2024年高考数学高分秘籍三角函数与解三角形含解析

PAGE三角函数与解三角形1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上，则A． B．C． D．【答案】A【解析】在角终边上取一点，所以，所以.所以选A.三角函数定义：设是一个随意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上随意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．（1）利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上随意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时留意在终边上任取一点有两种状况(点所在象限不同)．（2）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，依据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．2．已知，并且是其次象限的角，那么的值等于A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，并且是其次象限的角，，∴，则.故选D．【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式，诱导公式的应用，娴熟驾驭基本关系及诱导公式是解题的关键，诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.由题设条件可得，再依据同角三角函数关系式可得，然后依据诱导公式即可得解.3．已知sin（π4+α）=35，则sin（3π A．45 B．-45 C．35【答案】C【解析】：∵已知sin（π4+α）=35，则sin（3π4-α）=sin[π﹣（π4+α）]故选：C．【名师点睛】该题考查的是利用和角公式并借助于三角函数值求角的大小的问题，在解题的过程中，须要利用整体思维将角进行配凑求值1．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：，可以实现角的正弦、余弦的互化；商的关系：，可以实现角的弦切互化．（2）的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.2．诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α（k∈Z）π+α−απ−α−α+α正弦sinα−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cosα−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tanαtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名变更，符号看象限应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确推断．求随意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，详细步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．3．三角恒等变换（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式①②③（2）二倍角公式①②③1．已知曲线C1 A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移π3，得到曲线C B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C C．把C1向右平移π3，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线 D．把C1向右平移π6，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线【答案】B【解析】：依据曲线C1：y=sinx，C2：把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（12x再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C2：y=sin（12x﹣故选：B．函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数y=sinx，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.如下图：（2）留意平移前后两个函数的名称是否一样，若不一样，应用诱导公式化为同名函数再平移.2．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为π2，若角φ的终边经过点(3，3 A．32 B． C．2 D．2【答案】A【解析】：由题意相邻对称轴的距离为π2，可得周期T=π，那么ω=2角φ的终边经过点(3，3)，在第一象限．即tanφ=33故得f（x）=sin（2x+π6则f(π4)=sin（π2+π6）故选：A．3．已知函数.（1）求函数图象的对称轴方程；（2）将函数图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.【解析】（1）.令，解得,.∴函数图象的对称轴方程为,.（2）易知.∵，∴，∴，∴，即当时，函数的值域为.【名师点睛】对三角函数的考查是近几年高考考查的一大热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题时，对两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式肯定要娴熟驾驭并敏捷应用，特殊是二倍角公式的各种变更形式要熟记于心.在探讨三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.对于本题，（1）利用二倍角的正弦公式、诱导公式以及两角差的正弦公式将函数化为，利用，可解得函数图象的对称轴方程；（2）将函数图象向右平移个单位长度，可得的函数解析式，再利用正弦函数的性质结合正弦函数的图象可得函数的值域.（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．（5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=22，且C=π A．3+1 B． C．4 D．2【答案】A【解析】：由正弦定理bsinB又c＞b，且B∈（0，π），所以B=π所以A=7π所以S=1故选：A．【名师点睛】解三角形问题，主要是确定选用什么公式：正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，一般可依据已知条件和要求的问题确定.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣b）•cosC=c•cosB．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的面积为3，求该三角形的周长．【解析】：（1）在△ABC中，由正弦定理知asinA=bsinB=c又因为（2a﹣b）•cosC=c•cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA；∵0＜A＜π，∴sinA＞0；∴cosC=12又0＜C＜π，∴C=π3（2）∵S△ABC=12absinC=34ab=∴ab=4又c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=4，∴（a+b）2=16，∴a+b=4；∴周长为6【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，留意对正弦定理和余弦定理的正确运用，建立关于边或角所满意的关系，在求角的时候，必需将角的范围写上.1．