高中数学必修五教案15篇

高中数学必修五教案15篇

高中数学必修五教案

教学目的：掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问

题

教学重点：圆的标准方程及有关运用

教学难点：标准方程的灵活运用

教学过程：

一、导入新课，探究标准方程

二、掌握知识，巩固练习

练习：1.说出下列圆的方程

⑴圆心(3,-2)半径为5(2)圆心(0,3)半径为3

2.指出下列圆的圆心和半径

⑴(x-2)2+(y+3)2=3

⑵x2+y2=2

⑶x2+y2-6x+4y+12=0

3,判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置关系

4.圆心为(1,3),并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的

方程

三、引伸提高，讲解例题

例1、圆心在y=-2x上，过p(2,T)且与x-y=l相切求

圆的方程(突出待定系数的数学方法)

练习：1、某圆过(-2,1)、(2,3),圆心在x轴上，求

其方程。

2、某圆过A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4),求圆的方

程。

例2：某圆拱桥的'跨度为20米，拱高为4米，在建造

时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。

例3、点M（x0,yO）在x2+y2=r2上，求过M的圆的切线

方程（一题多解，训练思维）

四、小结练习P77L2,3,4

五、作业P811,2,3,4

高中数学必修五教案

教学目标：

（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形

式之间的互化.

（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明

（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思

维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点.

教学重点、难点：直线方程的一般式.直线与二元一次

方程（、不同时为0）的对应关系及其证明.

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

下面给出教学实施过程设计的简要思路：

教学设计思路：

（-）引入的设计

前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看

下面问题：

问：说出过点（2,1）,斜率为2的直线的方程，并观

察方程属于哪一类，为什么？

答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两

个，它们的最高次数为一次.

肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述.再看一个

问题：

问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类,

为什么？

答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程,

因为未知数有两个，它们的最高次数为一次.

肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未

知数有两个，它们的最高次数为一次”.

启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各

小组可以讨论讨论.

学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使

学生的认识统一到如下问题：

“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”

（二）本节主体内容教学的设计

这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研

究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路.

学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导.

经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论.首先让

学生陈述解决思路或解决方案：

思路―

思路二：…

教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下:

按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率

存在或不存在.

当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示

为，它是二元一次方程.

当不存在时，直线的方程可表示为形式的‘方程，它是

二元一次方程吗？

学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐

步认识到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上

点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解

的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元

一次方程是合理的.

综合两种情况，我们得出如下结论：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表

示这条直线的关于、的二元一次方程.

至此，我们的问题1就解决了.简单点说就是：直线方

程都是二元一次方程.而且这个方程一定可以表示成或的形

式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”.

同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一

个更好的表达？

学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式.

这样上边的结论可以表述如下：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表

示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程.

启发：任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得

还有什么与之相关的问题呢？

任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示

一条直线吗？

不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个

方面，这个问题是它的另一方面.这是显然的吗？不是，因

此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论.那么如

何研究呢？

师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：

回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的

思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应

斜率是否存在，即

（1）当时，方程可化为

这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线.

（2）当时，由于、不同时为0,必有，方程可化为

这表示一条与轴垂直的直线.

因此，得到结论：

在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）

的二元一次方程都表示一条直线.

为方便，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的

一般式是合理的.

演示“直线各参数”文件，体会任何二元一次方程都表

示一条直线.

至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现

上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭

示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一

般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越

高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系.

