微积分下册期末试卷及答案

中南民族大学06、07微积分〔下〕试卷及参

考答案

06年A卷

阅卷

\I评±I人I

22

f(x+y^)=x-yf

i、x，那么/(无四_

p+ao-

F”/[x2e~xdx=

2、，那么J。

3、函数/a，）'）=J+孙+>2—y+l在点取得极值.

4、F(x，y)=X+(X+arctan)，)arctany,那么£(1,0)=

、以）'=（3为任意常数）为通解的微分方程是

5G+Q^\CPC2

评阅卷

二、选择题（每题3分，共15分）分人

6知J。与'EMx均收敛，

那么常数〃的取值范围是（）.

(A)P>1(B)P<1(C)1<P<2①)P>2

4尤22c

7数I°，v+y2=°在原点间断,

是因为该函数().

(A)在原点无定义

(B)在原点二重极限不存在

(C)在原点有二重极限，但无定义

(D)在原点二重极限存在，但不等于函数值

222

/(=JJ-ydxdy/二=jj\jl-x-ydxdy

8、假设•入,

Jj^\-x2-y2dxdy

2"+，3，那么以下关系式成立的是().

(A)L>'a>八(B)A

(C),I<’2<，3(D)‘2<4<，3

9、方程y-67+9y=5(x+l)?v具有特解().

(A)y=at+8(B))：=(&(+/7)/'

(C))'=(""2十bx)eyx(D)y~(ax'+bx2)e3x

00那么2、).

%

10、设T收敛,

(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定

评

分

三、计算题(每题6分，共60分)

11、求由)'="3=4/二°所围图形绕)’轴旋转的旋转体的体积.

x2+y2

lim,--------

忧打+八1

12、求二重极限

d2z

13、z=z(x,)，)由z+e二孙确定，求治协

22

ff(x+yWy22.

16、计算二重积分。，其中°是由>轴及圆周x+>=1所围成的在第一象限内

的区域.

17、解微分方程y"=y'+x.

00,,I

2曲+1-〃3_1)

18、判别级数日的敛散性.

19、将函数3-X展开成工的塞级数，并求展开式成立的区间.

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R（万

元）与电台广告费用万元）的及报纸广告费用万元）之间的关系有如下的经验公式：

R=15+141-1+32x,-8x^2-2x（2-10^2,

求最优广告策略.

一

评

分

四、证明题（每题5分，共10分）-

dzdz1

x—4-y—=-

证明:dxdy3

22、假设》与型

都收敛，那么收敛.

06年B卷

一、填空题(每题3分，共15分)|分||工|

-设/-那么八_“)=

3、设函数〃乐)')=2父+公+孙2+2.)，在点(1-1)取得极值，那么常数

a=_____

■

4、y)=X+y(x+J4+arctany)，那么/(1,0)=

5、以丁=6-十&/'(0，。2为任意常数)为通解的微分方程是

评「耳卷

二、选择题(每题3分，共15分)I分II人

»+co_x「dx

。e"”与JiXin。］均收敛，

6、

那么常数P的取值范围是().

(A)(B)P<°(C)p<i(D)°<P<1

7、对于函数/区加/一匕点(°叫).

(A)不是驻点(B)是驻点而非极值点

(C)是极大值点(D)是极小值点

人=IT。+y)2daA=ff(x+y)3da

8、°,，其中。为(x-2)-+(y-l)Wl,那么()

22

(A)l=2(B)l>2(C)7,<；2(D)；l=；2

9、方程V-5y+6y具有特解().

(A)y-ax+b(B)y=(ax+b)e2x

(C)y=(ax2+bx)e2x(口)y=(^+bx2)e2x

ecoc

10、级数”川收敛，那么级数a().

(A)条件收敛(B)绝对收敛

(C)发散(D)敛散性不定

一

评

分

三、计算题(每题6分，共60分)一

11、求丫=幺，)'=°,>=2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.

lim(xsin—+ysin—)

12、求二重极限i岑

14、用拉格朗日乘数法求〃尤，)’)=个在满足条件=l下的极值.

xexydy

—W0.

