2024八年级数学上册第十三章全等三角形练素养3.全等三角形的常见模型习题课件新版冀教版

冀教版八年级上第十三章全等三角形集训课堂练素养3.全等三角形的常见模型解决图形变换问题需要抓住三个特点：1.变化前的结论及说

理过程对变化后的结论起到重要的作用.2.在图形变化前

后，明确哪些关系发生变化，哪些关系没有发生变化，变化

前的等角、等线段在变化后是否还存在.3.几种变化图形之

间，说理思路存在内在联系，变化后的说理思路可模仿与借

鉴变化前的结论与过程.变化后的结论有时发生变化，有时

不发生变化.模型1平移模型1.

[2024·北师大附中期中]如图，点

B

，

C

，

E

，

F

在同一条

直线上，

AB

∥

DE

，∠

A

＝∠

D

，

BE

＝

CF

.

求证：

AC

＝

DF

.

【证明】∵

AB

∥

DE

，∴∠

B

＝∠

DEF

.

又∵

BE

＝

CF

，∴

BC

＝

EF

.

又∵∠

A

＝∠

D

，∴△

ABC

≌△

DEF

(AAS)，∴

AC

＝

DF

.

1234567模型2对称模型2.

如图，

CD

⊥

AB

，

BE

⊥

AC

，垂足分别为

D

，

E

，

BE

，

CD

相交于点

F

，连接

AF

，

BF

＝

CF

.

(1)求证：∠

BAF

＝∠

CAF

；

1234567(2)在不添加辅助线的条件下，写出图中所有的全等三

角形.

1234567模型3共顶点旋转模型3.

如图，已知

AD

＝

AB

，

AC

＝

AE

，∠

DAB

＝∠

CAE

，

连接

DC

，

BE

.

(1)求证：△

BAE

≌△

DAC

；【证明】∵∠

DAB

＝∠

CAE

，∴∠

DAB

＋∠

BAC

＝∠

CAE

＋∠

BAC

，∴∠

DAC

＝∠

BAE

.

又∵

AE

＝

AC

，

AB

＝

AD

.

∴△

BAE

≌△

DAC

(SAS).1234567(2)若∠

CAD

＝143°，∠

D

＝15°，则∠

E

的度数

为

⁠.【点拨】由(1)知△

BAE

≌△

DAC

，∴∠

E

＝∠

C

.

∵∠

CAD

＝143°，∠

D

＝15°，∴∠

C

＝180°－(∠

CAD

＋∠

D

)＝22°，∴∠

E

＝22°.22°

1234567模型4

不共顶点旋转模型4.

如图，

A

，

F

，

C

，

D

四个点在同一条直线上，

AB

⊥

BC

，

DE

⊥

EF

，

AC

＝

DF

，

AB

＝

DE

.

求证：

BF

∥

CE

.

1234567模型5

三垂直模型5.

[2024·武汉外国语学校月考]如图①，在△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，

AE

是过点

A

的一条直线，且点

B

，

C

在

AE

的异侧，

BD

⊥

AE

于点

D

，

CE

⊥

AE

于点

E

.

(1)求证：

BD

＝

DE

＋

CE

.

1234567【证明】∵

BD

⊥

AE

于点

D

，

CE

⊥

AE

于点

E

，∴∠

ADB

＝∠

AEC

＝90°.∴∠

ABD

＋∠

BAD

＝90°.∵∠

BAC

＝90°，∴∠

CAE

＋∠

BAD

＝90°.∴∠

ABD

＝∠

CAE

.

又∵

AB

＝

CA

，∴△

ABD

≌△

CAE

(AAS).∴

BD

＝

AE

，

AD

＝

CE

.

∵

AE

＝

DE

＋

AD

，∴

BD

＝

DE

＋

CE

.

1234567(2)若直线

AE

绕

A

点旋转到如图②的位置(

BD

＜

CE

)，其

余条件不变，则

BD

与

DE

，

CE

的关系如何？请予以

证明.【解】

BD

＝

DE

－

CE

.

