人教版九年级上册数学期中考试试题有答案

人教版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知点A（a，1）与点B（-4，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．5 B．-5 C．3 D．-33．一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根4．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是A．B．C．D．5．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（）A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．26．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（）A．的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D．它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到7．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是(

)A．B．C．且D．且8．二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是（）A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④9．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结AC，现有一宽度为1，且长与y轴平行的矩形沿x轴方向平移，交直线AC于点D和E，△ODE周长的最小值为（）A．B．C．D．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．2a+b＝0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0二、填空题11．若方程的两根为，，则________．12．如图，一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为______米．13．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．15．如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B为x轴上一动点，连接AB，线段AB绕着点B按顺时针方向旋转90°至线段CB，过点C作直线l∥y轴，在直线l上有一点D位于点C下方，满足CD＝BO，则当点B从（﹣3，0）平移到（3，0）的过程中，点D的运动路径长为_____．16．如图，一段抛物线：y=-x(x-2)（0≤x≤2）记为C1,它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3，交x轴于点A2．．．．．．如此进行下去，直至得到C2018，若点P（4035，m）在第2018段抛物线上，则m的值为________．三、解答题17．解方程：（1）；（2）．18．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.19．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？20．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．21．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．22．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝．（不要求写过程）23．如图，已知二次函数的图象经过点.（1）求的值和图象的顶点坐标．（2）点在该二次函数图象上.①当时，求的值；②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.24．将一副三角尺按如图①方式拼接：含30°角的三角尺的长直角边与含45°角的三角尺的斜边恰好重合（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°；在Rt△ACD中，∠ADC＝90°∠DAC＝45°）已知AB＝2，P是AC上的一个动点．（1）当PD＝BC时，求∠PDA的度数；（2）如图②，若E是CD的中点，求△DEP周长的最小值；（3）如图③，当DP平分∠ADC时，在△ABC内存在一点Q，使得∠DQC＝∠DPC，且CQ＝，求PQ的长．25．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2,求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；②请写出一个抛物线的解析式，使它的完美三角形与y=x2+1的“完美三角形”全等；（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y=mx2+2x+n−5的“完美三角形”斜边长为n,且y=mx2+2x+n−5的最大值为−1，求m，n的值．参考答案1．B【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可.【详解】A是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；C不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；D不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；故选B【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握其定义即可快速判断出来.2．C【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得a=4，b=﹣1，a+b=3，故选C．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．3．C【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．【详解】解：∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，