匣1二

ffyjx2+y2dxdy

16、计算二重积分%，其中。是由y轴及圆周x2+（》-1）2所围成的在第一象限

内的区域.

17、解微分方程*"+y'=°.

19、将函数展开成（'一$的零级数.

评

分

人

20、某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和60元，假设生产不单位甲产品，生产了单位乙产品

的总费用为20乂+3°丁+0.1(2/-2"+3y2)+100,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最

大利润.

评

四、证明题(每题5分，共10分)分

评

分

丽

21、设"桁出+/+一,证明

d2ud2ud2u1

dx2dy2dz2_x2+y2+z2

07年A卷

一、填空题（每题3分，共15分）人

1、设2="+尸/（”-，），且当>=O时，z=x2,那么z二,

2、计算广义积分L丁二.

3、设z=*,那么词（皿=.

4、微分方程y〃-5y+6y=工济具有形式的特解.

V=4W1=]

5、设),W占,,4,那么2与_,(—2w.,--切-

闰卷

二、选择题（每题3分，共15分）人

lim3sinix272)

6、寡一厂的值为(

(A)3(B)0(C)2（D）不存在

7、4&），％）和右（”。~。）存在是函数/。，丫）在点（孙为）可微的（）.

（A）必要非充分的条件（B）充分非必要的条件

（C）充分且必要的条件（D）即非充分又非必要的条件

8、由曲面“斤7二7和2=。及柱面/+9=1所围的体积是（）

fd加力4一户dr412do卜4-rdr

（A）Jo（B）JoJo

9、设二阶常系数非齐次线性方程y"+0''+羽=〃幻有三个特解%二'，%="二

那么其通解为().

(A)x+C，'+Ge~'

(C)彳+G(e'—e?')十。2(x—e')①)G(e'—c2t)+G(小—%)

丈(一1)""

10、无穷级数幺(P为任意实数)().

(A)收敛(B)绝对收敛

(C)发散(D)无法判断

评

三、计算题(每题6分，共60分)分

评

分

外闷

人

11、求极限斌而不

评

分

12、求由>二6与直线犬=1、x=4、y=°所围图形绕X轴旋转的旋转体的体积.

didz

13、求由炉二砂2所确定的隐函数=z（%y）的偏导数私'%.

14、求函数/a，y）=d-4M+2的极值.

15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告,根据统计资料,销售收入R（万元）

与电台广告费用%（万元）的及报纸广告费用&（万元）之间的关系有如下的经验公式：

2

R=15+14*+X-SXJX.-2X1-

322*

假设提供的广告费用为L5万元，求相应的最优广告策略.

16、计算积分，其中。是由直线y=x）'2x及"=l,x=2所闹成的闭区域.

17、连续函数/⑴满足J。/"辿=2炉且/⑴=°,求f（x）.

>〃+/-

18、求解微分方程1-y

19、求级数1的收敛区间.

£sin（2"，x）

20、判定级数白,,!是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.

评

四'证明题（每题5分，共10分）分

M

EAn+l

21、设正项级数I收敛，证明级数I也收敛.

22、设/（/一丁），其中/（〃）为可导函数，证明

-1-d-z+--1-d-z=--z-

xdxydyy2

一、填空题（每题3分，共15分）|分|尸|

is设且当x=o时，z=V,那么z=,

2、计算广义积分L?=.

3、设z=ln（l十f十的，那么上/=.

4、微分方程y—6"9y=5（/1）*具有__________形式的特解.

£3"+1

5、级数白9”的和为

评阅卷

二、选择题（每题3分，共15分）分人

r3sin，+y2）

呵-2~2

6、二。“+）'的值为（）.

(A)°(B)3(Q2(D)不存在

7、力a,）和4ay）在（%％）存在且连续是函数打在点（丽，为）可微的（）.

