2.1复变函数的概念、极限和连续

第二章解析函数§2.3函数可导与解析的充要条件§2.2解析函数的概念§2.1复变函数的概念、极限与连续性§2.4初等函数第二章解析函数复变函数是自变量与因变量都取复数值的函数,而解析函数是复变函数中一类具有特殊性质的可导函数,它在理论研究和实际问题中有着广泛的应用.本章首先介绍复变函数的概念、极限与连续性,然后讨论函数解析的概念和判别方法,最后把我们所熟知的初等函数推广到复数域上来,并说明它们的解析性.§2.1复变函数的概念、极限与连续性1.复变函数的概念定义2.1

设E为一复数集.若对E中的每一个复数,按照某种法则f有确定的一个或几个复数与之对应,那么称f是复变数z的函数（简称复变函数）,记作

.

若z的一个值对应着w的一个值,则称复变函数f(z)是单值的,若z的一个值对应着w的两个或两个以上的值,则称复变函数f(z)是多值的.通常也称w=f(z)为定义在E上的复变函数,其中E称为定义域,E中所有的z对应的一切w值构成的集合称为f(z)的值域,记作f(E)或G.

复数z=x+iy与w=u+iv分别对应实数对(x,y)和(u,v),对于函数w=f(z),u,v为x,y

的二元实函数u(x,y)和v(x,y),所以w=f(z)又常写成w=u(x,y)+iv(x,y),从而对复变函数f(z)的讨论可相应地转化为对两个实函数u(x,y)和v(x,y)的讨论.

考察函数w=z2+1.令z=x+iy,w=u+iv,那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,从而w=z2+1对应于两个实函数u=x2-y2+1和v=2xy.

对于复变函数w=f(z)即(u+iv=f(x+iy)),可以理解为两个复平面上的点集之间的映射.具体地说,复变函数w=f(z)给出了z平面上的点集E到w平面上的点集f(E)(或G)之间的一个对应关系：其中w称为z的像,z称为w的原像,如图2.1所示.图2.12.解仍是线段.练习：习题2P38：22.解仍是扇形域.练习：习题2P38：2解:①

当x2-y2=k时,u=k,所以将双曲线映成直线.②

当2xy

=k时,v=k,所以将双曲线映成直线.解z平面上的直线x=1对应于w平面上的曲线：设则又例2.1

函数将z平面上的直线x=1映射成w

平面上的何种曲线？即所以将z平面上的直线x=1映射成了w

平面上的一个以为中心、为半径的圆周（见图2.2）.图2.22.复变函数的极限

定义2.2

设函数w=f(z)定义在点z0的去心邻域0<|z-z0|<r内,若存在常数A,对于任意给定的

＞0,都存在一正数

(0<

r),使得当0<|z-z0|<r时,有

或.则称函数f(z)当z

z0时的极限存在,常数A为其极限值,记作图2.3若极限存在则必唯一.

定义中z

z0的方式是任意的定理2.2

(极限运算法则)若

若两个函数f(z)和g(z)在点z0处有极限,则其和、差、积、商(要求分母不为零)在点z0处的极限仍存在,并且极限值等于f(z)、g(z)在点z0处的极限值的和、差、积、商.

则练习：习题2P38：3练习：习题2P38：33.求下列极限.定理2.1

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib,则(1)设z=x+iy,则根据定理2.1,有可得又解例2.2

判断下列函数在原点处的极限是否存在,若存在,试求出极限值：(2)方法一设z=x+iy,则让z沿直线y=kx趋向于0,有显然它随k值的不同而不同,所以不存在,

从而于是可得虽然,根据定理2.1,不存在.例如当时,

;当时,所以不存在.方法二

则设让z沿不同射线趋向于0时,f(z)趋向于不同的值.3.复变函数的连续性定义2.3

若,则称函数f(z)在点z0

处连续.定理2.3

若f(z),g(z)在点z0处连续,则其和、差、积、商（要求分母不为零）在点z0处连续.(1)多项式在整个复平面上连续;如果函数f(z)在区域D

内每一点都连续,那么称函数f(z)在区域D内连续.(2)任何一个有理分式函数在复平面上除去使分母为零的点外处处连续.定理2.4

若函数h=g(z)在点z0处连续,函数

=f(h)在点h0=g(z0)处连续,则复合函数

=f(g(z))在点z0处连续.定理2.5

设函数,则f(z)在点z0处连续的充分必要条件是u(x,y),

v(x,y)均在点(x0,y0)处连续.

例2.3

讨论函数argz的连续性.解当z=0时,argz无定义,因而不连续.当z0为负实轴上的点时,即z0=x0<0,则所以argz在负实轴上不连续.若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点时,这时有

因为,所以故argz在除去原点和负实轴及虚轴的复平面上连续.当z0为正、负虚轴上的点z0=iy0(y0≠0)时,有

即argz在虚轴上也连续.因此argz在复平面上除了原点和负实轴外连续.即证明--不要求例2.3

讨论函数argz的连续性.答案：argz在复平面上除了原点和负实轴外连续.