四年级数学上册 第8讲 垂线与平行线（教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）（苏教版）

第4讲垂线与平行线知识点一：垂直与平行的特征及性质1.认识垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。

2.认识平行：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。3.点到直线的距离：点到直线的距离是点到直线的垂直线段的长度。从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段的长度最短。知识点二：垂线的画法画垂线有两个重合：一是三角尺的一条直角边与已知直线重合；二是点在直线上时，三角尺的直角顶点与这一点重合，点在直线外时，三角尺的另一条直角边经过这一点。知识点三：平行线的画法2.画平行线：（1）过直线外一点，画已知直线的平行线的方法：①使三角尺的一条直角边与已知直线重合；②使直尺靠在三角尺另一条直角边上；③移动三角尺，使其一条直角边经过直线外已知点，沿着三角尺另一条直角边画一条直线。（2）过直线外一点，画已知直线的平行线只能画一条。

垂直与平行的特征及性质【例1】下面的第（）个字母中，既有互相平行的线段．又有互相重直的线段．A． B． C． D．【思路分析】根据垂直和平行的性质：在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直，不相交的两条直线叫做平行线；由此解答即可．【规范解答】解：下面的字母中，既有互相平行的线段，又有互相垂直的线段的字母是A；故选：A．【名师点评】此题考查了垂直和平行的特征和性质．1．两条平行线之间的（）最短．A．线段 B．直线 C．垂线段 D．无法确定【思路分析】根据“在两条平行线之间的线段中，垂直两条平行线的线段最短，这条线段的长叫做平行线之间的距离”即可进行选择．【规范解答】解：据分析可知：两条平行线之间垂线段最短；故选：C．【名师点评】此题考查了垂直和平行的特征和性质，注意基础知识的灵活运用．2．两条平行线之间可以作（）垂直线段．A．1条 B．无数条 C．2条【思路分析】根据平行和垂直的性质和特征可知：两条平行线中可以画无数条垂线段，这些线段的长度都相等；这些垂直线段的长度叫做这两条平行线之间的距离；进而解答即可．【规范解答】解：由分析可知：平行线之间可以作无数条垂直线段．故选：B．【名师点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质，应明确两条平行线之间可以作无数条垂直线段．3．图中（）两条直线是互相平行的．A．①和② B．③和④ C．⑤和⑥【思路分析】根据在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；据此解答即可．【规范解答】解：根据平行的含义可知：②和③、⑤和⑥中的两条直线互相平行．故选：C．【名师点评】此题考查了平行的特征和性质，根据意义判断即可．垂线的画法【例2】过A点画已知直线的垂线．【思路分析】把三角板的一直角边靠紧已知直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点A时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外（或直线上）一点的这条直线的垂线．【规范解答】解：【名师点评】过直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线，关键是三角板的正确、熟练使用．1．分别过点A画BC的垂线．【思路分析】把三角板的一直角边靠紧线段BC，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点A时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过点A画的BC的垂线．【规范解答】解：【名师点评】过直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线，关键是三角板的正确、熟练使用．画垂线要求出垂足．2．如图中P点表示一块石头，请你画出石头垂直下落的路线．【思路分析】空中的物体下落的路线是与水平面垂直的直线所在的线段，把物体看作一点，水平面看作一条直线，即过直线外一点作已知直线的垂线．把三角板的一直角边靠紧水平面所在的直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点P时，沿这条直角边画的线段就是石块下落的路线．【规范解答】解：如图中P点表示一块石头，画出石头垂直下落的路线（图中红色虚线）．【名师点评】过直线外一点作已知直线的垂线，关键是三角板的正确、熟练使用．3．按要求画图．过点C画直线a的垂线．【思路分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可，因为直线a向右的长度不够，所以要向右延长．【规范解答】解：【名师点评】本题考查了学生垂线的作法，培养学生的作图能力．平行线的画法【例3】在方格纸上，过点A作直线l的垂线和平行线．【思路分析】方格横线互相平行，纵线互相平行，横线与纵线互相垂直．直线l与方格中的横线重合，过点A作与点A所在纵线重合的直线就与直线l垂直；过点A作与点A所在横线重合的直线就与直线l平行．【规范解答】解：在方格纸上，过点A作直线l的垂线（直线l′）和平行线（直线l″）．【名师点评】由于方格横线互相平行，纵线互相平行，横线与纵线互相垂直，在方格中画已知直线的平行线、垂线比较容易．1．中坝路和长江路平行，而且利民超市就在中坝路上．请你在图中画出中坝路．【思路分析】把利民超市看作一个点，长江路看作一条直线，过利民超市作长江路的平行线．把三角板的一边靠紧长江路的所在的直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与长江路紧靠的一边经过已知点（利民超市）时，沿这边画直线，这条直线就与长江路平行，中坝路就在这条直线上．【规范解答】解：中坝路和长江路平行，而且利民超市就在中坝路上．在图中画出中坝路（下图）．【名师点评】过已知直线外一点作已知直线的平行线，关键是三角板与直尺（或另一三角板）的配合使用．2．按要求画图．A．