据侧面积相等建立方程，解方程或者根据方程判断解的情况即可得出结论。解：设内接棱锥的高为x,则棱锥的斜高h1=,棱台的斜高h2=.由棱台和内接棱锥的侧面积相等可得关于x的方程·4a·=·4(a+b）·.解方程可得x=.答：这个内接棱锥的高为。当a，b满足0<a<b〈a时，本题有解.我综合我发展8。图11-(6，7)—8所示图形是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高为20厘米的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米?(π=3。14)图11-(6，7）-8思路分析：因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后，水面下降部分实际上是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度。解：因为圆锥形铅锤的体积为×π×（）2×20=60π(立方厘米)。设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为π×()2×x=100πx（立方厘米）。所以有下列方程60π=100πx，解此方程得x=0.6(厘米）。答:铅锤取出后,杯中水面下降了0。6厘米。9。有位油漆工用一把长度为50cm,横截面半径为10cm的圆柱形刷子给一块面积为10m2思路分析:本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题。解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积。从而使问题迎刃而解.解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0。1πm2,又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0。5π.因此油漆工完成任务所需的时间t=≈6.37(秒).10。斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，AA1思路分析：求几何体的侧面积可以计算每个侧面积,然后相加，也可以根据侧面展开图的特点计算展开图的面积。另外，棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面）的面积与侧棱的乘积也是棱柱的侧面积.图11—(6,7）—9解法一：如图，作A1O⊥面ABC于O，∵AA1与AB、AC都成45°角,∴AO是∠BAC的平分线.又△ABC为正三角形，∴AO⊥BC。由三垂线定理知AA1⊥BC,又AA1∥BB1∥CC1,图11-(6,7)—10∴四边形BB1CS侧=2absin45°+ab=（2+1)ab.解法二:如图，作BM⊥AA1于M，连结CM,可证得△BMA≌△CMA.∴CM⊥AA1,△BMC是棱柱的直截面.∵∠MAB=∠MAC=45°,∴CM=BM=a,C直截面=a+a+a=（2+1）a。∴S侧=（+1）ab。11。如图1—1—（6，7)—11，ABCD—A′B′C′D′是一个无底无盖的纸皮箱，AB=a,BC=b,BB′=c,且a>b>c,如果一只蚂蚁从A点出发爬行到点C′,那么它走过的最短路程是多少?图11—（6,7)-11思路分析：解决多面体表面两点的最短距离问题，通常要把多面体表面展开，从而转化为求平面两点间的距离问题，在展开表面时，要注意考虑是否可以有多种展开方式.本题中由于长方体的三条棱长不相等，所以有三种展开方式,把这三种情况的最后结果求出来,再比较他们的大小，就可得出最小值。解：