正弦定理：.常见变形：（1）（2）（3）（4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.2．余弦定理：常见变形：.3．三角形的面积公式：.4．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）依据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，假如式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中留意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．6．已知函数f(x)=3（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)=12，a=3，sinB=2sinC【解析】：（1）f(x)=32sinx-由π2+2kπ≤x-π6≤解得2π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ∴函数f（x）的单调递减区间为[2π3+2kπ，5π（2）∵f(A)=sin(A-π6)=12，A∈（0，∵sinB=2sinC，∴由正弦定理bsinB=c又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，a=3得3=4c解得c=1．三角恒等变换与三角函数的图象及性质、解三角形、向量相结合的综合问题比较常见，首先利用向量的坐标运算将其转化为三角函数问题，再利用三角恒等变换及协助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式，然后利用其性质进行解题，涉及的解三角形问题常需利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以依据此关系把未知量削减，再用三角恒等变换化简求解.1．在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin2π3，cos2π3A2．已知α为其次象限的角，且tanα=﹣34，则sinα+cosα= A．﹣75 B．﹣ C．﹣15 D．3．已知tanα=3，则sin2α1+cos2α A．﹣3 B．- C．134．设函数的图象关于原点对称，则的值为A． B．C． D．5．已知cos（π4-θ2）= A．79 B．19C．﹣19 D6．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度7.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0＜ω＜12，|φ A．函数f（x）的最小正周期为π B．函数f（x）的图象关于点(7 C．函数f（x）在区间(π D．由y=2cos2x的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f（8．函数fx=Acos(ωx+φ)(ω>0,-πA．图象关于点成中心对称B．图象关于直线对称C．图象可由的图象向左平移个单位长度得到D．在区间上单调递减9．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f（x1）=2，f（x2）=0，若|x则f（x）的单调递增区间为（） A．[-16+2k，56+2k]，k∈Z B．[-56+2k，16+ C．[-56+2kπ，16+2kπ]，k∈Z D．[16+2k，76+2k10．将函数f（x）=23cos2x﹣2sinxcosx﹣3的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（） A．2π3 B．π3C．π2 11．若将函数y=sin2x+3cos2x的图象向左平移 A．x=kπ2-π C．x=kπ2(k∈Z) 12．已知sinα-cosα=43，则co A．19 B．29C．49 13．已知cos（π﹣α）=13，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，π）），则 A． 42+59B．42-514．设α∈(0，π2)，β∈(0 A．2α﹣β=π4 B．2α+β=π4C．α﹣β=π4 D．α15.已知△ABC满意AB→2= A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形16.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBb+cosCc=sinA3 A．3 B．23 C．32 D．17.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若(a-b)(sinA+sinB)=c(sinC+3 A．π6 B．π3C．2π18.在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，则△ABC肯定是（） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形19.若△ABC的角A，B，C对边分别为a、b、c，且a=1，∠B=45°，S△ABC=2，则b=（） A．5 B．25C．41 D．520.在△ABC中，已知a=14，b=16，A=45°，则此三角形（） A．无解 B．只有一解C．有两解 D．解的个数不确定21．ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中b=c，若=(a2,2b2)，=(1,sinA-1)，，则22．在ΔABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，ΔABC的面积S满意43S=b2+c23．在△ABC中，a：b：c=4：5：6，则tanA=．24.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R上的部分图象如图所示，则f（2024）的值为．25.将函数y=5sin（2x+π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则φ26．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的图象经过点（π2，1），a（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若当x∈[0，π2]时，不等式f（x）≥m恒成立，求实数m27．已知函数f（x）=22sinxcos（x+π4（Ⅰ）若在△ABC中，BC=2，AB=2，求使f（A﹣π4）=0的角B（Ⅱ）求f（x）在区间[π2，17π2428．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣b）•cosC=c•cosB．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的面积为3，求该三角形的周长．29.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB+3（1）求A；（2）若a=3，求△ABC面积S的最大值．30．已知A，B，C为锐角的三个内角，向量=(2-2sinA,cosA+sinA)，（1）求A的大小；（2）求y=2sin2B+cos31．