苏教版高中数学（必修5）2.1数列

第1课时：§2.1数列(1)

【三维目标】:

一、知识与技能

1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项

公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；

2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项,

会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；

3.培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的

能力.

二、过程与方法

1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；

2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和

抽象概括能力.

3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；

三、情感、态度与价值观

1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可

以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习

惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点工

重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用

难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式

【学法与教学用具】：

1.学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的

几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2.教学方法：启发引导式

3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路工

一、创设情景，揭示课题

1.观察下列例子中的6列数有什么特点：

(1)传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1,2,22,23,…，263

(2)某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依

次为1,2,4,8,16,…

(3)n精确到0.01,0.001,0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14,3.141,3.1415,

3.14159,3.141592-

(4)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起,

这颗彗星出现的年份依次为1740,1823,1906,1989,…

(5)某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位

数依次为：20,22,24,26,…，38

(6)从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数:

15,5,16,16,28,32

(7)"一尺之梅,日取其半，万世不竭"如果将"一尺之趣”视为1份，那么每日剩下的

111

部分依次为1,-1ff',...

24816

这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化

后对这列数字的影响.

(组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义)

注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例

子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高

学生学习的兴趣。

二、研探新知

1.数列的概念

(1)数列的定义

按照一定次序排列的一列数称为数列.数列的一般形式可以写成q,a2,a.,...,

a,,,...,简记为｛q｝.

(2)数列的项

数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，

第2项，…，第n项，….

说明：数列的概念和记号｛q｝与集合概念和记号的区别：

①数列中的项是有序的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们

就是不同的数列；而集合中的项是无序的；

②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现；而

集合中的元素不能重复

(3)数列的一般形式：6,由，%，…，。"，…，或简记为｛七｝，其中。“是数列的第n项

(4)数列的分类：

1)根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6。是有穷数列

无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列

2)根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

(5)数列是特殊的函数

从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限

子集｛1,2,3,…，n｝)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的

通项公式就是相应函数的解析式.反过来，对于函数y=.f(x),如果/(i)(；=1,2,3,...)

有意义，那么我们可以得到一个数列/(I),/(2),/(3)/(“)...(强调有序性)

对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公

伊

式画出其对应图象，下面同学们练习画数列的图象，并总z律特点.

1J..

说明：数列的图象是一些离散的点9

8

(6)通项公式7

61

5

一般地，如果数列｛4｝的第〃项与序号〃之间的4

34"

关系可以用一个公式来表示.那么这个公式叫做这个2

11'

数列的通项公式.7?12345678-o12345678

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，

如上述数列④；图1图2

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列:1,0,1,0,1,0,…它的通项公式

可以是％二空巴’也可以是等汽

⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第％项，又是这个数列中所有各项的

一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列

便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.

2.数列的表示方法

(1)通项公式法

如果数列｛«,,｝的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这

个数列的通项公式。

如数列0,1,2,3,…的通项公式为=〃+1(“GN*)；

LU…的通项公式为4=T(nwN*)；

…的通项公式为a”=—(neN*)；

234nn

(2)图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数”为横坐标，相应的项

a“为纵坐标，即以(",a“)为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列

1,工,工,‘,…为例，做出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐

234

标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以

直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.

(3)列表法

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1(教材乙0例1)已知数列的第〃项。“为2〃一1,写出这个数列的首项、第2项和

第3项.

解：首项为q=2x1—1=1；第2项为4=2x2—1=3；第3项为q=2x3—1=5.

例2（教材属0例2）已知数列｛《,｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的

图象：

2

⑴a.—;(2)G%―2"

〃+1

解：用列表法分别给出这两个数列的前5项.

n12345

n12345

〃+123456

(-1)21111_____________1

T2481632

例3（教材舄1例3）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:

(1)1,3,7,15,31；(2)-1,1,-1,1--1

11114916

(3)(4)-一,,••

1x22x33x44x53579

(5)0,2,0,2.

(-1)"+，

解：(1)勺=2"—1.(2)%=(—1)".(3)凡.(4)a.

〃(几+1)

4=1+(-1)〃.

