人教A版必修一课后作业第一章集合与函数概念113第2课时

第2课时补集及综合应用学习目标1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.知识点一全集思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去.”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？答案老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退.小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向.梳理定义如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集记法全集通常记作U知识点二补集思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}.梳理文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言类型一求补集例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于()A.{x|0<x<2} B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2} D.{x|0≤x≤2}答案C解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁UA＝{x|0<x≤2}，故选C.(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁UA，∁UB.解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁UA＝{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}.(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B).解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝________.答案{3,4,5}(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁UA＝________.答案{x|－1<x<2}(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁UA＝________.答案{(x，y)|xy≤0}类型二补集性质的应用命题角度1补集性质在集合运算中的应用例2已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.解∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.而∁UB＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁UB)＝{－3,1,3,4,6}.反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁UA就是圈内和圈外的问题，由于(∁UA)∩A＝∅，(∁UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.答案{x|0≤x≤1或x＞2}解析A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}.命题角度2补集性质在解题中的应用)例3关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围.解假设三个方程均无实根，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a2－4<0，,Δ2＝4＋4a<0，,Δ3＝4a2－8<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<a<2，,a<－1，,－\r(2)<a<\r(2).))解得－eq\r(2)<a<－1，∴当a≤－eq\r(2)或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a的取值范围为{a|a≤－eq\r(2)或a≥－1}.反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集.跟踪训练3若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围.解假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－8a>0，))解得a<eq\f(9,8)，且a≠0，则集合A中含有2个元素时，实数a的取值范围是{a|a<eq\f(9,8)且a≠0}.在全集U＝R中，集合{a|a<eq\f(9,8)且a≠0}的补集是{a|a≥eq\f(9,8)或a＝0}，所以满足题意的实数a的取值范围是{a|a≥eq\f(9,8)或a＝0}.类型三集合的综合运算例4(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)等于()A.{3} B.{4}C.{3,4} D.∅答案A解析∵∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴∁UB＝{3,4}，A中必有3，可以有1,2，一定没有4.∴A∩(∁UB)＝{3}.(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________.答案a≥2解析∵∁RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁RB)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴.跟踪训练4(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,7}，A∩(∁UB)＝{4,9}，则B等于()A.{1,2,3,6,7} B.{2,5,6,8}C.{2,4,6,9} D.{2,4,5,6,8,9}答案B解析根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB).解如图所示.∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}.A∩B＝{x|－2<x≤2}，∴(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}.1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于()A.U B.{1,3,5}C.{3,5,6} D.{2,4,6}答案C2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A.{1,3,4} B.{3,4}C.{3} D.{4}答案D3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于()A.{x|－2<x≤1} B.{x|x≤－4}C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}答案C4.设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是()A.Z∪∁UN B.N∩∁UNC.∁U(∁U∅) D.∁UQ答案A5.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁UN)＝{2,4}，则N等于()A.{1,2,3} B.{1,3,5}C.{1,4,5} D.{2,3,4}答案B1.全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究问题而异.(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.课时作业一、选择题1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为()A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}答案C解析∁UA＝{0,4}，所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}，选C.2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM等于()A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}答案C解析∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁UM＝{x|x<－2或x>2}．3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于()A．0或2 B．0C．1或2 D．2答案D解析由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))则a＝2.4．已知集合U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>4}，B＝{x|－3≤x≤3}，则(∁UA)∩B等于()A．{x|－3≤x≤4}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|－3≤x≤－2或3≤x≤4}D．{x|－2≤x≤4}答案B解析∁UA＝{x|－2≤x≤4}．由图知(∁UA)∩B＝{x|－2≤x≤3}．5．已知U为全集，集合M，N⊆U，若M∩N＝N，则()A．∁UN⊆∁UM B．M⊆∁UNC．∁UM⊆∁UN D．∁UN⊆M答案C解析由M∩N＝N知N⊆M.∴∁UM⊆∁UN.6．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于()A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}答案B解析因为A＝{x∈N|x≤－eq\r(5)或x≥eq\r(5)}，所以∁UA＝{x∈N|2≤x<eq\r(5)}，故∁UA＝{2}．7．如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(∁IA∩B)∩C B．(∁IB∪A)∩CC．(A∩B)∩(∁IC) D．(A∩∁IB)∩C答案D解析由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩∁IB)∩C.二、填空题8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝______，(∁UA)∩(∁UB)＝________.答案{x|0<x<1}{x|0<x<1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．∁UA＝{x|x>0}，∁UB＝{x|x<1}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|0<x<1}．9．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________∁UA.(填“∈”或“∉”)答案∈解析显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A，∴(－1,1)∈∁UA.10．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7)，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.答案{2,3,5,7}解析因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．11．设U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．答案a≤1解析∁UA＝{x|x≤1}，∵(∁UA)∪B＝R，∴B⊇{x|x>1}，∴a≤1.12．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案{x|x≤1或x>2}解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．13．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，则a的取值范围为________．答案a≥－eq\f(1,2)解析由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,2a<a＋3，))所以－eq\f(1,2)≤a<3.综合①②可得a≥－eq\f(1,2).三、解答题14．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁UA)＝R，B∩(∁UA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.解∵A＝{x|1≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x<1或x>2}．又B∪(∁UA)＝R，A∪(∁UA)＝R，可得A⊆B.而B∩(∁UA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．15．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，求实数m的值．解A＝{－1