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值.32．已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称.（1）求的单调递减区间；（2）在中，角的对边分别为，若，且，，求外接圆的面积.1.【答案】C【解答】：∵可得∴故选：2.【答案】C【解答】：tanα=sinαcosα=﹣34，①，sin2α+cos2α=1，又α为其次象限的角，∴sinα＞0，cosα＜0，联立①②，解得sinα=35，则sinα+cosα=-1故选：C．3.【答案】D【解答】：∵tanα=3，则sin2α1+cos2α=2sinαcosα故选：D．4．【答案】D【解析】因为，又函数的图象关于原点对称，所以，即，因为，所以.故选D.5.【答案】C【解答】：∵cos（π4-θ2）=23，∴cos（π2﹣θ）=2cos即sinθ=﹣19故选：C．6．【答案】B【解析】，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.故选B．7.【答案】D【解答】：函数f(x)=2sin(ω∵f(0)=-3，即2sinφ=∵-π2∴φ=-又∵函数f（x）的图象关于直线x=-∴-ω×π12-π3可得ω=12k﹣10，∵0＜ω＜12．∴ω=2．∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x﹣π3最小正周期T=2π2=当x=7π9时，可得y≠0，∴令﹣π2≤2x﹣π3≤π函数y=2cos2x的图象向右平移5π12个单位，可得2cos2（x﹣5π12）=2cos（2x﹣5π6）=2sin（2x﹣5π6+故选：D．8．【答案】D【解析】由图象可知故，又过点，所以，且，所以，因此函数为，，明显当时，，所以函数是减函数.故选D．9.【答案】B【解答】：由f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为12可知：T4=12，∴T=2⇒ω=π，又f(12)=1，则φ=±π3+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴φ=π3，f（x）故可求得f（x）的单调递增区间为：[﹣56+2k，16+2k]，k∈故选：B．10.【答案】D【解答】：将函数f（x）=23cos2x﹣2sinxcosx﹣3=3cos2x﹣sin2x=2cos（2x+π6）的图象向左平移t（t＞0）个单位，可得y=2cos（2x+2t+π由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t+π6=kπ+π2，k∈Z，则t的最小为故选：D．11.【答案】A【解答】：将函数y=sin2x+3cos2x=2sin（2x+π3）的图象向左平移π6个单位长度，可得y=2sin（2x+π3+π3）令2x+2π3=kπ+π2，可得x=kπ2﹣π12，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=kπ2﹣π故选：A．12.【答案】A【解答】：由sinα-cosα=43，得sin2α-2sinαcosα+co∴cos2(π4故选：A．13.【答案】B【解答】：由cos（π﹣α）=13，sin(π2+β)=23，得cosα=∵α，β∈（0，π），∴sinα=223，sinβ=∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=22故选：B．14.【答案】C【解答】：tanα=1+sin2β因为α∈(0，π2)，β+π4∈（π故选：C．15.【答案】C【解答】：∵△ABC中，AB→∴AB=AB→（AC→﹣BC→）+CA→•CB→=AB→即AB→2=AB→2+CA→•CB∴CA→⊥CB→即CA⊥CB，可得△故选：C．16.【答案】A【解答】：∵cosBb+cosCc=∴ccosB+bcosC=a3cbc=∴由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=bsinA3，可得：sinA=bsinA∵A为锐角，sinA≠0，解得：b=3．故选：A．17.【答案】D【解答】：∵(a-∴（a﹣b）（a+b）=c（c+3b），∴a2﹣c2﹣b2=3bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2∵A是三角形内角，∴A=5π故选：D．18.【答案】C【解答】：∵直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，∴ba=cosA∴利用余弦定理可得：b×a2+c2-b22ac=a×b2+c2-a22bc，整理可得：c2（b2﹣∴解得：c2=a2+b2或b=a，而当a=b时，两直线重合，不满意题意；则△ABC是直角三角形．故选：C．19.【答案】A【解答】：S△ABC=12acsinB=12c⋅22∴b=a2+c故选：A．20.【答案】C【解答】：△ABC中，a=14，b=16，A=45°，由正弦定理得，14sin45°=16sinB，sinB=427＜1∴B可以有两个值，此三角形有两解．故选：C．21．【答案】π【解析】在ΔABC中，由余弦定理可得a因为b=c，所以a2又由，解得a2=2所以1-sinA=1-cos由0<A<π得A=π22．【答案】4【解析】由余弦定理得：cosA=由面积公式得S=1又ΔABC的面积S满意4可得tanA=33，A=再由正弦定理得asin所以外接圆面积S=π23.【解答】：△ABC中，a：b：c=4：5：6，设a=4k，b=5k，c=6k，k＞0，则cosA=b2+c2-a2∴sinA=1-cos2A=1∴tanA=sinAcosA=7故答案为：7324.【答案】2【解答】：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，3T4=11﹣2=9，解得T=12，ω=2πT又f（0）=Asinφ=1，∴sinφ=1Af（2）=Asin（π6×2+φ）=A，∴φ=π6，∴1A=sinπ6=∴f（2024）=f（168×12+2）=f（2）=A=2．故答案为：2．25.【答案】π【解答】：∵y=5sin（2x+π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜πg（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ+π4∵g（x）=2sin（2x+2φ+π4）的图象关于y轴对称，∴g（x）=2sin（2x+2φ+π∴2φ+π4=kπ+π2，k∈Z，∴φ=12kπ+π∵0＜φ＜π2，∴φ=π故答案为：π826【解答】：（1）函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的图象经过点（π2∴2sinπ2（sinπ2+cosπ2）﹣a=1，即2﹣a=1∴函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣1=2sin2x+2sinxcosx﹣1=2×1-cos2x2+sin2x﹣1=sin2x﹣=2sin（2x﹣π4令﹣π2+2kπ≤2x﹣π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得﹣π8+kπ≤x≤3π8+kπ∴f（x）的单调递增区间为[﹣π8+kπ，3π8+kπ]，k∈（2）当x∈[0，π2]时，2x﹣π4∈[﹣π4，3π4]，∴2sin（2x﹣π4）≥2×（﹣2又不等式f（x）≥m恒成立，∴实数m的取值范围是m≤﹣1．27.【解答】：（I）∵f(A-π4)=22sin(A-π4∵△ABC中，BC=2，AB=2，∴当A=π2时，△ABC为等腰直角三角形，B=π当A=π4时，由正弦定理可得2sinπ求得sinC=12，