2024-2025学年高中数学第3章概率3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生学案含解析新人教A版必修3

PAGE3.3几何概型3.3.学习目标核心素养1．通过详细问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义．(重点)2．会求一些简洁的几何概型的概率．(重点、难点)3．会用随机模拟的方法近似计算事务的概率．(重点)1．通过求简洁几何概型的概率，培育数学运算素养．2．借助面积、体积等问题，养成直观想象素养.1．几何概型的概念(1)几何概型的定义假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的特点①试验中全部可能出现的结果(基本领件)有无限多个．②每个基本领件出现的可能性相等．2．几何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)3．匀称随机数(1)匀称随机数的概念在随机试验中，假如可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的匀称随机数．(2)匀称随机数的产生①计算器上产生[0,1]的匀称随机数的函数是RAND函数．②Excel软件产生[0,1]区间上匀称随机数的函数为“rand()”．(3)用模拟的方法近似计算某事务概率的方法①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．②计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上匀称随机数进行模拟(留意操作步骤)．(4)[a，b]上匀称随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的匀称随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b-a)+a就可以得到[a，b]内的匀称随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的．1．下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到的数在[0,1]内的概率；②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到确定值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；④向一个边长为4cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1cm的概率．A．1 B．2C．3 D．4C[①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]上有多数个数，且每个数被取到的机会相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4cm的正方形内有多数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．]2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)B[区间[－2,3]的区间长度为5，在上面随机取一数X，使X≤1，即－2≤X≤1.其区间长度为3，所以概率为eq\f(3,5).]3.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)C[试验发生的范围是整个桌面，非阴影部分面积占桌面的eq\f(2,3)，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为eq\f(2,3).]4．如图AB是圆O的直径，OC⊥AB，假设你在图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．eq\f(1,π)[设圆的半径为R，则圆的面积为S＝πR2，阴影的面积S阴＝eq\f(1,2)·2R·R＝R2，故所求概率P＝eq\f(S阴,S)＝eq\f(R2,πR2)＝eq\f(1,π).]与长度、角度有关的几何概型[探究问题]1．几何概型与古典概型的区分是什么？[提示]几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是有限的．2．解决几何概型问题概率的关键是什么？[提示]确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一个有关．3．“P(A)＝0⇔A是不行能事务”，“P(A)＝1⇔A是必定事务”，这两种说法是否成立？[提示](1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不行能事务，则P(A)＝0确定成立；若A是必定事务，则P(A)＝1确定成立．(2)在古典概型中，若事务A的概率P(A)＝0，则A为不行能事务；若事务A的概率P(A)＝1，则A为必定事务．(3)在几何概型中，若事务A的概率P(A)＝0，则A不确定是不行能事务，如：事务A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不行能事务；同样地，若事务A的概率P(A)＝1，则A也不确定是必定事务．【例1】在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．思路点拨：本例是与哪种区域有关的几何概型问题？[解]点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度．在AB上截取AC′＝AC，当点M位于图中的线段AC′上(不包括点C′)时，AM<AC，故线段AC′即为构成事务A的区域长度．于是P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2).即AM小于AC的概率为eq\f(\r(2),2).1．(变条件)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与直线AB交于点M，求AM小于AC的概率．[解]由题意，应看成射线CM在∠ACB内是等可能分布的，在AB上截取AC′＝AC(如图)，则∠ACC′＝67.5°，故满意条件的概率为eq\f(67.5,90)＝eq\f(3,4).2．(变结论)本例条件不变．(1)若求AM不大于AC的概率，结果有无变更？(2)求AM大于AC的概率．[解](1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不变更概率的结果．(2)如图，点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB上截取AC′＝AC，当点M位于线段C′B上时，AM>AC，故线段C′B即为构成事务的区域长度．∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝eq\f(C′B,AB)＝1－eq\f(\r(2),2).求解与长度有关的几何概型的关键点在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事务A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事务A的概率.与面积、体积有关的几何概型【例2】(1)如图所示，来自古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3(2)在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.eq\f(6,π) B.eq\f(3,2)πC.eq\f(3,π) D.eq\f(2\r(3),3π)思路点拨：(1)依据几何图形特征．分别计算区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积应用面积型几何概型定义推断．(2)所求概率涉及到体积问题应用与体积有关的几何概型公式求解．(1)A(2)D[(1)法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝eq\f(1,2)bc，区域Ⅱ的面积S2＝eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2),2)－\f(1,2)bc))＝eq\f(1,8)π(c2＋b2－a2)＋eq\f(1,2)bc＝eq\f(1,2)bc，所以S1＝S2，由几何概型的学问知p1＝p2，故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2eq\r(2)，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝eq\f(π×\r(2)2,2)－2＝π－2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－(π－2)＝2.依据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝eq\f(2,π＋2)，p3＝eq\f(π－2,π＋2)，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.(2)由题意可知这是一个几何概型问题，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝eq\f(\r(3),2)，球的体积V2＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π，则此点落在正方体内部的概率P＝eq\f(V1,V2)＝eq\f(2\r(3),3π).]解与面积体积相关的几何概型问题的三个关键点1依据题意确认是否是与面积体积有关的几何概型问题；2找出或构造出随机事务对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积体积；3套用公式，从而求得随机事务的概率.eq\o([跟进训练])1．(1)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,8)(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．(1)B(2)eq\f(2,3)[(1)设质点落在以AB为直径的半圆内为事务A，则P(A)＝eq\f(阴影面积,长方形面积)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：eq\f(\f(2,3)π,2π)＝eq\f(1,3)，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]匀称随机数与随机模拟方法【例3】利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积．[解]以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的匀称随机数，a1＝RAND，b＝RAND；(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如做1000次试验，即N＝1000，模拟得到N1＝698，所以P＝eq\f(N1,N)＝eq\f(阴影面积,矩形面积)＝eq\f(698,1000)，即阴影面积S＝矩形面积×eq\f(698,1000)＝2×eq\f(698,1000)＝1.396.用随机模拟方法估计几何概型的步骤①确定须要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型须要两组；②由基本领件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事务A发生的条件确定随机数应满意的关系式；④统计事务A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率.eq\o([跟进训练])2．现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．[解](1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的匀称随机数a1，b1(共N组)；(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2(b1－0.5)；(3)数出满意不等式b<2a－eq\f(4,3)，即6a－3b>4的数组数N1.所求概率P≈eq\f(N1,N).可以发觉，试验次数越多，概率P越接近eq\f(25,144).1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事务是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．3．留意理解几何概型与古典概型的区分．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).1．推断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的基本领件有多数多个． ()(2)几何概型的概率与构成事务的区域形态无关． ()(3)随机数只能用计算器或计算机产生． ()(4)x是[0,1]上的匀称随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的匀称随机数． ()[答案]