2025届高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积教师文档教案文北师大版

PAGE其次节空间几何体的表面积与体积授课提示：对应学生用书第123页[基础梳理]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面绽开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l2.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3与球有关的切、接问题中常见的组合模型：(1)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则半径r＝|OJ|＝eq\f(a,2).②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则半径R＝|GO|＝eq\f(\r(2),2)a.③正方体的外接球：截面图为长方形ACC1A1的外接圆，则半径R′＝|A1O|＝eq\f(\r(3),2)a.(2)三条侧棱相互垂直(墙角模型)的三棱锥的外接球：①假如三棱锥的三条侧棱相互垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1­AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则R＝eq\f(\r(3),2)a.②假如三棱锥的三条侧棱相互垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)＝eq\f(l2,4)(l为长方体的体对角线长)．(3)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝eq\r(\f(2,3))a，CE＝eq\f(\r(3),3)a，则有R＋r＝eq\r(\f(2,3))a，R2－r2＝|CE|2＝eq\f(a2,3)，解得R＝eq\f(\r(6),4)a，r＝eq\f(\r(6),12)a.[四基自测]1．(基础点：几何体的表面积)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4答案：D2．(基础点：几何体的体积)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．1 B．2C．3 D．6答案：C3．(基础点：几何体的体积)中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一六国后，颁布统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器．如图是古代的一种度量工具“斗”(无盖，不计量厚度)的三视图(其主视图和左视图为等腰梯形)，则此“斗”的容积(单位：cm3)为()A．2000 B．2800C．3000 D．6000答案：B4．(易错点：球的切、接问题)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为____________．答案：14π授课提示：对应学生用书第124页考点一空间几何体的表面积[例](1)(2024·合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中主视图中的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π[解析]由三视图知，该几何体由一个正方体的eq\f(3,4)部分与一个圆柱的eq\f(1,4)部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π，故选A.[答案]A(2)(2024·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π[解析]设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故选B.[答案]B(3)(2024·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5eq\r(15).则该圆锥的侧面积为__________．[解析]因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r，则母线长l＝eq\r(2)r.在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，所以sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8).因为△SAB的面积为5eq\r(15)，即eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·eq\r(2)r·eq\r(2)r×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，所以r2＝40，故圆锥的侧面积为πrl＝eq\r(2)πr2＝40eq\r(2)π.[答案]40eq\r(2)π[破题技法]求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其绽开后求表面积(球除外)，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面绽开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积提示：(1)求组合体的表面积时，要留意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，简单和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．考点二空间几何体的体积[例](1)(干脆法)(2024·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2 B．4C．6 D．8[解析]由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S＝eq\f(（1＋2）×2,2)＝3，高h＝2，∴V＝Sh＝6.[答案]C(2)(等积法)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­[解析]三棱锥D1­EDF的体积即为三棱锥F­DD1E的体积．∵E，F分别为AA1，B1C上的点，∴在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值eq\f(1,2)，F到平面AA1D1D的距离为定值1，∴VD1­EDF＝VF­DD1E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).[答案]eq\f(1,6)(3)(分割法)(2024·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A．5000立方尺 B．5500立方尺C．6000立方尺 D．6500立方尺[解析]该楔体的直观图如图中的几何体ABCD­EF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F­GBCH与三棱柱ADE­GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE­GHF割补成高为EF，底面积为S＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝eq\f(3,2)×2＋eq\f(1,3)×2×3×1＝5(立方丈)＝5000立方尺．故选A.[答案]A(4)(补形法)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63πC．42π D．36π[解析]由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的eq\f(1,2)，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故选B.[答案]B[破题技法]1．(2024·湖南两市调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为()A.eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C.eq\f(8,3) D．