∴方程无实数根．

故选C．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0方程没有实数根．4．C【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A.二次函数-b＞0，一次函数-b＜0，不符合题意，选项错误；B.二次函数-b＜0，一次函数中，-b＞0，不符合题意，选项错误；C.在一次函数和二次函数中，a＜0，b＞0，符合题意，选项正确；D.二次函数中，-a＜0，一次函数中，a＜0，不符合题意，选项错误；故答案为：C【点睛】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．5．D【分析】将化简可得，，利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，可得k＝2符合题意.【详解】解：由韦达定理，得：＝k－1，,由，得：，即，所以，,化简，得：，解得：k＝±2，因为关于x的一元二次方程有两个实数根，所以，△＝＝〉0，k＝－2不符合，所以，k＝2故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.6．C【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：二次函数，，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；故选项D的说法正确，故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．D【解析】【分析】因为关于x的一元二次方程有两个实数根，所以必须满足下列条件：二次项系数不为零且判别式△=b-4ac≥0，列出不等式求解即可确定k的取值范围．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴△=[2(k−1)]−4k⩾0且k≠0，解得且k≠0.故选D.【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握其运算公式.8．A【分析】①抛物线与x轴由两个交点，则，即，所以①正确；②由二次函数图象可知，，，，所以，故②错误；③对称轴：直线，，所以，，故③错误；④对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，则抛物线与x轴另一个交点，当时，，故④正确．【详解】解：①∵抛物线与x轴由两个交点，∴，即，所以①正确；②由二次函数图象可知，，，，∴，故②错误；③∵对称轴：直线，∴，∴，∵，，，，∴，故③错误；④∵对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，∴抛物线与x轴另一个交点，当时，，故④正确．故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．9．A【解析】【分析】作正方形AOCM，连接OM、作MN∥AC，使得MN=DE，连接ON交AC于E，此时OD+OE的值最小．【详解】解：如图，当时，解之得x1=-3,x2=1,∴A（-3，0），B（1，0），∵OA=OC=3，作正方形AOCM，连接OM、作MN∥AC，使得MN=DE，连接ON交AC于E，此时OD+OE的值最小．∵MN=DE，MN∥DE，∴四边形MNED是平行四边形，∴DM=EN，∴△ODE的周长=OD+DE+EO=DM+DE+OE=NE+OE+DE=ON+DE，∵AC⊥OM，∴MN⊥OM，∴∠NMO=90°，∵MN=DE=，OM=3，∴ON=，∴△ODE的周长的最小值为，故选A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形的性质、轴对称等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．10．B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0．故A错误；∵x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，故B正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故C错误；当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，故D错误；故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．11．1【详解】解：∵∴∴或.∵，∴∴故答案为：1．12．1.95【分析】以点B为原点建立直角坐标系，则点C为抛物线的顶点，即可设顶点式y＝a（x−0.8）2＋2.4，点A的坐标为（0，1.6），代入可得a的值，从而求得抛物线的解析式，将点D的横坐标代入，即可求点D的纵坐标就是点D距地面的高度【详解】解：如图，以点B为原点，建立直角坐标系．由题意，点A（0，1.6），点C（0.8，2.4），则设顶点式为y＝a（x−0.8）2＋2.4将点A代入得，1.6＝a（0−0.8）2＋2.4，解得a＝−1.25∴该抛物线的函数关系为y＝−1.25（x−0.8）2＋2.4∵点D的横坐标为1.4∴代入得，y＝−1.25×（1.4−0.8）2＋2.4＝1.95故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米故答案为1.95.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．13．10【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，依题意，得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．故答案为10．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．14．42．【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=BD=12cm，在Rt△ACB中，AB===13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为42．考点：旋转的性质．15．【解析】【分析】如图，当点B从（-3，0）平移到（3，0）的过程中，C从C1（0，-3）运动到C2（6，3），D从D1（0，-6）→D2（3，0）→D3（6，0）．求出D1D2==3，D2D3=3，即可解决问题．【详解】如图，当点B从（﹣3，0）平移到（3，0）的过程中，C从C1（0，﹣3）运动到C2（6，3），D从D1（0，﹣6）→D2（3，0）→D3（6，0）．D1D2＝＝3，D2D3＝3，∴点D的运动路径长为3+3，故答案为3+3．【点睛】本题考查坐标与图形的变化，旋转变换．平移变换等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹.16．-1【解析】【分析】每次变化时，开口方向变化但形状不变，则a=1，故开口向上时a=1，开口向下时a=-1；与x轴的交点在变化，可发现规律抛物线Cn与x轴交点的规律是（2n-2，0）和（2n，0），由两点式y=a(x−【详解】由抛物线C1：y=-x(x-2)，令y=0，∴-x(x-2)=0，解得x1∴与x轴的交点为O（0,0），A（2,0）.抛物线C2的开口向上，且与x轴的交点为∴A（2,0）和A1（4，0），则抛物线C2：y=（x-2）（x-4）；抛物线C3的开口向下，且与x轴的交点为∴A1（4，0）和A2（6，0），则抛物线C3：y=-（x-4）（x-6）；抛物线C4的开口向上，且与x轴的交点为∴A2（6，0）和A3（8，0），则抛物线C4：y=（x-6）（x-8）；同理：抛物线C2018的开口向上，且与x轴的交点为∴A2016（4034，0）和A2017（4036，0），则抛物线C2018：y=（x-4034）（x-4036）；当x=4035时，y=1×（-1）-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出第2018段抛物线的解析式．17．(1)，；(2)，.【分析】(1)利用公式法进行求解即可；(2)利用因式分解法求解可得答案.【详解】解：(1)，即∴a=1，b=4，c=-1，△=b2-4ac=16+4=20，∴，∴，．(2)分解因式得：可得或∴，【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．18．（1）15°；（2）证明见解析.【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．19．（1）见解析；（2）三角形的三边为4、6、6或6、6、10．【分析】（1）计算方程的判别式大于等于0即可；（2）由等腰三角形的性质有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，当b＝6或c＝6时，可知x＝2为方程的一个根，代入可求得k的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当b＝c时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于0可求得k，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长．【详解】（1）证明：∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，∴△＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：∵△ABC为等腰三角形，∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，∴三角形的三边长为4、6、6，当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，∴三角形的三边长为6、6、10，②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，∴△＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系.20．（1）y=﹣x2+2x﹣3；（2）需将抛物线向上平移4个单位【分析】（1）把点B和点C的坐标代入函数解析式解方程组即可；（2）求出原抛物线上x＝－2时，y的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．【详解】（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c得，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．点睛：本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．21．（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．【分析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．【详解】(1)、设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，