(三)练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计

略

高中数学必修五教案

三维目标：

1、知识与技能：正确理解随机抽样的概念，掌握抽签

法、随机数表法的一般步骤；

2、过程与方法：

(1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的

统计问题；

(2)在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的

方法从总体中抽取样本。

3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中

统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之

间的联系，认识数学的重要性。

4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握

抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中

抽取样本。

教学方法：

讲练结合法

教学用具：

多媒体

课时安排：

1课时

教学过程：

一、问题情境

假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的

一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？显然，

你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。（为什么？）

那么，应当怎样获取样本呢？

二、探究新知

1、统计的有关概念：总体：在统计学中,所有考察对象

的全体叫做总体、个体：每一个考察的对象叫做个体、样本：

从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本、样本容

量：样本中个体的数目叫做样本的容量、统计的基本思想：

用样本去估计总体、

2、简单随机抽样的概念一般地，设一个总体含有N个

个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n〈N）,如

果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把

这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简

单随机样本。

下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么？

(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。

(2)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质

量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检

验后，再把它放回箱子。

(3)从8台电脑中，不放回地随机抽取2台进行质量检

查(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)

3、常用的简单随机抽样方法有：

(1)抽签法的定义。一般地，抽签法就是把总体中的N

个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，

搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得

到一个容量为n的样本。

思考?你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个

体数很多时，用抽签法方便吗?例1、若已知高一(6)班总共

有57人，现要抽取8位同学出来做游戏，请设计一个抽取

的方法，要使得每位同学被抽到的机会相等。

分析：可以把57位同学的学号分别写在大小，质地都

相同的纸片上，折叠或揉成小球，把纸片集中在一起并充分

搅拌后，在从中个抽出8张纸片，再选出纸片上的学号对应

的同学即可、基本步骤：第一步：将总体的所有N个个体从

1至N编号;第二步：准备N个号签分别标上这些编号，将号

签放在容器中搅拌均匀后每次抽取一个号签，不放回地连续

取n次;第三步：将取出的n个号签上的号码所对应的'n个

个体作为样本。

(2)随机数法的定义：利用随机数表、随机数骰子或计

算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随

机数表法。怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来

说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量

是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随

机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。第一步，先

将800袋牛奶编号，可以编为000,001,799o

第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第

7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第

10行）。

162277943949544354821737932378844217533157245506887

704744767630163785916955567199810507175332112342978

645607825242074438576086324409472796544917460962873

520964384263491642176335025839212067612867358074439

5238791551001342996602795490528477270802734328第三

步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、

向上、向下等），得到一个三位数785,由于785799,将它

去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567,199,507,

依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得

到一个容量为60的样本。

三、课堂练习

四、课堂小结

1、简单随机抽样的概念一般地，设一个总体的个体数

为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次

抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单

随机抽样。

2、简单随机抽样的方法：抽签法随机数表法

五、课后作业

P57练习1、2

六、板书设计

1、统计的有关概念

2、简单随机抽样的概念

3、常用的简单随机抽样方法有：（1）抽签法⑵随机数

表法

4、课堂练习

高中数学必修五教案

各位评委、各位专家，大家好！今天，我说课的内容是

人民教育出版社全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》

第一章第五节“一元二次不等式解法”。

下面从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、教

法与学法、课堂设计、效果评价六方面进行说课。

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法

在知识上的延伸和发展，又是本章集合知识的运用与巩固，

也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作

用。同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知

识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等

丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括

能力、探究能力及创新意识。

（二）教学内容

本节内容分2课时学习。本课时通过二次函数的图象探

索一元二次不等式的解集。通过复习“三个一次”的关系，

即一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；以旧

带新寻找“三个二次”的关系，即二次函数与一元二次方程、

一元二次不等式的关系；采用“画、看、说、用”的思维模

式，得出一元二次不等式的解集，品味数学中的和谐美，体

验成功的乐趣。

二、教学目标分析

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高一学生的认

知规律，本节课的教学目标确定为：

知识目标一一理解“三个二次”的关系；掌握看图象找

解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

能力目标一一通过看图象找解集，培养学生“从形到数”