4解析：如图所示，三棱锥P­ABC即为所求．则VP­ABC＝eq\f(1,3)×S△ABCh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).故选B.答案：B2．由一个长方体和两个eq\f(1,4)圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：由题意知该几何体是由一个长方体和两个eq\f(1,4)圆柱体构成，其中长方体的体积V1＝2×1×1＝2，两个eq\f(1,4)圆柱体的体积之和V2＝eq\f(1,4)×π×12×1×2＝eq\f(π,2)，∴该几何体的体积V＝V1＋V2＝2＋eq\f(π,2).答案：2＋eq\f(π,2)3．如图所示，已知多面体ABC­DEFG中，AB，AC，AD两两相互垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．解析：法一：(分割法)几何体有两对相对面相互平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH­ABC和一个斜三棱柱BEF­CHG.由题意，知V三棱柱DEH­ABC＝S△DEH·AD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2，V三棱柱BEF­CHG＝S△BEF·DE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC­DEFG＝2＋2＝4.法二：(补形法)∵几何体有两对相对面相互平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，明显所求多面体的体积即为该正方体体积的一半．又正方体的体积V正方体ABHI­DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC­DEFG＝eq\f(1,2)×8＝4.答案：4考点三与球有关的切、接问题挖掘1内切球的问题/自主练透[例1](1)如图，在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则VA．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)[解析]若球与直三棱柱的三个侧面都相切，球的半径为eq\f(6＋8－10,2)＝2，此时球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球不符合题意．若与直三棱柱的上、下底面相切，球的半径为eq\f(3,2).∴球的半径的最大值是eq\f(3,2)，此时球的体积是eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，故选B.[答案]B(2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．[解析]设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)[破题技法]与球相关的“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．若内切的是多面体，则多取多面体过球心的对角面；若内切的是旋转体，则多取其轴截面．挖掘2外接球的问题/自主练透[例2](1)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A．8π B．12πC．20π D．24π[解析]法一：将三棱锥P­ABC放入长方体中，如图①，三棱锥P­ABC的外接球就是长方体的外接球．图①因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).设外接球的半径为R，由题意可得(2R)2＝22＋22＋(2eq\r(3))2＝20，故R2＝5，则球O的表面积为4πR2＝20π，故选C.法二：利用鳖臑的特点求解，如图②，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2R＝PC＝eq\r(20)，所以球O的表面积为4πR2＝20π，故选C.图②[答案]C(2)(2024·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S­ABC的全部顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．[解析]如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R.∴VS－ABC＝VA－SBC＝eq\f(1,3)×S△SBC×AO＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×SC×OB))×AO，即9＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2R×R))×R，解得R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.[答案]36π[破题技法]与球相关的“接”的处理把一个多面体的顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．假如无需确定球心，可通过补形构造垂直模型，构造或找有三条两两垂直的线段的特别几何体，干脆用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)，求出R.对称几何体的外接球、三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球等特别几何体的外接球问题常补成长(正)方体来理解，如正四面体就是正方体内几条面对角线构成的特别棱锥．1．(2024·泉州质检)如图，在正方形网格纸上，实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸．若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于()A．8π B．18πC．24π D．8eq\r(6)π解析：设球的半径为R.多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)．两顶点之间的距离为2R，底面是边长为eq\r(2)R的正方形，则有R2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)R,2)))eq\s\up12(2)＝32，解得R2＝6，故该球的表面积S＝4πR2＝24π.选C.答案：C2．(2024·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．π B．eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)解析：绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得AC＝1，AB＝eq\f(1,2)，结合勾股定理，得底面半径r＝BC＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是V＝πr2h＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(3,4)π，故选B.答案：B考点四求表面积与体积中的数学文化问题[例](1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示(单位：cm)，则该阳马的外接球的体积为()A．100πcm3 B.eq\f(500π,3)cm3C．400πcm3 D.eq\f(4000π,3)cm3[解析]由三视图可得，在长、宽、高分别为6cm，2eq\r(7)cm，6cm的长方体中，该几何体为如图所示的四棱锥E­ABCD，设该几何体外接球的半径为Rcm，由题意有(2R)2＝(2eq\r(7))2＋62＋62，解得R＝5，则该阳马的外接球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．[答案]B(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛 B．22斛C．