甘肃省酒泉市实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

酒泉市实验中学2024-2025学年第一学期期中考试试卷高二数学试卷总分150分考试时间：120分钟一、单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分；请将答案写在答题卡上.）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角.，设其倾斜角为，则，又，则，即倾斜角为，故选：D2.若表示圆的方程，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.因为方程表示一个圆，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D3.记为等差数列的前项和．若，，则（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出首项和公差，利用等差数列求和公式求出答案.由等差数列的性质得①，②，由①得，代入②得，解得，故，故.故选：C4.以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将椭圆化为标准方程求出焦点，根据离心率求出，再根据计算即可求解．椭圆化为标准方程为，焦点为，双曲线的半焦距，离心率，，，双曲线的标准方程为．故选：A．5.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的运算即可求解.由，可得，故选：B6.在数列中，若，，则（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根据递推关系可得数列的周期，从而可求的值.因为，，故，，，故为周期数列且周期为3，而，故，故选：C.7.已知两条直线和相互垂直，则（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直的斜率表示可得，解得.易知的斜率为，的斜率为，所以；解得.故选：C8.已知实数满足方程，则的最大值是（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】表示圆上的点与点的连线的斜率，数形结合可得解.方程可化为，它表示圆心，半径为1的圆，表示圆上的点与点的连线的斜率，设过圆上点与点的直线方程为，则圆心到直线的距离，可得，即最大值为，故选：B.二、多选题（本题包括3小题，每小题6分，少选得2分多选得0分，请将答案写在答题卡上.共18分）9.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】先考虑直线过原点的情况，再把直线的一般式方程转化为截距式方程，通过横纵截距相等求出实数的值.，即时，直线化为，它在两坐标轴上的截距都为，满足题意；，即时，直线化为，因为直线在两坐标轴上截距相等，所以，且，解得；综上所述，实数或.故选：AD.10.下列四个结论中正确的是（）A.命题“若，则”的逆命题为真命题B.命题“”的否定是“”C.“”的充要条件是“”D.“”是“”的必要不充分条件【答案】CD【解析】【分析】结合不等式性质即可判断A；根据含有一个量词命题的否定可判断B；根据充要条件以及必要不充分条件的判断可判断CD.对于A，命题“若，则”的逆命题为“若，则”，取，则，故逆命题为假命题，A错误；对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题“”的否定为：，B错误；对于C，若，则，反之，若，则，所以“”的充要条件是“”，C正确；对于D，若，则不一定成立，如，但，反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，正确.故选：CD11.已知曲线，下列说法正确的是（）A.若，则是圆，其半径为B.若，，则是两条直线C.若时，则是椭圆，其焦点在轴上D.若时，则是双曲线，其渐近线方程为【答案】AB【解析】【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解．对于A，，，则是圆，半径为，故A正确；对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确；对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误；对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误；故选：AB．三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分；请将答案写在答题卡上.）12.直线过点P(1，2)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________．【答案】【解析】【分析】先由直线方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程，然后化为一般式即可.因为直线的一个方向向量为(2，1)，所以直线的斜率为，因为直线过点P(1，2)，所以直线为，即，故答案为：13.正项递增等比数列，前n项的和为，若，则__．【答案】【解析】【分析】设每一项都是正数的递增的等比数列的公比为,由，联立解出，再利用通项公式与求和公式即可得出答案．设每一项都是正数的递增的等比数列的公比为，∵，联立解得，∴，解得，∴，解得，则故答案为：364．14.已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可.由题意知，，则，因为圆与圆有公共点，所以，即，解得，所以实数a取值范围是.故答案为：.四、解答题（本题包括5小题，共77分；请将解答过程及答案写在答题卡上）15.已知Sn为等差数列的前项和，且.（1）求的通项公式;（2）求Sn的最大值【答案】（1）；（2）100.【解析】【分析】（1）由等差数列的性质及求和公式先求出，进而求出公差d即可求出通项.（2）由（1）的信息，判断数列an【小问1】在等差数列an中，由，得，解得，而，因此数列an的公差，所以.【小问2】由（1）知，数列an是递减数列，由，得，因此数列an的前8项都为正，从第9项起为负，则数列an的前而，所以.16.已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得得弦长为（1）求该圆的方程；（2）求过点A的该圆的切线方程【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可；（2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解.【小问1】解：圆C的圆心到直线的距离为：，则弦长为，解得，所以圆的方程为：；【小问2】当直线的斜率不存在时，直线方程为：，则圆心到直线的距离为，复合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，则圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为：，综上：该圆的切线方程为：或17.已知圆的圆心是抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程；（2）利用点差法，找到直线斜率，进而求得直线的方程.【小问1】圆的方程可化为，故圆心的坐标为．设抛物线的方程为()，所以，所以，所以抛物线的方程为．【小问2】设，，则两式相减，得，即，所以直线的斜率．因为点是的中点，所以，所以．所以直线的方程为，即．18.已知数列是公比不为的等比数列，，且成等差数列.（1）求数列的通项；（2）若数列的前项和为，试求的最大值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，用通项代入成等差数列即可解得值，从而得数列的通项.（2）由数列的通项直接求和即可.【小问1】设的公比为，成等差数列，，又，，而，，.【小问2】，当偶数时，，当奇数时，，当且仅当时等号成立.综上所述，的最大值为1.19.已知㭻圆：（）经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.【答案