数学自主训练：圆的标准方程圆的一般方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.下列方程中表示圆的是（）A.x2+y2—2x+2y+2=0B。x2+y2-2xy+y+1=0C。x2+2y2-2x+4y+3=0D。x2+y2+4x-6y+9=0思路解析：题中的4个选项都是二元二次方程，一个二元二次方程是否表示圆，要判断它是否同时满足以下这三个条件：（1）x2、y2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;（2)没有xy项，即B=0;（3)D2+E2—4F＞0.根据这三个条件对每一个方程进行判断.因为选项A中D2+E2—答案：D2.已知方程x2+y2-2kx+2k+3=0表示圆，则k的取值范围是(）A.(-∞,-1)B。(3，+∞)C.(—∞,-1)∪(3,+∞)D。思路解析:利用D2+E2—4F答案:C3。已知圆C的方程为f(x,y)=0，点A(x0，y0)是圆外的一点，那么方程f(x，y）—f(x0，y0）=0表示的曲线是()A。与圆C重合的圆B.过点A与圆C相交的圆C.过点A且与圆C同心的圆D。可能不是圆思路解析：此题所给出的圆的方程是一个抽象的方程,实际上，我们只学习了两种圆的方程，完全可以分别用两种方程来分析这道题.这里还基于一个结论：圆外的点的坐标代入圆的方程后，方程就变成了不等式.因为点A（x0,y0）是圆外的一点，所以f(x0,y0）＞0,由方程f（x,y)—f（x0，y0)=0，得f（x，y）=f（x0，y0)，不妨设圆C的方程f（x，y）=0为方程（x—a)2+（y-b)2-r2=0,则方程f(x，y）=f（x0，y0）即为（x—a）2+(y-b)2=r2+f（x0,y0)，此方程表示的正是过点A且与圆C同心的圆。因此,选C。答案：C4.圆(x+2)2+y2=5关于原点（0，0)对称的圆的方程为（）A.(x—2)2+y2=5B.x2+(y-2）2=5C.（x+2）2+（y+2)2=5D.x2+（y+2)2=5思路解析:求圆关于某点或直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于点或直线的对称点。求出圆心(-2,0)关于(0,0）的对称点为（2，0）.答案：A5.设P(x，y)是曲线x2+(y+4)2=4上任意一点，则的最大值为(）A.+2B.C。5D.6思路解析:此题的解题关键是要能从观察式子的特征中产生联想，即这个式子的几何意义是什么.因为式子的几何意义是点P（x，y）与点(1，1)之间的距离，又因为P(x,y)是曲线x2+（y+4）2=4上任意一点，所以的最大值即为在圆x2+（y+4）2=4上求一点,使这个点到点(1,1）的距离最大。如图2-3—(1,2)—4所示，｜CB|即为所求，而｜CB｜=｜CA|+|AB|，圆x2+（y+4）2=4的圆心坐标为A（0,—4),半径为2，即|AB｜=2，而|AC｜=,所以｜CB|=+2，即的最大值为+2。因此，选A.图2—3—（1，2)—4答案：A6。程x2+y2+x-2y+m=0表示圆时，m∈___________。思路解析：如果方程x2+y2+x—2y+m=0表示圆，则D2+E2—4F因为方程x2+y2+x—2y+m=0表示圆，所以1+4—4m＞0，解得m＜。所以m∈(—∞,).答案：(—∞，)7.直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是_______________。思路解析：直线与两坐标轴的交点是A、B，AB为圆的直径，即AB的中点为圆心，AB长的一半为圆的半径.答案:(x-2）2+（y—）2=8。已知圆M：（x+cosθ)2+(y—sinθ)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题：A.对任意实数k与θ，直线l和圆M相切B。对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切D.对任意实数k，必存在实数θ,使得直线l与圆M相切其中真命题的代号是____________。（写出所有真命题的代号)思路解析:圆心坐标为（—cosθ,sinθ）,圆的半径为1，圆心到直线的距离为d==|sin（θ+φ）｜≤1，故选B、D。答案:BD我综合我发展9。求圆心在直线y=—4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点(3,—2）的圆的方程。思路分析：已知圆心在y=-4x上，所以可设圆心为(a，-4a)，利用圆心到直线l：x+y—1=0的距离等于圆心到点（3,-2)的距离等于半径，就可以求出圆的方程。解：依题意,设圆心为（a,—4a)，则其到直线x+y—1=0的距离及其到点(3，-2）的距离都等于半径的长度。应用两点间的距离公式及点到直线的距离公式，可得圆心到点(3,-2)的距离=,圆心到直线l的距离=,即得=，对这个式子两边平方并化简得a=1.于是容易计算得到此圆的圆心为(1,—4)，半径长为22,于是得到此圆的方程为(x—1)2+(y+4）2=8。10。求过点A(-1，3)，B（4,2)，且在x轴、y轴上的四个截距之和是14的圆的方程。思路分析：本题所给的条件是过两个定点和截距三个条件,考虑到知道三点就可以求出圆的方程，所以考虑应用圆的一般式并结合根与系数的关系解决这个问题.解：设圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,①由题意可知令①中的y=0，可得x2+Dx+F=0，圆在x轴上的截距之和为—D；令①中的x=0，可得y2+Ey+F=0，圆在y轴上的截距之和为—E.结合以上的方程组可以解得D=-4，E=-10，F=16.所以我们得到此圆的方程为x2+y2-4x-10y+16=0。11.设A、B两点是圆心都在直线3x—2y+5=0上的相交两圆的两个交点，且A的坐标是（—4,5)，求点B的坐标。思路分析：解本题要充分利用平面几何的知识.注意到两圆相交，则意味着两交点关于连心线对称，即B点应为点A关于直线3x—2y+5=0的对称点。解:设B（x，y）,因AB垂直于直线l：3x—2y+5=0，且A（-4,5)，故直线AB的方程为y-5=(x+4）。解方程组得交点P（）。又由中点坐标公式得。解得x=。∴B(）.12.已知实数x、y满足方程x2+y2—4x+1=0.(1)求的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值。思路分析：方程x2+y2-4x+1=0表示圆心(2，0),半径为的圆；的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,x2+y2表示圆上一点到原点距离的平方，故可借助于平面几何知识，利用数形结合来求解.解：(1)原方程化为（x-2）2+y2=3,表示以点（2，0)为圆心，以为半径的圆。设=k,即y=kx，当直