故答案为（20+2x），（40-x）；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000，，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．22．（1）①见解析；②DE=8；（2）CE=1.【分析】（1）如图1，根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠E=∠D=90°，∠1=∠2，则结合已知条件AC=BC由AAS证得：△ACE≌△CBD；②如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，则根据全等三角形的对应边相等推知：CE=BD=4，AE=CD=2，故DE=CE﹣CD=4﹣2=2．(2)过F作FM⊥BC于M，求出BM=MF，求出∠C=∠FMD，∠CED=∠MDF，证△CED≌△MDF，推出DM=CE，CD=FM=2即可．【详解】（1）证明：如图1，∵BD⊥DE，AE⊥DE，∴∠E=∠D=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠1=∠2，∴在△ACE与△CBD中，，∴△ACE≌△CBD（AAS）；②解：如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，∴CE=BD=5，AE=CD=3，∴DE=CE+CD=5+3=8．(2)过F作FM⊥BC于M，则∠FMB=∠FMD=90°，∵∠C=90∘，AC=BC，∴∠B=∠A=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴BM=MF，∵DE⊥DF，∴∠EDF=∠FMD=∠C=90°，∴∠CED+∠CDE=90∘,∠CDE+∠FDM=90°，∴∠CED=∠FDM，在△CED和△MDF中，，∴△CED≌△MDF(AAS)，∵CD=2，BD=3，∴DM=CE，CD=FM=2=BM，∴CE=DM=3−2=1，故答案为1.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及旋转的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．23．（1）；（2）①11；②.【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.【详解】（1）解：把代入，得，解得.∵，∴顶点坐标为.（2）①当m=2时，n=11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴-2＜m＜2，∴2≤n＜11.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．24．（1）∠PDA＝15°；（2）△PDE的周长的最小值为+；（3）PQ＝﹣．【分析】（1）作DM⊥AC交于M，由∠BAC=30°知BC：AC：AB=1：：2且AB=，从而得BC=，AC=3，再由AD：CD：AC=1：1：知AM=MC=DM=1.5；结合PD=BC=，求得PM=，从而知PM=PD，∠PDM=30°，继而得出答案；（2）作△ADC关于直线AC对称，D的对称点为D′，知四边形AD′CD是正方形，连接D′E，PD，此时PD+PE=D′E，知△PDE的周长最小，得出CD=CD′=，CE=DE=，D′E=，从而得出答案；（3）将△PQC绕点P逆时针旋转90°得到△PND，知△PNQ是等腰直角三角形，得∠PNQ=∠PQN=45°，据此知∠PQC=45°+90°=135°=∠PND，从而证D、N、Q三点共线得DN=CQ=，由勾股定理知QN=，根据PQ：PN：NQ=1：1：可得答案．【详解】解：（1）如图1，过点D作DM⊥AC交于M，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC：AC：AB＝1：：2，且AB＝，∴BC＝，AC＝3，在Rt△ADC中，AD：CD：AC＝1：1：，∴AM＝MC＝DM＝1.5；在Rt△PDM中，PD＝BC＝，∴PM＝，∴PM＝PD，∴∠PDM＝30°，∴∠PDA＝45°﹣30°＝15°；（2）如图2，作△ADC关于直线AC对称，D的对称点为D′，则四边形AD′CD是正方形，连接D′E，PD，此时PD+PE＝D′E，∴△PDE的周长最小，易得CD＝CD′＝，CE＝DE＝，则D′E＝，∴△PDE的周长的最小值为；（3）如图3，将△PQC绕点P逆时针旋转90°得到△PND，∵PN＝PQ，∴△PNQ是等腰直角三角形，∴∠PNQ＝∠PQN＝45°，∴∠PQC＝45°+90°＝135°＝∠PND，∴∠PND+∠PNQ＝135°+45°＝180°，∴D、N、Q三点共线，∴DN＝CQ＝，在Rt△DQC中，DQ＝，∴QN＝2﹣，在等腰直角三角形NPQ中，PQ：PN：NQ＝1：1：，∴PQ＝.【点睛】本题是三角形的综合问题，本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理解直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，以及轴对称的性质，解题的关键是掌握特殊直角三角形的有关性质、勾股定理、轴对称——最短路线问题