证明：∵

BD

⊥

AE

于点

D

，

CE

⊥

AE

于点

E

，∴∠

ADB

＝∠

AEC

＝90°.∴∠

ABD

＋∠

BAD

＝90°.∵∠

BAC

＝90°，∴∠

CAE

＋∠

BAD

＝90°.∴∠

ABD

＝∠

CAE

.

又∵

AB

＝

CA

，∴△

ABD

≌△

CAE

(AAS).∴

BD

＝

AE

，

AD

＝

CE

.

∴

BD

＝

AE

＝

DE

－

AD

＝

DE

－

CE

.

1234567(3)若直线

AE

绕

A

点旋转到如图③的位置(

BD

＞

CE

)，其

余条件不变，则

BD

与

DE

，

CE

的关系怎样？请直接

写出结果，不需证明.【解】

BD

＝

DE

－

CE

.

1234567(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言描述

BD

与

DE

，

CE

的关系.【解】归纳(1)(2)(3)可知，结论描述为：当点

B

，

C

在

直线

AE

同侧时，

BD

＝

DE

－

CE

.

当点

B

，

C

在直线

AE

异侧时，若

BD

＞

CE

，则

BD

＝

DE

＋

CE

；若

BD

＜

CE

，则

BD

＝

CE

－

DE

.

1234567模型6手拉手模型6.

如图，∠

BAE

＝∠

CAF

＝90°，

EC

，

BF

相交于点

M

，

AE

＝

AB

，

AC

＝

AF

.

(1)求证：

EC

＝

BF

，

EC

⊥

BF

.

1234567【证明】∵∠

BAE

＝∠

CAF

＝90°，

∴∠

CAE

＝∠

BAF

.

又∵

AE

＝

AB

，

AC

＝

AF

，∴△

CAE

≌△

FAB

(SAS)，∴

EC

＝

BF

.

设

AC

与

BF

交于点

O

，∵△

CAE

≌△

FAB

，∴∠

AFO

＝∠

OCM

，又∵∠

AOF

＝∠

COM

，∠

CAF

＝90°，∴∠

OMC

＝∠

CAF

＝90°，∴

EC

⊥

BF

.

1234567(2)若∠

BAE

＝∠

CAF

＝

m

°(

m

≠90)，其他条件不变，

则(1)中的结论还成立吗？请说明理由.1234567

1234567模型7半角模型7.

【问题背景】如图①，在四边形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，

∠

BAD

＝120°，∠

B

＝∠

ADC

＝90°，

E

，

F

分别是

BC

，

CD

上的点，且∠

EAF

＝60°，试探究图中线段

BE

，

EF

，

FD

之间的数量关系.(1)小王同学探究此问题的方法是延长

FD

到点

G

，使

DG

＝

BE

，连接

AG

，先证

明△

ABE

≌△

ADG

，再证明△

AEF

≌

△

AGF

，可得出结论，他的结论应是

⁠

⁠.EF＝

BE

＋

DF

1234567

∴△

ABE

≌△

ADG

(SAS)，∴

AE

＝

AG

，∠

BAE

＝∠

DAG

.

∵∠

EAF

＝60°，∠

BAD

＝120°，∴∠

BAE

＋∠

DAF

＝60°，∴∠

DAG

＋∠

DAF

＝60°，【点拨】在△

ABE

和△

ADG

中，1234567∴∠

GAF

＝60°，∴∠

EAF

＝∠

GAF

.

∴△

AEF

≌△

AGF

(SAS)

，∴

EF

＝

FG

.

∵

FG

＝

DG

＋

DF

＝

BE

＋

DF

，∴

EF

＝

BE

＋

DF

.

1234567

1234567

1234567

1234567(3)如图③，四边形

ABCD

是边长为5的正方形，∠

EBF

＝

45°，直接写出△

DEF

的周长为

⁠.10

【学以致用】1234567如图②，延长

DC

到点

G

，使

CG

＝

AE

，连接

BG

.

∴△

AEB

≌△

CGB

(SAS)，∴

BE

＝

BG

，∠

ABE

＝∠

CBG

.

∵∠

EBF

＝45°，∠

ABC

＝90°，【点拨】1234567∴∠

ABE

＋∠

CBF

＝45°，∴∠

GBF

＝∠

CBF

＋

∠

CBG

＝45°.∴∠

EBF