2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.3.1离散型随机变量的均值教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值新版课程标准学业水平要求理解离散型随机变量的数字特征.1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会依据离散型随机变量的分布列求出均值.(数学抽象、数学运算)2.驾驭两点分布的均值.(数学运算)3.会利用离散型随机变量的均值解决一些实际问题.(数学建模、数学运算)必备学问·素养奠基1.离散型随机变量的均值(1)定义:一般地,假如离散型随机变量X的分布列如表所示:Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=QUOTExipi为随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).(2)意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,反映了随机变量取值的平均水平.(3)性质:假如X和Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗?提示:不相同.离散型随机变量的均值是一个常数,它不依靠于样本的抽取,而样本平均数是一个随机变量,它随样本的不同而改变.2.两点分布的数学期望假如随机变量X听从两点分布,那么E(X)=p.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.()(2)随机变量的均值相同,则两个分布也肯定相同.()(3)若X听从两点分布,则E(X)=np.()提示:(1)×.离散型随机变量的均值是一个常数,它不具有随机性.(2)×.两个随机变量的分布相同,则它们的均值肯定相同;反之不肯定成立.(3)×.若X听从两点分布,则E(X)=p.2.若随机变量X的分布列为X-101P则E(X)=()A.0 B.-1 C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.E(X)=(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=-QUOTE.3.设E(X)=10,则E(3X+5)=________.

【解析】E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.答案:35关键实力·素养形成类型一离散型随机变量的均值公式及性质【典例】已知随机变量X的分布列如表:X-2-1012Pm(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).【思维·引】(1)利用分布列的性质求解;(2)利用均值的公式求解;(3)利用均值的性质求解.【解析】(1)由随机变量分布列的性质,得QUOTE+QUOTE+QUOTE+m+QUOTE=1,解得m=QUOTE.(2)E(X)=(-2)×QUOTE+(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=-QUOTE.(3)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×QUOTE-3=-QUOTE.【类题·通】对于aX+b型的随机变量求均值的方法(1)利用均值的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;(2)先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解.【习练·破】1.(2024·浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=________;E(ξ)=________.

【解析】由题知,随机取出红球的概率为QUOTE,随机取出绿球的概率为QUOTE,随机取出黄球的概率为QUOTE,ξ的取值状况共有0,1,2,P(ξ=0)=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(ξ=1)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以E(ξ)=1×QUOTE+2×QUOTE=1.答案:QUOTE12.已知随机变量X的分布列如表:X-101Pm若ξ=aX+3,且E(ξ)=5,则a的值为________.