说明：写出数列的通项公式

(1)关键是寻找an与n的对应关系an=/（〃）；

(2)符号用（-1）"或（-1）向来调节;

(3)分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；

(4)并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的;

a+b

（5）对于形如a,b,a,b,...,的数列，其通项公式均可写成q+”一

2

四、巩固深化，反馈矫正

1.写出下列数列的通项公式:

11

.,；(2)9,99,999,9999.....(3)0.7.0.77,

1524

0.777,0.7777,...

(-1)"71

答案：（1）。“(2)a“=10”-1(3)a,=-(1-----)

〃("+2)""910"

2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前〃项分别是下列各数:

।_|_/|y,+1

(1)1,0,1,()•••；a=---------------,HeN"

n2

五、归纳整理，整体认识

1.数列及其有关概念，了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；

2.认识数列是反映自然规律的基本数学模型；了解数列是一种特殊的函数。

3.观察法求数列的通项公式（会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些

简单数列的通项公式）

4.本节学习的数学思想：归纳的思想、函数的思想、归纳猜想的思想、数形结合的思想方法

等。

六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）

八、课后记:

第2课时：§2.1数列（2）

【三维目标】；

一、知识与技能

1.要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确

递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；

2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；

3.理解数列的前〃项和与明的关系；掌握根据数列的前”项和确定数列的通项公式.

4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.

二、过程与方法

经历数列知识的感受及理解运用的过程。

三、情感、态度与价值观

通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：

重点：数列的递推公式的理解与应用；

难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系

【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.

q=2

2.提问：已知数列｛q｝满足<1,,小，能写出这个数列的前5项吗？

4=——+1(〃22)

思考：已知在数列｛q｝中。,用=。“+2,那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来?

二、研探新知

1.递推公式

(1)递推公式的概念:

知识都来源于实践，最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示

意图，寻其规律，建立数学模型.

模型一：自上而下：

第1层钢管数为4；即：1C4=1+3

第2层钢管数为5；即：2―5=2+3•••••

第3层钢管数为6；即：3c6=3+3

第4层钢管数为7；即：437=4+3

第5层钢管数为8；即：5c8=5+3

第6层钢管数为9；即：609=6+3

第7层钢管数为10；即：7cl0=7+3

若用明表示钢管数，〃表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且="+3(1

WnW7)运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会

很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)

模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多lo

即a〕=4；a2=5=4+1=61]+1；a3=6=5+1=«2+1

依此类推：an-an_x+1(2WnW7)

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

定义：如果已知数列上｝的第一项(或前几项)，以及任一项％与前面一项勺(或前

几项)之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做｛4｝的递推公式.

说明：递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89,递推公式为：

6=3，w=5,«„=。―2◎<〃48)

(2)数列的前〃项的和

数列｛a“｝中，q+。2+。3+…+。”称为数列｛/｝的前n项和，记为S”.

S]表示前1项之和:S1=%

S2表示前2项之和：S2=a｛+a2

S,i表示前n-1项之和：S._]=%+/+/+…+a.,-\

S“表示前n项之和：Sn=ai+a2+a3-\—+a„-

.•.当n2l时S“才有意义；当n-l'l即n22时S,i才有意义.

(3)S,与““之间的关系:

由S”的定义可知，当n=l时，=%；当n22时，an=S„-Sn_t,即

£(〃=D

注意验证〃=1的情况.

S„-S„_1(n>2)

证明：显然“=1时，tz,=S,当〃。1即〃22时Sn=tz,+a2H---1-an,

S“_]=a,+«2+•••+a“_|

=S“-S,T(«>2)

S"-S“_]=a

n3(〃=D

注意：(1)此法可作为常用公式；(2)当q(=S1)时满足S“—S“_i时,则

an=S=-S„_,

(4)数列的单调性：

设。是由连续的正整数构成的集合，若对于。中的每一个〃都有。“+]>%(或

a“+]<a〃)，则数列｛4｝在。内单调递增(或单调递减).

(5)两个重要的变换：

①a“=I+(%-a1)+(4+3“-。”_])；②a”—q————•…—-^―.

a\a2an-\

注意：1.求数列的通项公式与求数列的前〃项和是数列的两个最基本问题，解决问题

时必须特别仔细地计算项数，弄错一项将全题尽毁.

