安阳市洹北中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

安阳市洹北中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（nào）．如图所示的三棱锥为一鳖臑，且平面，平面，若，，，则（）A. B.C. D.2．若圆与圆相外切，则的值为（）A. B.C.1 D.3．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（）A.10 B.20C.30 D.404．已知点到直线：的距离为1，则等于（）A. B.C. D.5．函数的极大值点为（）A. B.C. D.不存在6．两圆和的位置关系是（）A.内切 B.外离C.外切 D.相交7．直线的方向向量为（）A. B.C. D.8．已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．若数列是等比数列，且，则（）A.1 B.2C.4 D.811．设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元）内，其中支出在（单位：元）内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（）A.100 B.120C.130 D.390二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于实数表示不超过的最大整数，如.已知数列的通项公式，前项和为，则___________.14．命题的否定是____________________.15．已知数列满足（），设数列满足：，数列的前项和为，若（）恒成立，则的取值范围是________16．圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹的长度为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中为实数.（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.18．（12分）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求直线到平面的距离.19．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点.（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求m的值.20．（12分）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.21．（12分）已知点在抛物线（）上，过点A且斜率为1直线与抛物线的另一个交点为B（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；（2）求弦长22．（10分）已知平面内两点.（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求线段的垂直平分线方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据平面，平面求解.【详解】因为平面，平面，所以，又，，，所以,所以，故选：A2、D【解析】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.【详解】由可得，所以圆的圆心为，半径为，由可得，所以圆的圆心为，半径为，因为两圆相外切，所以，解得，故选：D3、B【解析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，因为离心率为，即，可得，所以，所以双曲线的方程为：，因瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，将代入双曲线可得，解得：，所以颈部高为，故选：B4、D【解析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数的值.【详解】因为点到直线：的距离为1，故可得，整理得，解得.故选：.5、B【解析】求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象可解.【详解】令，得，因为时，，时，，所以时有极大值；当时，，时，，所以时有极小值.故选：B6、A【解析】计算出圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，两圆圆心距为，则，因此，两圆和内切.故选：A.7、D【解析】根据直线方程，求得斜率k，分析即可得直线的方向向量.【详解】直线变形可得，所以直线的斜率，所以向量为直线的一个方向向量，因为，所以向量为直线的方向向量，故选：D8、C【解析】先设点，利用向量关系得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，消去即得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果.【详解】设，由得，，，即，由在椭圆上，故，即，消去得，，根据椭圆上点满足，又两点不同，可知，整理得，故，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围.9、C【解析】建立空间直角坐标系，设直线与所成角为，由求解.【详解】∵长方体中，，，∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，，则，，，，所以，，设直线与所成角为，则，∴直线和夹角余弦值是.故选：C.10、C【解析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出，即可得出结果.【详解】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此.故选：C.11、B【解析】因为时，夹角为钝角或平角；而当夹角为钝角时，成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B考点：1向量的数量积；2充分必要条件12、A【解析】根据小矩形的面积之和，算出位于10～30的2组数的频率之和为0.33,从而得到位于30～50的数据的频率之和为1-0.33=0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量的值.【详解】位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为位于10～20、20～30的据的频率分别为0.1、0.23可得位于10～30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50数据的频率之和为1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同学有67人,即位于30～50的频数为67，∴根据频率计算公式，可得解之得.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、54【解析】由，利用裂项相消法求得，再由的定义求解.【详解】由已知可得：，，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，；；所以.故答案为：54.14、##【解析】根据全称量词命题的否定的知识写出正确答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论，所以命题否定是：故答案为：15、【解析】先由条件求出的通项公式，得到，由裂项相消法再求出，根据不等式恒成立求出参数的范围即可.【详解】当时，有当时，由①有②由①－②得：所以，当时也成立.所以,故则由，即，所以所以，由所以故答案为：【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和以及数列不等式问题，属于中档题.16、【解析】建立空间直角坐标系设，，，，于是，，因为，所以，从而，，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），【解析】（1）根据平行关系得到切线斜率，进而得到导函数在处的函数值，列出方程，求出，进而得到函数解析式；（2）先由求出，再利用导函数求单调性和最值.【小问1详解】，.由题意得：，解得：.，【小问2详解】，则，解得，，，当，解得：，即函数在单调递减，当，解得：或，即函数分别在，递增.又，，，，，.18、（1）；（2）.【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）证明出平面，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.【小问1详解】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，易知平面的一个法向量为，，因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【小问2详解】解：，则，所以，，因为平面，所以，平面，，所以，直线到平面的距离为.19、（1）（2）或【解析】（1）由已知设圆C的方程为，点代入计算即可得出结果.（2）由已知可得圆心C到直线的距离,利用点到直线的距离公式计算即可求得值.【小问1详解】设圆心坐标为，半径为，圆C的圆心在直线上，.则圆C的方程为，圆C过点，则，解得：则，圆C的圆心坐标为.则圆C的方程为；【小问2详解】圆心C到直线的距离.则，解得或20、（1）；（2）存在，为上靠近点的三等分点【解析】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的一个法向量，计算即可求解；（2）假设线段上存在点符合题意，设可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【详解】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：则，，，.不妨设平面的一个法向量,则有，即，取.设直线与平面所成的角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为；（2）假设线段上存在点，使得二面角的余弦值.设，则,从而，，.设平面的法向量,则有，即，取.设平面的法向量,则有，即，取.,解得：或（舍）,故存在点满足条件，为上靠近点的三等分点【点睛】求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.21、（1），焦点坐标（2）【解析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，进而可得抛物线的焦点坐标；（2）写出直线的方