【解析】由随机变量分布列的性质,得QUOTE+QUOTE+m=1,解得m=QUOTE.E(X)=(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE.因为E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=QUOTEa+3=5,所以a=15.答案:15类型二简洁的随机变量的均值角度1利用均值的性质求均值【典例】(2024·海淀高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=QUOTE,k=0,1,2,则E(3ξ+5)=()A.6 B.8 C.3 D.4【思维·引】先求E(ξ),再利用均值的性质求E(3ξ+5).【解析】选B.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=QUOTE,k=0,1,2.可得E(ξ)=(0+1+2)×QUOTE=1,E(3ξ+5)=3E(ξ)+5=8.【素养·探】本例考查了均值的性质在求均值中的应用.同时考查了数学运算和数学建模的核心素养.本例中,若已知随机变量X的分布列为:X-2-11Pa试求E(2X-1).【解析】由题意可知:QUOTE+a+QUOTE=1,可得a=QUOTE,所以E(X)=-2×QUOTE+(-1)×QUOTE+1×QUOTE=-QUOTE.所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×QUOTE-1=-2.角度2求随机变量的均值【典例】已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望E(X).【思维·引】(1)先确定随机变量X的取值,再列出分布列.(2)利用分布列计算均值.【解析】(1)由题意得X取3,4,5,6,且P(X=3)=QUOTE=QUOTE,P(X=4)=QUOTE=QUOTE,P(X=5)=QUOTE=QUOTE,P(X=6)=QUOTE=QUOTE.所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=QUOTE.【类题·通】关于离散型随机变量的均值(1)假如随机变量听从两点分布,则干脆利用两点分布的均值公式计算.(2)一般地,先求出随机变量的分布列,再通过分布列计算随机变量的均值.【习练·破】盒中装有5节同牌号的五号电池,其中混有2节废电池.(1)若无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及期望;(2)若有放回地每次取一节电池检验,求检验4次取到好电池次数Y的数学期望.【解析】(1)由题意,X可取的值为1,2,3,则P(X=1)=QUOTE,P(X=2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE×QUOTE×1=QUOTE.抽取次数X的分布列为X123PE(X)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=1.5.(2)由题意,每次检验取到好电池的概率均为QUOTE,故Y～BQUOTE,则E(X)=4×QUOTE=QUOTE.类型三均值的实际应用【典例】某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如表所示:周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;(2)该基地是否应当外聘工人,请说明理由.【思维·引】(1)先列出基地收益X的分布列,再求基地收益X的均值即可;(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,求出Y的均值,与X的均值比较即可.【解析】(1)设下周一无雨的概率为p,由题意知,p2=0.36,p=0.6,基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,所以基地收益X的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16基地的预期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,所以基地的预期收益为14.4万元.(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(万元),E(Y)-E(X)=1.6-a,综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.【内化·悟】想一想,现实生活中的哪些问题可以用期望进行估计?提示:均值在实际生活中有着广泛的应用,如对体育竞赛的成果预料,消费预料,工程方案的预料,产品合格率的预料,投资收益的预料等方面,都可以通过随机变量的期望来进行估计.【类题·通】均值实际应用问题的解题策略首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的学问去分析相应各事务可能性的大小,并列出分布列,最终利用公式求出相应的数学期望,并依据期望的大小作出推断.【习练·破】甲、乙两射击运动员进行射击竞赛,射击相同的次数,已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将他们的竞赛成果画成频率分布直方图如图甲和图乙所示.(1)依据这次竞赛的成果频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙=8),以及甲击中9环以上(包括9环)的概率;(2)依据这次竞赛的成果估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解析】(1)由题图乙可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,P(X乙=10)=0.35.所以P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.同理P(X甲=7)=0.2,P(X甲=8)=0.15,P(X甲=9)=0.3,所以P(X甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.P(X甲≥9)=0.3+0.35=0.65.(2)因为E(X甲)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,E(X乙)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7,则有E(X甲)>E(X乙),所以估计甲的水平更高.【加练·固】购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.99QUOTE.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).【解析】各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10000人中出险的人数为ξ,则ξ～B(104,p).(1)记A表示事务:保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金,则QUOTE发生当且仅当ξ=0,P(A)=1-P(QUOTE)=1-P(ξ=0)=1-(1-pQUOTE,又P(A)=1-0.99QUOTE,故p=0.001.(2)该险种总收入为104支出:104ξ+5×104,盈利:η=104a-(104ξ+5×10由ξ～B(104,10-3),知E(ξ)=10,E(η)=104a-104E(ξ)-5×104=104a-105-5由E(η)≥0⇒104a-105-5×104≥0⇒a-10-5≥0⇒a≥15.故每位投保人应交纳的最低保费为15课堂检测·素养达标1.已知随机变量X的分布如表所示,则E(X)等于()X-101P0.50.2pA.0 B.-0.2 C.-1 D.-0.3【解析】选B.由题可得0.5+0.2+p=1,解得p=0.3,则由离散型随机变量的均值公式得E(X)=-1×0.5+0×0.2+0.3=-0.2.2.某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3,投中2分球的概率为0.4,投中3分球的概率为0.3,则该运动员投篮一次得分的数学期望为()A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【解析】选C.由已知得E(X)=0×0.3+2×0.4+3×0.3=1.7.3.若离散型随机变量X的分布列为()X01P则X的数学期望E(X)=()A.2 B.2或QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选C.因为分布列中概率和为1,所以QUOTE+QUOTE