数学自主训练：基本不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。logab+logba≥2成立的必要条件是（）Aa〉1，b>1Ba〉0,0〈b〈1C(a-1)（b—1)〉0D以上都不对思路解析：因为logab与logba互为倒数，符合基本不等式的结构.但两个数应是正数，所以a，b同时大于1或a，b都属于区间（0，1).答案:C2。下列命题中：①x+最小值是2;②的最小值是2；③的最小值是2;④2-3x-的最小值是2.其中正确命题的个数是(）A1个B2个C3个D4个思路解析:当x<0时，x+无最小值,故①错误;当x=0时，的最小值是2，②正确;当时,取得最小值2。但此时x2=-3,所以取不到最小值2，故③错误;当x>0时,2-3x—〈0,故④错误。答案:A3.设x,y∈R+，且满足x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是（）A40B10C思路解析：因为x，y∈R+,∴.∴=10。∴xy≤100.∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2.答案：D4.设x,y∈R+,且xy—(x+y）=1,则（）Ax+y≥2(+1)Bx·y≤+1Cx+y≤(+1)2Dx·y≥2(+1)思路解析：因为xy—（x+y)=1,∴x+y+1=xy≤（）2所以（x+y)2—4(x+y)—4≥0。所以x+y≥=2+，或x+y≤2—(舍去)。答案：A5。若a>b>1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg(）,则（)AR〈P<QBP<Q〈RCQ<P<RDP<R〈Q思路解析：∵a>b>1lga>0,lgb〉0，∴Q=12（lga+lgb）〉=P，R>=(lga+lgb）=QR〉Q>P.答案：B6。设x，y∈R，且x+y=5,则3x+3y的最小值是……（）A10B6CD18思路解析：3x+3y≥.答案：D7。已知lgx+lgy=2,则+的最小值为__________。思路解析:∵lgx+lgy=2,∴lgxy=2，xy=102.∴.答案：158。某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=__________吨。思路解析：设一年总费用为y万元,则y=4×+4x=+4x≥=160.当且仅当=4x,即x=20时，等号成立。答案：209。(1）求函数y=+x(x〉3)的最小值；(2）设x>-1，求函数y=的最小值.解:(1）∵x〉3,∴y=1x—3+x=1x—3+（x-3)+3≥5（当且仅当x-3=1x—3，即x=4时,即“=”号).∴ymin=5.(2）因为x>-1,所以x+1〉0，设x+1=t〉0,则x=t—1,把x=t—1代入y=。=5+(t+）≥5+=5+4=9.当且仅当t=2即x=1时上式等号成立。所以当x=1时函数y有最小值9。我综合我发展10.若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M,则对任意常数k，总有（）A2∈M，0∈MB2M，0MC2∈M,0MD2M,0∈M思路解析:由(1+k2)x≤k4+4,得x≤，令f（k）=，再令k2+1=t(t≥1)，则k2=t—1,f（k)==t+-2≥—2>4-2=2.（当且仅当t=5t，即t=时“=”成立)。所以2∈M，0∈M。答案:A11.已知不等式（x+y)（+)≥9对任意正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值为（）A2B4C思路解析：（x+y）()=1+a+≥1+a+=(+1)2(当且仅当=时取等号).∵(x+y）（+）≥9对任意正实数x,y恒成立.∴需（+1）2≥9。∴a≥4。答案:B12.若a，b，c>0且a(a+b+c）+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为（）A—1B+1C2+2D2—2思路解析:由a（a+b+c)+bc=4—，得（a+b）(a+c)=4—.∵a,b,c>0，∴(a+c)（a+b）≤（）2（当且仅当a+c=b+a，即b=c时取“=”号)。∴2a+b+c≥=2（—1)=-2。答案：D13.已知a>0,b〉0，a，b的等差中项是,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是(）A3B4C思路解析：由题意，知a+b=1，则α+β=a++b+=1+≥1+=5.答案：C14。a>0，b>0，给出下列四个不等式：①a+b+≥2;②（a+b)(+)≥4；③≥a+b;④a+≥—2.其中正确的不等式有__________（只填序号）.思路解析:①正确.∵a>0,b〉0，∴a+b+≥+≥2··=;②正确.(a+b)(+)≥×=4;③正确。∵，∴a2+b2≥2（）2=（a+b)≥（a+b),∴≥a+b；④a+=（a+4）+—4≥—4=2-4=—2。当且仅当a+4=，即（a+4）2=1时等号成立。而a〉0，∴（a+4）2≠1,∴等号不能取得。综上可知①②③正确.答案：①②③15。某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年产量Q（万件）与广告费x(万元)之间的函数关系式为Q=（x≥0)。已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1）试将利润y（万元）表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？(注:①“年平均每件成本”中不计广告费支出；②假定每年生产的产品当年全部售出)解：（1）利润=年收入-年成本-年广告费，售价=×150%+×50%,收入=（3+32Q）×150%+50％x,∴y=（3+32Q)×150％+50%x—（3+32Q)—x=(32Q+3-x）=（32×+3—x)