的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概

括能力。

情感目标一一创设问题情景，激发学生观察、分析、探

求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

三、重难点分析

一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是

解决许多数学问题的重要工具。本节课的重点确定为：一元

二次不等式的解法。

要把握这个重点。关键在于理解并掌握利用二次函数的

图象确定一元二次不等式解集的方法一一图象法，其本质就

是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解

集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。由于初中没有

专门研究过这类问题，高一学生比较陌生，要真正掌握有一

定的难度。因此，本节课的难点确定为：“三个二次”的关

系。要突破这个难点，让学生归纳“三个一次”的关系作铺

垫。

四、教法与学法分析

(-)学法指导

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目

的。因此在教学中要不断指导学生学会学习。本节课主要是

教给学生“动手画、动眼看、动脑想、动口说、善提炼、勤

钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生自主参与，合

作交流的机会，教给了学生获取知识的途径、思考问题的方

法，使学生真正成了教学的主体；只有这样做，才能使学生

“学”有新“思”，“思”有新“得。“练”有新“获”，学

生也才会逐步感受到数学的美，会产生一种成功感，从而提

高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，课堂教学才富有时

代特色，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

(-)教法分析

本节课设计的指导思想是：现代认知心理学一一建构主

义学习理论。

建构主义学习理论认为：应把学习看成是学生主动的建

构活动，学生应与一定的知识背景即情景相联系，在实际情

景下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引

出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，

而且易于迁移到陌生的问题情景中。

本节课采用“诱思引探教学法”。把问题作为出发点，

指导学生“画、看、说、用”。较好地探求一元二次不等式

的解法。

五、课堂设计

本节课的教学设计充分体现以学生发展为本，培养学生

的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论

联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境

的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学

会走向会学，由被动答题走向主动探究。

（一）创设情景，引出“三个一次”的关系

本节课开始，先让学生解一元二次方程x2-x-6=0,如果

我把“二”改成则变成一元二次不等式x2-x-60让学生

解，学生肯定感到很突然。但是“思维往往是从惊奇和疑问

开始。这样直奔主题，目的在于构造悬念，激活学生的思

维兴趣。

为此，我设计了以下几个问题：

1、请同学们解以下方程和不等式：

①2x-7=0；②2x-70；③2x-70

学生回答，我板书。

2、我指出：2x-70和2x-70的解实际上只需利用不等式

基本性质就容易得到。

3、接着我提出：我们能否利用不等式的基本性质来解

一元二次不等式呢？学生可能感到很困惑。

4、为此，我引入一次函数y=2x-7,借助动画从图象上

直观认识方程和不等式的解，得出以下三组重要关系：

①2x-7=0的解恰是函数y=2x-7的图象与x轴

交点的横坐标。

②2x-70的解集正是函数y=2x-7的图象

在x轴的上方的点的横坐标的集合。

③2x-70的解集正是函数y=2x-7的图象

在x轴的下方的点的横坐标的集合。

三组关系的得出，实际上让学生找到了利用“一次函数

的图象”来解一元一次方程和一元一次不等式的方法。让学

生看到了解决一元二次不等式的希望，大大激发了学生解决

新问题的兴趣。此时，学生很自然联想到利用函数y=x2-x-6

的图象来求不等式x2-x-60的解集。

（二）比旧悟新，引出“三个二次”的关系

为此我引导学生作出函数y=x2-x-6的图象，按照“看

一看说一说问一问”的思路进行探究。

看函数y=x2-x-6的图象并说出：

①方程x2-x-6=0的解是

x=-2或x=3；

②不等式x2-x-60的解集是

{x|x-2,或x3}；

③不等式x2-x-60的解集是

{x|-23）o

此时，学生已经冲出了困惑，找到了利用二次函数的图

象来解一元二次不等式的方法。

学生沉浸在成功的喜悦中，不妨趁热打铁问一问：如果

把函数y=x2-x-6变为犯ax2+bx+c（aO）,那么图象与x轴的

位置关系又怎样呢？（学生回答：时，图象与x轴有两个

交点；△=（）时，图象与x轴只有一个交点；时，图象与

x辆没有交点。）请同学们讨论：ax2+bx+c0与ax2+bx+c0的

解集与函数y=ax2+bx+c的图象有怎样的.关系？

（三）归纳提炼，得出“三个二次”的关系

1、引导学生根据图象与x轴的相对位置关系，写出相

关不等式的解集。

2、此时提出：若aO时，怎样求解不等式ax2+bx+c0及

ax2+bx+c0?（经讨论之后，有的学生得出：将二次项系数由

负化正，转化为上述模式求解，教师应予以强调；也有的学

生提出画出相应的二次函数图象，根据图象写出解集，教师

应给予肯定。）

（四）应用新知，熟练掌握一元二次不等式的解集

借助二次函数的图象，得到一元二次不等式的解集，学

生形成了感性认识，为巩固所学知识，我们一起来完成以下

例题：