2.数列的单调性是探索数列的特点，特别是求数列的最大、小项的重要方法，若想用

高等方法讨论数列的单调性，不能直接对%=/(〃)求导，应先对函数y=/(x)求导，然

后再分析了(n)的单调性.

3.册与S”的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式，任何时候使用这个公

式都必须从“〃》2”开始讨论，千万不要错了一项.

4.上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换.

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

[4=1

例1设数列｛&J满足|,1,八写出这个数列的前五项。

(a“=l+——(/?>1).

解：分析：题中已给出｛4｝的第1项即%=1,递推公式:

112158

解：据题意可知：％=1,2=14=2,%=1----=—，4=1-----=—=一

%a2323'5

变题：已知数列｛q｝的首项4=2,%=—!--l(n>l),求出这个数列的第5项.(学生

口答)

例2已知数列｛a“｝中，卬=I,?=2,。“=3。”_1+23),试写出数列的前4项

解：由已知得q=1,%=2,%=3a2+6=7,%=3%+%=23

变题：若数列｛4｝中，4=1,生=4,且各项满足4+2+2%，则26是该数

列的第几项？

例3已知q=2,an+i-2an写出前5项，并猜想an.

法一：卬=2/=2x2=22%=2x2?=23,观察可得=2"

法二：由七+1=2a“an=2。“_]即乌-=2

an=q♦2"T=2"

变题：若数列｛%｝中，％=2,且各项满足%+1=2%-1,写出该数列的前四项.

例4已知数列｛%｝的前〃项和为①S,,=2/一〃；②S“=〃2+〃+1。求数列｛4｝的

通项公式。

解①当〃=1时4=S]=1当n>2时

22

an=2n—n—2(〃一I)+(〃—1)=4〃—3,经检验〃=1时-1也适合

an=4〃-3

②当〃=1时q=S[=3n>2

22

an=n+TH-1-(n-1)-(n-1)-1=In

3(H=1)

/.a—<

"\2n(〃>2)

思考题：已知数列｛%｝为3,7,11,15,试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推

公式写出它的通项公式.

例5已知数列(«„｝的前〃项和S„=2n+,-2.

(1)求数列｛4｝的通项公式；(2)设a=4+4,用，求数列低｝的通项公式.

解：(1)当〃=1时，4=&=22-2=2；

n+,nfl+1nH

当时，an=S„-Sn_,=2-2-(2-2)=2-2=2；所以%=2”.

n+ln+1

(2)因为2=%+an+l,且勺=2",an+l=2,所以々=2"+2=3・2"

说明：由数歹U｛«„｝的前〃项和S“求a”时，要注意分〃=1和〃22讨论，然后将〃=1代

入所得的通项公式，看结果是否符合〃=1的情况，不是则需要写成分段形式.

四、巩固深化，反馈矫正

L根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：

(1)/=0,%+]=%+(2n—1)(neN)；(2)a,=3,an+i=3a„—2(neN).

2a

(3)at=1,an+｝=---、(nGN)；

a„+2

2.已知数列｛可｝满足q=1,%+|=£](〃eN*),写出它的前5项，归纳其通项公式,

并验证是否满足递推公式.

3.数列｛q｝的前〃项和S“满足1g⑸+1)=〃+1,求该数列的通项公式.

4.解答下述问题：(I)数列｛a“｝中吗=—,。用-%=——,求数列｛4｝的通项公式.

24n-1

（II）在［1000,2000］内，被4除余数1且被5除余数为2的整数有多少个？说明理由.

五、归纳整理，整体认识

1.递推公式及其用法；递推公式（简单阶差、阶商法）

2.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或〃项）之间

的关系.

3.S”的定义及与%之间的关系，由数列的前"项的和S,,求数列的通项公式的过程.

六、承上启下，留下悬念

4=0,2+1=匕2,写出该数列的前四项，并归纳其通项公式，并

1,数列｛为｝中,

3—

验证是否满足递推公式.

2.数列｛4｝的前“项和S”=2〃2+〃+1（〃GN*）,求该数列的通项公式.

