北师大版必修一《利用函数性质判定方程解的存在》教案

教学设计《利用函数性质判定方程解的存在》郭斌一、教学内容分析此节内容为北师大版本必修1的第四章《函数应用》第一课时4.1.1利用函数性质判定方程解的存在。函数是高中的起始课程，函数的重要性有两方面，一是函数的思想价值，二是函数应用的价值。本节内容就是函数应用价值的体现，利用函数和其他数学知识的有机联系，从函数特征判定方程解的存在性。二、学生情况分析学生已学习了函数的图像和性质，因此本节内容从学生熟悉的二次函数入手，研究学习判定方程解存在的方法。这样，从特殊到一般的学习方法，学生容易掌握理解。三、设计思想让学生感识常见的数学思想中体现出的数学乐趣，学会从特殊到一般的归纳、总结的过程。四、教学方法启发诱导五、教具多媒体课件六、教学目标让学生明确“方程的解”与“函数的零点”之间的密切关系，掌握利用函数图像性质判断方程解的存在性。通过本节学习让学生感识“数形结合”，“特殊到一般”的数学思想。本节内容的学习，进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系。七、教学重点难点重点：零点的理解；利用函数性质判定方程解的存在性。难点：数形结合思想的合理应用。八、教学过程设计导入：观察函数的图像（利用多媒体展示下图）师：引导学生观察分析此时，f(-2)>0,f(1)<0,f(4)>0.则f(-2)f(1)<0,那么方程在（-2,1)内有解。同理,f(1)f(4)<0,方程在（1,4）内有解。分析：2.讲授新知识：师：引导学生归纳零点定义一般的，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫作方程的零点。注：零点是一个实数。师（提问）：怎样判断函数有零点？归纳总结：若函数y=f(x)满足以下条件：2.讲授新知识：师：引导学生归纳零点定义一般的，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫作方程的零点。注：零点是一个实数。师（提问）：怎样判断函数有零点？归纳总结：若函数y=f(x)满足以下条件：（1）f(x1)f(x2)<0;（2）函数y=f(x)的图像在[x1,x2]上连续;则方程f(x)=0在(x1,x2)上有解.注：①满足以上两个条件则函数就有零点，两条件必须同时满足。例如：，f(-1)f(2)<0，可方程无解，因为函数图象不连续。②函数有零点则方程一定有解。学：判断函数是否有零点，方程是否有解。（讨论结果，代表发言）③此方法只能判定有解，而不能判定解的个数。④以上条件若不成立，不能说明方程无解。⑤函数图像若在此区间内单调且有零点，则方程在此区间内只有一解。（以上五个结论利用多媒体展示完成）小结：函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过x轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解。可利用函数值判定方程根的存在。③以上条件若不成立，不能判定方程无解。例如：x2=0有解，可f(-1)f(1)=(-1)2×12=1+1=2>0④只能判定有解而不能判定解的个数。⑤若函数图象在此区间内单调且有零点，则方程在此区间内有且只有一个解。（以上结论用多媒体展示推导过程）3.例题讲解：例1判定方程x3+2x+1=0在[-2,3]上是否有解。学：独立完成此题。师：板书解题过程。分析：利用上述结论。解：因为f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0f(3)=33+2×3+1=34>0则f(-2)f(3)<0又因为函数f(x)=x3+2x+1的图像在[-2,3]上连续，所以，方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解。小结：①满足两个条件则可判定有解。②一般地，若给定区间为函数定义域的子区间，则函数图像在此区间上连续。例2判断方程是否有解。学：完成方法一。师：引导学生完成方法二及方法三。方法一：经试算f(0.1)=1-<0,f(100)=2->0,且函数f(x)=的图像在[0.1,100]上连续，所以方程在（0.1,100）上有解。y方法二：画出函数f(x)=的图像如下：（画图过程利用多媒体展示）yxx从图可得：方程有两个解，即为图中交点的横坐标。方法三：题中方程可变形为则可得到两个函数y=及y=可画出两个函数图象如下：Y=Y=xyY=Y=xy01从图可得：方程在(0,1)和(1,+∞)上各有一解。小结：①函数图象与x轴交点的横坐标叫做函数的零点，即函数的零点为对应方程的解。②利用函数图像判断方程的解更加直观。③数形结合思想的应用④发散思维一题多解。4.课堂练习：（多媒体展示）①断方程x3-x=0在[-2，2]上是否有解。学：课堂内独立完成。师：讲解评价，鼓励学生一题多解，代数法，几何法。②断方程x3+x=0在（-∞，0）上是否有解。师：引导启发，类比例二。学：思考交流后完成。③用函数增长的快慢判断方程x3=2x是否有解。师：思考题，引导学生一起完成。学：回顾幂函数，指数函数增长快慢的性质。设计以上练习题的意图：继续巩固例题中讲解的判定方程解存在性的方法；一题多解，开阔思路；从函数值，函数图象两大方面方法进行练习，使学生体会数形结合的优势；代数法、何法的合理应用；感受数学知识的内在联系。5.课堂小结：（师生共同完成，并用多媒体展示）①理解零点与方程解的关系。②利用函数性质判定方程解的存在，例如，利用函数值、像等。③要求熟练掌握利用函数值判定解存在的方法。④理解数形结合思想在判定方程解存在中的应用。6.布置作业：判定下列方程在给定区间上是否有解：⑴x5+3x+1=0,x∈[-1,1];⑵,x∈[-1,1];⑶,x∈[-,].九、课堂反思本节课的内容容量偏大，虽