（A）必要非充分的条件（B）充分非必要的条件

（C）充分且必要的条件（D）即非充分又非必要的条件

8、由曲面zN"—3和z=。及柱面V十9=4所围的体积是（）.

网J。、心「4rd61：力4-/助

(B)

£2/_______

(D)J°

9、设二阶常系数非齐次微分方程）'"十〃y'十夕y=/'a）有三个特解）i=r,必=-,力

那么其通解为（）.

x2x2x2

(A)G(e-e)十C2(e-x)(B)+Ge+

2

m、x+Cc"+C262A(D)f+G(e”-e*HG。2-/)

yC-ir1

10、无穷级数g〃”（P为任意实数）（).

（A）无法判断（B）绝对收敛

（C）收敛（D）发散

评

分

三、计算题（每题6分，共60分）

2-Jxy+4

lim--------------

KTOjry

IK求极限“°

[0,—].x=一八

12、求由在区间2上，曲线丁二阶近与直线2、丁二°所围图形绕x轴旋转的旋转体的体

积.

dzdz

13、求由e'-、yz=孙所确定的隐函数z=z（xy）的偏导数R'少.

14、求函数/@，y）=/T加+8y3的极值

Ml

1；某公司需通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R（万元）

与电台广告费用苦（万元）的及报纸广告费用“2（万元）之间的关系有如下的经验公式：

/?=15+14Xj+32X2-8XjX:-2x；-lOxJ

假设提供的广告费用为L5万元，求相应的最优广告策略.

JJ(2x+y)db

16、计算二重积分D，其中。是由y

H及尸2所围成的闭区域.

17、连续函数〃劝满足J°"""2/a)+x=°,求W

18、求微分方程（i+£）y'_2v/=°的通解.

I

咧I

三（工一3厂

乙一5的收敛区间.

19、求级数”=i

£cos(n-x)

20、判定级数En1是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.

评

四、证明题（每题5分，共10分）分

证明爵也收敛.

21、设级数I收敛,

答案

一、填空题(每题3分，共15分)

.…)12

1、1+)'.2、3.3、飞'3.4、1.5、产6歹+)，=0

二、选择题(每题3分，共15分)

6、(C).7、(B).8、(A).9、(D).10、(D).

三、计算题(每题6分，共60分)

3

11、求由丁=r,x=4,y=°所围图形绕〉轴旋转的旋转体的体积.

12

解；y的反函数为工二且x=4时，J=\于是

(3分)

（6分）

V=£^（42-y3）2dy=16^（8-0）-y5dy

「3187

3-3-

=12甑一…y，=12甑——乃•（83-0）

-Jo

512

=---K

12、求二重极限尸0、人.一］

U2+r）（7^2+r+i+D

=hm--------z—-------------

回Tx+y+i-i

解：原式（盼）

=lim（Jx2+y2+1+1）=2

x->0Y

（6分）

d2z

13、2=2*,田由2+-=冲确定，求治勿

解:设Fa,y,z）=zS-*,那么

xz

Px=-yPy--F.=\+e

dz_Fv__-y_ya_G_-xx

dxFl+e:1+，SyF1十e二1十e二

zz（3分）

1zz8z

AZA/、1+e-ye'—；

dz_d（y_____________dy____1_____eq

dxdy+J（l+ez）21+E（l+ez）2

（6分）

14、用拉格朗日乘数法求z=f+丁+1在条件x+y=\下的极值.

解.z=x2+（I-x）2+1=2x2-2x+2

11

X~-X=-

令z'=4x-2=0,得2/“=4>0,2为极小值点.。分）

AL3

故z=x+）广+1在y=lr下的极小值点为2'2，极小值为2俗分）

J；d）j：evdx

15、计算’

（6分）

22

Jf（x+yWy2之

16、计算二重积分。,其中。是由》轴及圆周工+》=i所围成的在第一象限内

的区域.

“八泊加丫户〉办L

解：D=JOJO=0（6分）

17、解微分方程<=、'+、.