画一组平行线．B．以平等线间的距离为边长，在平行线间画一个正方形．【思路分析】先画出一组平行线，再在两条平行线中画出一条垂线段，然后以这条垂线段的两个端点为正方形的两个顶点，在两条平行线上分别截取和垂线段相等的两条线段，连接截取的另两个端点即可得出正方形．【规范解答】解：如图：【名师点评】解答此题应明确：所作出的正方形的边长等于这两条平行线之间的垂线段的长度．3．过直线外一点画已知直线的平行线．【思路分析】过直线外一点画已知直线的平行线的方法是：把一三角板一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，没直尺滑动三角板，当已知直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线，所画的直线就与已知直线平行．【规范解答】解：过直线外一点画已知直线的平行线：【名师点评】用三角板和直尺画过直线外一点画已知直线的平行线，是常用的方法，要掌握画法．一．选择题（共6小题）1．（2014秋•马关县校级期末）过直线上一点可以画（）直线与已知直线垂直．A．1条 B．2条 C．无数条 D．无法确定【思路分析】在同一平面内，过直线上一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此解答．【规范解答】解：过直线上一点可以作1条直线和已知直线垂直．故选：A．【名师点评】本题考查了学生：在同一平面内，过直线上一点有并且只有一条直线与已知直线垂直的知识．2．（2011秋•武城县期末）过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（）A．1条 B．2条 C．无数条【思路分析】根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条．【规范解答】解：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条．故选：A．【名师点评】此题主要考查了平行线的性质．3．（2018秋•新华区期末）数学书封面相邻的两条边（）A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相平行也可能互相垂直【思路分析】数学书的封面是长方形，根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角．所以相邻的两条边互相垂直，由此解答．【规范解答】解：数学书封面相邻的两条边互相垂直．故选：B．【名师点评】此题主要考查长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，据此解决问题．4．（2018秋•蔚县期末）下面图形中，有两组平行线的图形是（）A． B． C． D．【思路分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；据此分别分析即可．【规范解答】解：A、长方形有2组对边平行；B、四边形没有平行线；C、五边形没有平行线；D、梯形有1组平行线；所以有两组平行线的图形是长方形；故选：A．【名师点评】此题考查了平行线的含义，应灵活应用．5．（2019春•醴陵市期末）从平行四边形一条边上的一点到对边可以引（）垂线．A．1 B．3 C．无数【思路分析】因为从一条边上的一点向对边作垂线，即过直线外一点只能作一条已知直线的垂线．【规范解答】解：由分析得出：从平行四边形的一条边上的一点到对边可以引一条垂线．故选：A．【名师点评】此题主要考查过直线外一点只能作一条已知直线的垂线．6．（2013•福田区校级模拟）过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（）条．A．一条 B．两条 C．无数条【思路分析】因过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答．【规范解答】解：因过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直，所以过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条．故选：A．【名师点评】本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况．二．填空题（共6小题）7．过线段AB外的一点C，可以画1条与线段AB平行的直线．【思路分析】根据平行的性质：过直线外一点，画已知直线的平行线，只能画一条；据此解答即可．【规范解答】解：根据平行的性质可知：过线段AB外的一点C，可以画1条与线段AB平行的直线．故答案为：1．【名师点评】此题考查了平行的性质，注意基础知识的积累和运用．8．（2014秋•柘城县校级期末）过直线外一点画这条直线的垂线，只能画1条．【思路分析】根据垂线的性质可知过一点作已知直线的垂线，能作且只能作1条；【规范解答】解：由垂线的性质：过直线外一点画这条直线的垂线，能作且只能作一条；故答案为：1．【名师点评】本题主要考查了垂线的性质．9．在同一平面内，过直线外一点，能画1条已知直线的平行线，能画1条已知直线的垂线．【思路分析】根据相交的定义可知：过直线外一点可以画无数条与它相交的直线；根据平行和垂直的性质：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画一条；过直线外一点画已知直线的平行线，可以画一条，据此解答．【规范解答】解：在同一平面内，过直线外一点，能画1条已知直线的平行线，能画1条已知直线的垂线．故答案为：1、1．【名师点评】此题考查了直线的性质及平行、垂直的性质，注意基础知识的识记和理解．10．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；如果相交成直角，那么这两条直线互相垂直．【思路分析】根据平行线含义：在同一个平面内两条不相交的直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；据此解答．【规范解答】解：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；如果相交成直角，那么这两条直线互相垂直．故答案为：互相平行，互相垂直．【名师点评】此题主要考查平行线和互相垂直的含义，应注意理解和运用．