例1、解不等式2x2—3x—20

解：因为A0,方程2x2—3x—2=0的解是

xl=,x2=2

所以，不等式的解集是

{x|x,或x2}

例1的解决达到了两个目的：一是巩固了一元二次不等

式解集的应用；二是规范了一元二次不等式的解题格式。

下面我们接着学习课本例2。

例2解不等式-3x2+6x2

课本例2的出现恰当好处，一方面突出了“对于二次项

系数是负数(即aO)的一元二次不等式，可以先把二次项系数

化为正数，再求解”；另一方面，学生对此例的解答极易出

现写错解集(如出现“或”与“且”的错误)。

通过例1、例2的解决，学生与我一起总结了解一元二

次不等式的一般步骤：一化正一二算△一三求根一四写解

集。

例3解不等式4x2—4x+10

例4解不等式一x2+2x—30

分别突出了“△二()"、“△()”对不等式解集的影响。这

两例由学生练习，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻

找学生中的闪光点，给予热情表扬。

4道例题，具有典型性、层次性和学生的可接受性。为

了避免学生学后“一团乱麻”、“一盘散沙”的局面,我和学

生一起总结。

(五)总结

解一元二次不等式的“四部曲”：

(1)把二次项的系数化为正数

(2)计算判别式A

(3)解对应的一元二次方程

(4)根据一元二次方程的根，结合图像(或口诀)，写出

不等式的解集。概括为：一化正一二算△一三求根一四写解

集

(六)作业布置

为了使所有学生巩固所学知识，我布置了“必做题”；

又为学有余力者留有自由发展的空间，我布置了“探究题”。

(1)必做题：习题1.5的1、3题

(2)探究题：①若a、b不同时为零，记ax2+bx+c=0

的解集为P,ax2+bx+c0的解集为M,ax2+bx+c0的解集为N,

那么PUMUN=；②已知不等式

(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+30的解集是R,求实数k的取值范围。

(七)板书设计

一元二次不等式解法(1)

五、教学效果评价

本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。以”

三个一次关系一三个二次关系一一元二次不等式解法”为主

线，以“从形到数，从具体到抽象，从特殊到一般”为灵魂,

以“画、看、说、用”为特色，把握重点，突破难点。在教

学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习

方法的指导，探究能力的训练，创新精神的培养，引导学生

发现数学的美，体验求知的乐趣。

高中数学必修五教案

内容分析：

1、集合是中学数学的一个重要的基本概念

在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，

更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用

到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集。至于逻辑，

可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运

用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识

问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学

习本章的意义，也是本章学习的基础。

把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的

最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密

切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础

例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻

辑。

本节首先从初中代数与几何涉及的.集合实例入手，引

出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作

了说明

然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述

法，还给出了画图表示集合的例子。

这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念

学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章

的意义

本节课的教学重点是集合的基本概念。

集合是集合论中的原始的、不定义的概念

在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念

有一个初步认识

教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成

为一个集合，也简称集

”这句话，只是对集合概念的描述性说明。

教学过程：

一、复习引入：

1.简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，

质数与和数；

2.教材中的章头引言；

3.集合论的创始人一一康托尔(德国数学家)(见附录);

4.“物以类聚”，“人以群分”；

5.教材中例子(P4)o

二、讲解新课：

阅读教材第一部分，问题如下：

(1)有那些概念？是如何定义的？

(2)有那些符号？是如何表示的？

(3)集合中元素的特性是什么？

(-)集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、

一些整式、一些物体、一些人组成的•我们说，每一组对象

的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就

成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合

的元素.