解：令p=y',y=p1方程化为p'=p+x,于是

p=//（|&卜“G）=d（J3dx+C]）

=，H>+W+G]=T>+1）+中（3分）

x2x

ny=jM=J[_Q+1）+c{e]dx=-^（x+1）+Qe+C2

（6分）

（J?3+1—J-—1）

18、判别级数皿的敛散性.

J/+1--1=------2

解：J/+1+J/.1（3分）

..J/+1一介-11

hm---------------------=hm-------：——「—=1

…_L+

因为〃6（6分）

1

19、将函数口展开成x的皋级数，并求展开式成立的区间.

（3分）

（6分）

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R（万

元）与电台广告费用百（万元）的及报纸广告费用占（万元）之间的关系有如下的经验公式：

R=15+14X）+32勺--10年，

求最优广告策略.

解：公司利润为L三Rf_泡=15+13*+3区一瓯电一年一10*

4=13-8%2—4%=0,

4.V1+8x2=13,

令［4=31-M-20^2=0,即风+20修=31,

—.）=］』）=（0,7”25）

得驻点44，而（3分）

A=L；=-4<0B=L：=-8C=L；、=一20

Aj.V|,.l|A>，.17，

D=AC-B2=80-64>0,

所以最优广告策略为：

电台广告费用0・75（万元），报纸广告费用L25（万元）.（6分）

四、证明题（每题5分，共10分）

113z,齿_1

2］、设z=ln（/+y3）,证明：工私）办3

dz_援％dz_:产

证：炉十俨5炉十）3

（3分）

&dz打*1y-%

oxdy彳彳3+y彳3炉i+,i3

（6分）

00B

ST名⑸十了

22、假设lgx与-«都收敛,那么e收敛,

证：由于°"（"〃+"J="；+<+为产“工2叱+T）,

（粉）

都收敛那么胃2"*'

2>；2片

并由题设知启与日收敛,

1（%+匕）2

从而"T收敛。（6分）

8800

、假设??"'与都收敛，那么自"也收敛.

07（A）卷参考答案

（可能会有错误大家一定要自己核对）

一、填空题（每题3分，共15分）

1、i§z=x+y+/（x—y）,且当y=0时，z=x\那么z=____________。

^x2-2xy+2y+y2j

2、计算广义积分'Y=0（2）

3、设z=*,那么闻（用）=。（《@+办））

4、微分方程V-5y+6y=x庐具有形式的特解.（（加+版）户”）

%〃=4£（；"〃$）=

5、设,那么2）o（1）

二、选择题（每题3分，共15分）

..3sin（x2+/）

一1+2-

1、1°y的值为（A）

A.3B.OC.2D.不存在

2、工（/，%）和刀（/，丫。）存在是函数/（儿》）在点位。，%）可微的（A）。

A.必要非充分的条件；B,充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。

/~1227•7

3、由曲面z=[4-厂—y和z=0及柱面厂+y=1所围的体积是（D）。

广呵力4-六”4「阿、4-r”

