华东师大版九年级数学上册压轴题攻略专题10比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题10比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一比例的性质之等比性质】 1【考点二利用黄金分割求线段的长】 3【考点三与黄金分割有关的证明】 5【考点四由平行判断成比例的线段】 9【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】 11【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】 14【过关检测】 17【典型例题】【考点一比例的性质之等比性质】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若，求的值．【变式训练】1．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知，则．2．（2023·湖南株洲·统考一模）已知，且，若，则．3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，求的值．【考点二利用黄金分割求线段的长】例题：（2023·全国·九年级假期作业）点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级假期作业）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（）A． B． C． D．【考点三与黄金分割有关的证明】例题：（2023·全国·九年级假期作业）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；(2)若，求的面积．（结果保留根号）【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．(1)求的长；(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则BC的长为．【考点四由平行判断成比例的线段】例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（）

A． B． C． D．2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么．【变式训练】1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是．

2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则．【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为．

【变式训练】1．（2023·四川成都·一模）如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么的值是．2．（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）如图，在中，，，与相交于点，则.【过关检测】一、单选题1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（

）

A． B．2 C． D．52．（2023·浙江·一模）如图，菱形中，点是的中点，垂直交延长线于点，若，，则菱形的边长是（

）

A． B． C．5 D．63．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．4．（2023春·山东威海·八年级统考期末）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，,若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（

）

A． B． C． D．二、填空题5．（2023·安徽安庆·统考二模）如图，在中，平分，交于点，若，，则为．

6．（2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测）如图，在平行四边形中，连接，的平分线交于点，交于点，交的延长线于．若，，则为．7．（2023·陕西渭南·统考一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雕像，则该雕像的下部高度应设计为．（结果保留根号）8．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为．

三、解答题9．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，点D在线段上，，，，，求的长．

10．（2023·江苏·九年级专题练习）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．11．（2023·山西太原·山西大附中校考二模）已知是等边三角形，D是直线上的一点．(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边，上，且，与交于点，求证：；(2)点G，H分别在边，上，与交于点，且．①尝试运用：如图2，点D在边上，且，求的值；②类比拓展：如图3，点D在的延长线上，且，直接写出的值．12．（2023·浙江绍兴·统考三模）小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图，在中，的平分线交于点，发现．小明想通过证明来验证这个结论．

证明：延长至，使得，请你完成上述证明过程：结论应用：已知在中，，，边上有一动点，连接，点关于的对称点为点，连接交于点．(1)如图2，当，，求的值．(2)如图3，当，与的边垂直时，求的值．

13．（2022春·江苏·九年级专题练习）（1）数学活动一宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．若，请证明矩形BNMC是黄金矩形．（2）数学活动二如图⑤，点C在线段AB上，且满足，即，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．

专题10比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一比例的性质之等比性质】 1【考点二利用黄金分割求线段的长】 3【考点三与黄金分割有关的证明】 5【考点四由平行判断成比例的线段】 9【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】 11【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】 14【过关检测】 17【典型例题】【考点一比例的性质之等比性质】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若，求的值．【答案】6或【分析】分两种情况：当时，当时，分别求出m的值即可．【详解】解：当时，根据比例的等比性可得：；当时，可得，∴．【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．【变式训练】1．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知，则．【答案】【分析】根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解．【详解】解：设，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．（2023·湖南株洲·统考一模）已知，且，若，则．【答案】5【分析】根据已知条件求出，根据得出，再求出答案即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，等式两边都除以2，得，故答案为：5【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，求的值．【答案】8或【分析】观察与发现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出的值解出，因此设通过变换化为那么可能是或对这两种情况分别讨论；【详解】设则即所以或当时，则同理所以当时，所以故答案为8或-1【点睛】做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系【考点二利用黄金分割求线段的长】例题：（2023·全国·九年级假期作业）点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，分别进行计算即可．【详解】解：点P是长度为10的线段上的黄金分割点，∴较长的线段的长度为，则较短的线段的长度为：；故选C．【点睛】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的是本题的关键．【变式训练】1．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入数据即可得出的长，进而求出的长度．【详解】解：是线段上的一点，且满足，为线段的黄金分割点，且是较长线段，，．故选A．【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．2．（2023·全国·九年级假期作业）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，．【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，令，设，则，则由，代值得，解得，，，点分别是线段的黄金分割点，，，，，，，将，代入求解即可得到，，，故选：A．【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键．【考点三与黄金分割有关的证明】例题：（2023·全国·九年级假期作业）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；(2)若，求的面积．（结果保留根号）【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点；（2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积．【详解】（1）证明：∵，，又∵，∴，∴D是的黄金分割点；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．(1)求的长；(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？【答案】(1)的长为，的长为；(2)点M是的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又，，则；（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【详解】（1）在中，，由勾股定理知∶，∴，；故的长为，的长为；（2）点M是AD的黄金分割点．∵，∴点M是的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段的长，然后求得线段和之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则BC的长为．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论；（2）若BD＝1，则，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC．【详解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴设则，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则，由（1）知，∴，∴，∴．【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．【考点四由平行判断成比例的线段】例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A．由，得，故A选项错误；B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；C．由，得，故C选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正确，不符合题意；B．∵，∴，∵，∴，故B正确，不符合题意；C．∵，∴，故C正确，不符合题意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】解：，，，，；∴选项A、C、D正确，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么．【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：，，，，，，，，．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是．