3.根据数列%=1,/=*_1+」一"22）的首项和递推公式，写出它的前五项

an-\

七、板书设计（略）

八、课后记：

1.重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价关注学生在数列概念与表示法的学习

中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，

写出数列的通项公式，或递推公式。

2.正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正

确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式

也是数列的一种表示方法。

2.1数列教学过程（二）

四、教学过程：

【基础知识详解】

i.举例引入

新课之前，先请大家一起来回答一个问题：世界四大文明古国分别是哪四个国家?

国际象棋这项运动起源四大古国中的哪一个呢？

国际象棋这项运动就起源于古印度.关于它的起源有这样一个传说：古印度国王要奖赏

国际象棋的发明者，问他想要什么？发明者说：“我的棋盘上有8行8歹U，共64个格子，黑

白相间，请在棋盘的第一格里放一粒麦子，第二格放2粒，第三格放4粒，第四格放8粒，

依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子，我就要棋

盘上的这点麦子就够了

国王能否满足发明者的要求我们暂且不谈，同学们能否将棋盘中各个格子里的麦粒数分

别写出来呢？

1,2,22,2\…，263①

正整数1,2,3,4,…的倒数排成一列数：

1।，1，-1，1，•・1,，，***(2)

234n

-1的1次幕，2次幕，3次累，4次塞，…排成一列数：

-b1,-1,1,-③

从1984年到2004年,我国体育健儿共参加了6届奥运会,获得的金牌数排成的一列数:

15,5,16,16,28,32④

2.数列

按一定次序排成的一列数叫做数列.

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或者首项),

第2项，第3项，…，第〃项，….数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标

表示项的位置序号.

数列的一般形式可以写成

%,。2，。3，，…

上面的数列可简记为{%}.其中，表示这个数列的第〃项，〃表示这一项在数列中的位

置序号，是数列的简记符号.

例如，把数歹U1--简记作{1}.

23nn

分析数列①，说明在数列的项an与它的序号n之间存在着函数关系

请学生观察上面的4个数列，能不能将每个数列的第〃项a“与项的序号〃之间的函数

关系用公式来表示呢？

3.数列的通项公式

如果数列｛凡｝的第〃项与〃之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这

个数列的通项公式.

%=/(〃)

其中，序号〃是自变量，项a“是函数值，是项的序号”在法则作用下而得到的，但值得

注意的是定义域的问题.

我们还是来看数列①，其通项公式为=2"T,它的定义域是什么呢？

数列①的通项公式是4=2'T(n<64)；数列②的通项公式是a“=L；数列③的通

n

项公式是4=(-!)".

于是，数列是定义在正整数集N+(或它的有限子集｛1,2,3,•…，九｝)的函数，其

值域就是项的集合.

虽然数列④的通项公式的确存在，只是用解析式不容易表示，但我们能否用函数的其他

表示方法来表示呢？

函数还有什么表示方法呢？

4.数列的图象

数列既然是函数，可以用图象直观地的表示出来，其图象是无限个或有限个孤立的点.

5.数列的分类

根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列叫有穷数列；项数无限的数列叫

无穷数列.上面的数列①②是有穷数列，数列③④是无穷数列.

在写数列时，对于有穷数列，要把末项(有穷数列的最后一项叫末项)写出，例如数列

1,3,5,7,---,2«一1表示有穷数列；如果把数列写成1,3,5,7,9,­•或

1,3,5,7,--,2«-1,­,它就表示无穷数列(无穷数列没有末项).

【典型例题解析】

例1.根据下面数列仅“｝的通项公式，写出它的前5项：

⑴%=/一;⑵4=(—1)"〃.

n+\

分析：数列的通项公式给出了第八项%与它的位置序号之间的关系，只要用序号代替

公式中的〃，就可以求出数列的相应项.

解：⑴在通项公式中依次取九=1,2,3,4,5,得到数列｛凡｝的前5项依次为

12345

-9"""~7'—>“■

23456

⑵在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5，得到数列｛七｝的前5项依次为

—1,2,—3,4,—5.

例2.根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：

(1)3,6,9,12,•••；(2)1,3,5,7,•••

,、381524

⑶4,9,16,25,…；(4)一一一；一