AJoJoBJoJo

CJfo^d^Jof'TWdr

4、设二阶常系数非齐次线性方程y〃+py+/=〃力有三个特解力二匕y、=e

那么其通解为（C）o

A,尢+Gc"；B,G%+c?8+Ge”；

x

Cx+C]（€—）+C2（x-,dG（e"—02，）+《2（£”—x）

£（T尸

5、无穷级数〃=in，t（°为任意实数）（D）

A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断

三、计算题（每题6分，共60分）

1、求以下极限；；3如+1。

..xy..孙（而7T+1）

hm.—=hm"-------

解：（町+I）T…（3分）

=limQ.+l+1）=1+1=2

）T6

…（6分）

2、求由，之五与直线"=1、1=4、）'二°所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。

解/=柏"）％

…（4分）

=7.5万…（6分）

5zdz

3、求由i=工尸所确定的隐函数z=z^y>的偏导数小‘行。

解：方程两边对X求导得：

.dzdzyzz

dx小，有&e'~xyMz-l）…（3分）

方程两边对）'求导得：

.dzdzdzxzz

e"——=xz+xy——=------=-------

Sy⑪有力e’一盯y（z-\）…[6分）

4、求函数/（"）"-底+29-九勺极值。

解：f（x,y）=x3-4x2^2xy-y\那么

/（x,y）=3/_以+2yfjx,y）=2x-2y

r9，

f、x,y）=6%-84（X，y）=2%（x，y）=-2,

,f

3x2-8x+2y=0,

4

求驻点，解方程组⑵-2y=0,得（0,0）和（2,2）…〔2分）

对（0。有人（0,0）=-8<0,&（0,0）=2,4（0,0）=-2>

于是82-AC=T2<0,所以（°，°）是因数的极大值点，且〃0,0）=°…（4分）

对（2⑵有几（2,2）=4,&（2,2）=2,4（2,2）=-2,

于是序-4。=12>0,（2,2）不是函数的极值点。…16分）

5、某公司可通过电台及报纸两种方式做俏售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R（万元）与电台广告费

用百（万元）的及报纸广告费用W（万元）之间的关系有如下的经验公式：

/?=15+14%+32占-823；-10三假设提供的广告费用为1.5万元求相应的最优广告策略.

解:显然此题要求:在条件夕%）=%+%・L5=°下,求R的最大值.

令/=15+13%+3氏-8为9-2x；-10石+4%+x2-1.5）…g分）

解方程组

/二13-84-4$+4=0,

，=31—8%）—20X3+4=0,

F；=X,+X2-1,5=0,...（盼）

得:再=0,%=1.5

所以，假设提供的广告费用为15万元，应招15万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策

略，…（6分）

JF布__

6、计算积分。x，其中O是由直线'=*旷=2*及x=l,x=2所围成的闭区域:

上出4%『少

解:…（4分）

…（6分）

7、连续函数/㈤满足"⑺"-必"+",且/⑴=°,求,⑴。

解：关系式两端关于x求导得：

人幼£小）=-（

/(»=2/(劝+2矿(劝+1即

…（2分）

这是关于/(幻的一阶线性微分方程,

共通解为:

-心r1f-

f(x)=eJ2x([—)r2x+c)

,2x

-^=(-Vx+c)=-^-l

=yjxyjx…（5分）

又/⑴=。，即。故。所以〃

-1=0,=1,…（6分）

r+—y'2

8、求解微分方程i-y

=00

dpdp2

y=p—p—+------p•2=0

解：令'=p,那么d)‘，于是原方程可化为：dyl-y…（3分）

以J=0-舟2

［

即力~y，其通解为〃=华"=o（y_i）…（5分）

g-2dy

-cydx

dx即(yT):

故原方程通解为：C/+C2（6分）

♦a*

Z3「

9、求级数i守〃的收敛区间。

解;令1=4一2,塞级数变形为…（3分）

£㈠）”市

当"T时,级数为”=。寸〃收敛;

当f=1时，级数为弓而发散.

00F

故盲而

的收敛区间是〔一口）

4=…（5分）

£（'-2）”

那么占五的收敛区间为‘'二0'3）

…（6分）

8

sin(2n-x)

〃!

10、判定级数g是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。

sin(2w-x)1

,<---

解：因为〃！〃！

…（2分）

1

..5+1)!八

81lim=0

1n->ao1t

2-3-j

由比值判别法知g〃!收敛(；加),…（4分）

00sin(2wx)