11．如图各组直线中，哪组互相平行？哪组互相垂直？互相平行的是②，互相垂直的是④．【思路分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此解答．【规范解答】解：根据垂直和平行的意义可知，互相平行的是②，互相垂直的是④．故答案为：②，④．【名师点评】此题考查了垂直与平行的意义及辨识．12．（2018秋•武城县期末）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离．【思路分析】根据点到直线的距离的含义：从直线外的一点向这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离；从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短；据此解答即可．【规范解答】解：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短，它的长度就叫点到直线的距离；故答案为：垂直线段，点到直线的距离．【名师点评】此题考查了点到直线的距离的含义．三．判断题（共5小题）13．（2019秋•巨野县期末）过直线外一点画已知直线的平行线．可以画无数条．×．（判断对错）【思路分析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．据此解答．【规范解答】解：过直线外一点画已知直线的平行线，只有一条．故答案为：×．【名师点评】本题主要考查了过直线外一点与已知直线平行的唯一性．14．数学书封面的两条相邻的边是互相平行的．×（判断对错）【思路分析】根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两边互相平行，据此即可解答．【规范解答】解：由分析可知：数学书封面的两条相邻的边是互相垂直的，所以本题说法错误；故答案为：×．【名师点评】此题主要考查长方形的特征，注意平时基础知识的积累．15．将直线AB向上平移10厘米，平移后的直线和原直线互相平行．√（判断对错）【思路分析】根据“在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行”可知：将直线AB向上平移10厘米，平移后的直线和原直线互相平行；据此解答即可．【规范解答】解：将直线AB向上平移10厘米，平移后的直线和原直线互相平行，所以本题说法正确；故答案为：√．【名师点评】此题考查了平行的特征和性质，根据意义判断即可．16．画出直线AB的垂线，如图图中小丽的画法是正确的．√（判断对错）【思路分析】过直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边靠紧已知直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线．【规范解答】解：如图画出直线AB的垂线，如图图中小丽的画法是正确的原题说法正确．故答案为：√．【名师点评】过直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线，三角板的正确、熟练使用是关键．17．画已知直线的垂线，只能画1条．×．（判断对错）【思路分析】根据垂线的定义进行判断即可．【规范解答】解：平面内画已知直线的垂线，可以画无数条．故答案为：×．【名师点评】此题主要考查垂线的定义，正确把握垂线的定义是解答本题的关键．四．操作题（共2小题）18．中坝路和长江路平行，而且利民超市就在中坝路上．请你在图中画出中坝路．【思路分析】把利民超市看作一个点，长江路看作一条直线，过利民超市作长江路的平行线．把三角板的一边靠紧长江路的所在的直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与长江路紧靠的一边经过已知点（利民超市）时，沿这边画直线，这条直线就与长江路平行，中坝路就在这条直线上．【规范解答】解：中坝路和长江路平行，而且利民超市就在中坝路上．在图中画出中坝路（下图）．【名师点评】过已知直线外一点作已知直线的平行线，关键是三角板与直尺（或另一三角板）的配合使用．19．（2020•海淀区）过A点作对边的垂线和平行线．【思路分析】过A点作对边的垂线和平行线，把点A的对边看作一条直线的一部分，即过直线外一点作已知直线的垂线和平行线．过A点作对边的垂线：把三角板的一直角边靠紧点A的对边，沿这条线段滑动三角板，当另一直角边经过点A时，沿这条直角边画的直线就是过A点作对边的垂线；过A点作对边的平行线：把三角板的一边靠紧点A的对边，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与点A的对边重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过点A点作的对边的平行线．【规范解答】解：过A点作对边的垂线（红色）和平行线（绿色）．【名师点评】过直线外一点作已知直线的垂线和平行线，三角板、三角板与直尺（或另一三角板）正确、熟练使用的配合使用是关键．五．解答题（共3小题）20．木工师傅常常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度．如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行．你能说出其中的道理吗？【思路分析】根据垂直和平行的特征及性质可知：平行线间的距离处处相等；解答即可．【规范解答】解：木工师傅常常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度．如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行，因为平行线间的距离处处相等．【名师点评】明确平行线间的距离处处相等，是解答此题的关键．21．（2019秋•昌乐县期末）操作题，按要求作图．（1）请你在田字格里画一个有2组平行线的平面图形．（2）过A点画已知直线的垂线，再过B点画已知直线的垂线．画出的这两条直线有什么关系？【思路分析】（1）已学过的有两组平行线的图形有：长方形、正方形、平行边形．据此即可在田字格里画一个有2组平行线的平面图形．（2）过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另