2024-2025学年河南省“天一大联考”10月高二上学期阶段性测试（一）数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省“天一大联考”10月高二上学期阶段性测试（一）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.图中4条直线中斜率最小的是(

)

A.l1 B.l2 C.l32.已知向量a=(1,3,−2)与b=(3,x,y)平行，则x−y=(

)A.−15 B.−3 C.3 D.153.已知直线l的一个方向向量为m=(1,2,−4)，平面α的一个法向量为n=(2,3,t)，若l//α，则t=(

)A.1 B.2 C.3 D.44.将直线y=2x+1绕点(1,3)逆时针旋转π2rad后所得直线的方程为(

)A.x−2y+5=0 B.x−2y+1=0 C.x+2y−7=0 D.x+2y+1=05.已知平面α，β均以n=(−2,1,2)为法向量，平面α经过坐标原点O，平面β经过点P(3,2,−1)，则平面α与β的距离为(

)A.2 B.22 C.3 6.已知直线l与m:3x−y+c=0(c<0)平行，且l，m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1，则l在y轴上的截距为A.−1 B.0 C.1 D.47.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1A.A1P⋅A1B B.A8.如图，在正四面体O−ABC中，M为棱OC的中点，N为棱AB上靠近点A的三等分点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(

)

A.216 B.219 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若直线l:(2a−1)x+(a−3)y+1=0不经过第四象限，则实数a的可能取值为(

)A.13 B.43 C.3 10.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(3,2,−1)，B(m,1,n)，C(2,p,q)，其中m，n，p，q∈R，若四边形OABC为菱形，则(

)A.m=5 B.p=−1 C.n=±2 D.q=±311.已知点A(3,3)和B(4,−2)，P是直线l:x+y+2=0上的动点，则(

)A.存在P(1,−3)，使|PA|+|PB|最小

B.存在P(−1,−1)，使||PA|−|PB||最小

C.存在P(5,−7)，使|PA|−|PB|最大

D.存在P(12,−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量AB=(2,3,23)，BC=(x,0,23)13.已知a>0，平面内三点A(0,−a)，B(1,a2)，C(3,2a3)14.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为4，侧面积为8，动点P，Q分别在线段C1四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知空间中三点A(−2,−3,3)，B(1,0,2)，C(2,−1,5)，设向量a=AB，(Ⅰ)若(a+kb)⊥(Ⅱ)若向量c与a−b共线，且|c|=416.(本小题12分)已知直线l1的方程为(a+3)x−ay+2=0，直线l2经过点A(2,0)(Ⅰ)若l1⊥l2(Ⅱ)若当a变化时，l1总过定点C，求|AC|．17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD为等边三角形，且PB=AC，E为棱PD的中点．

(Ⅰ)证明：平面PAD⊥平面ABCD;(Ⅱ)求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．18.(本小题12分)

如图，将一块三角形的玉石ABO置于平面直角坐标系中，已知|AO|=|AB|=5，|OB|=2，点P(1,1)，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点P的直线MN进行切割．(Ⅰ)求直线MN的倾斜角α的取值范围．(Ⅱ)是否存在直线MN，使得点A关于直线MN的对称点在线段AB上?(Ⅲ)设玉石经切割后剩余部分的面积为S，求S的取值范围．19.(本小题12分)在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0,y0,z0)且以u(Ⅰ)若直线l1:x−12=y=−(z−1)与l2(Ⅱ)在三棱柱ABC−A1B1C1中，点C与坐标原点O重合，点A在平面Oxz内，平面ABC以m=(1,−1,−3)为法向量，平面(Ⅲ)若集合M={(x,y,z)||x|+|y|+|z|=2}中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．

参考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.A

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.2

13.2

14.615.解析(Ⅰ)由题意知a=(3,3,−1)，b所以a+k因为(a+kb解得k=19(Ⅱ)a−b=(2，因为c与a−b共线，所以存在λ∈R，使得所以|c可得λ=±2所以c的坐标为(43

16.解析

(Ⅰ)l1:(a+3)x−ay+2=0的斜率为a+3a，因为l1⊥l即2a2−a−3=0，解得a=(Ⅱ)将l1的方程改写为a(x−y)+3x+2=0由x−y=0,3x+2=0,解得x=y=−23，所以所以|AC|=

17.解析(Ⅰ)如图，取AD的中点O，连接PO，BO．因为△PAD是等边三角形，所以PO⊥AD．设AB=a，则AC=2a，即PB=2a，PO=又AD∩BO=O，所以PO⊥平面ABCD，因为PO⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

(Ⅱ)取BC的中点F，连接OF，由(Ⅰ)可知OP，OA，OF两两互相垂直，故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，同(Ⅰ)设AB=a，则A(a2,0,0)，B(a2,a,0)，C(−a所以PA=(a2,0,−设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)则PA⋅n=0,AB设直线CE与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=|cos<即直线CE与平面PAB所成角的正弦值为15

18.解析(Ⅰ)因为|AO|=|AB|=5，|OB|=2，所以A(1,2)，由题图可知，当直线MN过点O时倾斜角最小，此时α=π当直线MN绕点P逆时针旋转时，斜率增大，当其过点A时，倾斜角最大，此时α=π所以α的取值范围是[(Ⅱ)由已知可得直线AB的斜率为0−22−1若点A关于直线MN的对称点在线段AB上，则MN⊥AB，所以直线MN的斜率k=1由(Ⅰ)知直线MN的倾斜角α∈[π4,π2]，所以(Ⅲ)当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1，此时S=1当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x−1)+1，k∈[1,+∞).令y=0，得x=1−1k，所以点易得直线AB的方程为y=−2x+4，联立y=k(x−1)+1,y=−2x+4,解得则S=1因为k∈[1,+∞)，所以k2+2k∈[3,+∞)综上，S的取值范围是[1,

19.(Ⅰ)由题意可知l1和l2都经过点且l1的方向向量为n1=(2,1,−1)，l设平面α的法向量为u=(a,b,c)，因为l1，所以u⋅n1又点(1,0,1)在平面α内，所以平面α的方程为2x−y+3z=5．(Ⅱ)因为C(0,0,0)，平面ABC的法向量为m=(1,−1,−3)所以平面ABC的方程为x−y−3z=0．点A在平面ABC和平面ABB1A1内，又点A在平面O即点A的坐标为(3,0,1)．(Ⅲ)讨论x，y，z的符号，将方程|x|+|y|+|z|=2中的绝对值符号去掉，可以得到8个不同的方程，则多