【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则．【答案】//【分析】设、交于点，结合可得；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知，可得，即可获得答案．【详解】解：如下图，设、交于点，∵，平分线段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为．

【答案】【分析】过点作于点,由平行线分线段成比例定理得，求得，再结合中点进一步可得，从而得到答案．【详解】解：如图，过点作于点；则；而，，；为边的中点，，，故答案为：．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式训练】1．（2023·四川成都·一模）如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么的值是．【答案】/【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值．【详解】解：如图所示，过作，交于，则，即：，，，即：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）如图，在中，，，与相交于点，则.【答案】【分析】先过E作，交于G，再作交于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可．【详解】解：作交于，作交于，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．【过关检测】一、单选题1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（

）

A． B．2 C． D．5【答案】D【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解．【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，

，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，，，解得，故选：D．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键．2．（2023·浙江·一模）如图，菱形中，点是的中点，垂直交延长线于点，若，，则菱形的边长是（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】过C作延长线于M，根据，设，由菱形的性质表示出，由平行线分线段成比例表示出，根据勾股定理列方程计算即可．【详解】解：过C作延长线于M，

∵，∴设，∴，∵点E是边的中点，∴，∵菱形，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．3．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到计算即可.【详解】过点D作交于H,

则，，∵,∴,故选:.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.4．（2023春·山东威海·八年级统考期末）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，,若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于，如图，根据等腰三角形的性质得到，则根据勾股定理可计算出，接着根据线段的“黄金分割”点的定义求得，然后根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作于，如图：

∵，∴，在中，，∵，是边的两个“黄金分割”点，∴，故，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，求出和的长是解题的关键．二、填空题5．（2023·安徽安庆·统考二模）如图，在中，平分，交于点，若，，则为．

【答案】【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到，再根据平行线分线段成比例得到即可解答．【详解】解：∵平分，∴，∵交于点，∴，∴，∵交于点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．6．（2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测）如图，在平行四边形中，连接，的平分线交于点，交于点，交的延长线于．若，，则为．【答案】【分析】可求，设，，从而可求，，即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，设，，，，，，，，，，，．故答案：．【点睛】本题考查了平行四边行的性质，平行线分线段成比例定理，用辅助未知数解决问题，掌握性质，会用辅助未知数是解题的关键．7．（2023·陕西渭南·统考一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雕像，则该雕像的下部高度应设计为．（结果保留根号）【答案】【分析】雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即），，设，根据比例即可求解．【详解】解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，∴设，则，∴，解分式方程得，（舍去）或，检验，当时，原分式方程有意义，∴，即，∴，∴该雕像的下部设计高度为，故答案为：．【点睛】本题主要考查比例，解比例方程，理解题意，掌握比例的性质，解比例方程是解题的关键．8．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为．

【答案】【分析】作交于点，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．【详解】解：作交于点，

，．是的中点，，，．，．平分，．，在与中，，，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．三、解答题9．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，点D在线段上，，，，，求的长．

【答案】3【分析】过点作交于点．由平行线的性质可得，进而可得，由等边对等角的性质可得，由平行线等分线段定理可得，再结合可得，最后将代入即可解答．【详解】证明：过点作交于点．

，；又，，

，

．，

．又，

．．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．10．（2023·江苏·九年级专题练习）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）设，将x、y、z都用k表示，再将其代入即可解答；（2）根据比例得基本性质可得，，，联立相加后进行分类讨论即可．【详解】解（1）设，则，，，．（2）∵，∴，，，联立得：，∴当时，，当时，∴或．【点睛】本题主要考查了比例得基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的各个基本性质：内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质以及等比性质．11．（2023·山西太原·山西大附中校考二模）已知是等边三角形，D是直线上的一点．(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边，上，且，与交于点，求证：；(2)点G，H分别在边，上，与交于点，且．①尝试运用：如图2，点D在边上，且，求的值；②类比拓展：如图3，点D在的延长线上，且，直接写出的值．【答案】(1)见解析(2)①3；②或【分析】（1）利用证明，再由等量代换证明；（2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，则，再由平行线的性质可得，即设，，则，由，可得，，从而得到等式，求出，即可求；②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，则，可得，设，，则，可知，再由，分别得到，，从而得到方程，求出或，即可求或．【详解】（1）解：证明：是等边三角形，，，，，，；（2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，，，，，，，，设，，则，，，即，，，，，解得或（舍），；②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，，，设，，则，，，，，，，，解得或，或．【点睛】本题考查了等边三角