2£sin（2"x）

n\

从而由比拟判别法知局收敛,所以级数gn-绝对收敛，…（6分）

四,证明题（每题5分，共10分）

Z而匚

1、设正项级数I收敛，证明级数I也收敛。

历匚4（〃“+心

证：2,…（3分）

（〃“+wn+l）yjwu,

而由2收敛，故由比拟原那么，乙V”/用也收敛。・（5分）

y1&1&z

z=；—=—

2、设/（/一厂），其中八〃）为可导函数，证明工以yQyy\

dz2xyf

---=-------

证明：因为以俨,

（2分）

2

dz=f^2yf

旷f2

…〔4分）

18z1dz2yf/+2y2r1

—+=十'.—■=2

所以X&ySyf-yf-yfy1

…（5分）

评

分

评阅

人

z=2cos2(x-—)2^-4+-^-=0

22、设2,证明：drdxdt

07年［B［卷参考答案

（可能会有错误大家一定要自己核对）

一、填空题（每题3分，共15分）

1、设z=+y+/（y-x）,且当＞0时，那么z=____________0

（£-2孙+21+丫2）

r^dx

2、计算广义积分，/=o（I）

12

J

3、设z=ln（l+f+/）,那么囱（回=o（33）

4、微分方程6y十9k5（九+1）*具有形式的特解.（（加十加）*）

（3"+15

5、级数e9的和为―。(8)

二、选择题（每题3分，共15分）

3sin(jt2+/)

lim

22

XTOx+y

1、尸。」的值为(B)

A、0B、3C、2D、不存在

2、4（用丁）和《3田在（两，为）存在且连续是函数〃局〉）在点（*0，为）可微的（B）

A.必要非充分的条件：B.充分非必要的条件：

C,充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。

3、由曲面Z=）4-"2—/和2=。及柱面/+丁=4所围的体积是（B）

—「dr4（）圻力4-/dr

AJoJo.pJoJo.

LTd可:Qd,D.4.呵:Qdr

C、

4、设二阶常系数非齐次微分方程v+py"分=/a）有三个特解M=V,），3=/

那么其通解为（D）

ABCX+G/+G消.

212x22

C、x+Qe+C2e°、X+G©-e^l+G。--）

.（T尸

5、无穷级数in~（〃为任意实数）（A）

A、无法判断B、绝对收敛C、收敛D、发散

三、计算题（每题6分，共60分）

..2-4xy+4

hm——-----

1°xy

1、求以下极限：1。）0

1.2-J孙+44一（刈+4）

hm——---=hm------[

解.，冲，孙（2+"y+4）

…（3分）

,2+J9+42+24

（6分）

[0%]彳_K

2、求由在区间'5上，曲线＞=sin%与直线"5、y二°所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。

£

&V=^-[^sin2jdx

解：J。（4分）

4…[6分）

dzdz

3、求由e二一与‘z=xy所确定的隐函数2=2（%＞）的偏导数办'协。

解：（一）令—（x,y,z）=ez-取z-xy

8FdF_dF

----=_yZ_V------—XZ.X——=e°-xy

那么8,力'dz

利用公式，得

yz+y

-d-z=&=—,-yz-y=,

dx变e:-xye:-xy

…（3分）

—dz=-.d.y=----x--z---x=--x-z-+-x-

dy竺e"-xyez-xy

0•,（6分）

（二）在方程两边同时对x求导，得

.&dz

解出

8z_yz-^-y

dxe:-xy

•••（3分）

dzxz+x

同理解出力'已一孙…16分）

4、求函数/（乐丫心^一⑵y+8y③的极值。

解/ay）=d-l的十8匕那么

22

£（匹y）=3x-12yfv（x,y）=24y-12x

几a,y）=6x,4（x,y）=T2,4（x,y）=48y,

’3f-12y=0,

求驻点，解方程组[24）2-12x=0,得（0,0）和（2,1）...已分）

对（0,0）有£（°，°）=0,4（0,0）=-124（0,0）=0

于是力-AC=144>0,所以（°，°）点不是函数的极值点,…（4分）

时（2,1）有人（2,1）=12,f£2,l）=T2,启（2,1）二48,

于是B2-AC=144-12X48<0,且A=12>0,所以函数在⑵。点取得极小

值,/（2/）=23-12x2x1+8x1'=一8…（6分）

5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统