定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集

合.

1、集合的概念

(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合

(简称集)

(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

2、常用数集及记法

(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合，

记作N,N={0,1,2,­••}

(2)正整数集：非负整数集内排除0的集，记作N_

或N+,N_={1,2,3,…}

(3)整数集:全体整数的集合，记作Z,Z={0,±1,±2,…}

(4)有理数集：全体有理数的集合，记作Q,Q二{整数

与分数}

(5)实数集：全体实数的集合，记作R,R二{数轴上所

有点所对应的数}

注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，

自然数集包括数0

(2)非负整数集内排除0的集，记作N_或N+

Q、z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例

如，整数集内排除0的集，表示成Z_

3、元素对于集合的隶属关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记

作aeA

(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属

于A,记作aA

4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者

在这个集合里，或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用

正常的顺序写出）

5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p>q...

⑵的开口方向，不能把a£A颠倒过来写。

高中数学必修五教案

教学目标：

lo了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域

和值域的关系。

2o会求一些简单函数的反函数。

3o在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认

识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形

结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识。

4o进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思

维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力。

教学重点：

求反函数的方法。

教学难点：

反函数的概念。

教学过程：

教学活动

设计意图一、创设情境，引入新课

lo复习提问

①函数的概念

②尸f（X）中各变量的意义

2o同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的

函数关系，即S=vt和t二（其中速度v是常量），在S二vt中

位移S是时间t的函数；在廿中，时间t是位移S的函数。

在这种情况下，我们说t=是函数S=vt的反函数。什么是反

函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容。

3o板书课题

由实际问题引入新课，激发了学生学习兴趣，展示了教

学目标。这样既可以拨去”反函数”这一概念的神秘面纱，

也可使学生知道学习这一概念的必要性。

二、实例分析，组织探究

lo问题组一：

（用投影给出函数与；与（）的图象）

（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什

么关系？（生答：与的图像关于直线y二x对称；与（）的图

象也关于直线y=x对称。是求一个数立方的运算，而是求一

个数立方根的运算，它们互为逆运算。同样，与（）也互为

逆运算。）

(2)由,已知y能否求x?

(3)是否是一个函数？它与有何关系？

(4)与有何联系？

2o问题组二：

(1)函数y=2xl(x是自变量)与函数x=2yl(y是自

变量)是否是同一函数？

(2)函数(x是自变量)与函数x=2yl(y是自变量)

是否是同一函数？

(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系？

3o渗透反函数的概念。

(教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探

究其特点)

从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学

生的认知特点，有利于培养学生抽象、概括的能力。

通过这两组问题，为反函数概念的'引出做了铺垫，利

用旧知，引出新识，在”最近发展区”设计问题，使学生对

反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念

奠定基础。

三、师生互动，归纳定义

lo(根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定

义)

函数y=f(x)(x£A)中，设它的值域为Co我们根据

这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得至I」x=j(y)o

如果对于y在C中的任何一个值，通过x=j(y),x在A中

都有的值和它对应，那么，X=j(y)就表示y是自变量，X

是自变量y的函数。这样的函数x=j(y)(yEC)叫做函数

y=f(x)(xeA)的反函数。记作：。考虑到”用x表示自变

量，y表示函数”的习惯，将中的x与y对调写成。

2o引导分析：

1)反函数也是函数；

2)对应法则为互逆运算；

3)定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f

(x)来说不一定有反函数；

4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)

的值域、定义域；

5)函数尸f(x)与x=f(y)互为反函数；

6)要理解好符号f；

7)交换变量x、y的原因。

3o两次转换x、y的对应关系

(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y是等价的,

原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的)

4o函数与其反函数的关系

函数y=f(x)

函数

定义域

A

C

值域

c

A

四、应用解题，总结步骤

lo(投影例题)

求下列函数的反函数

(1)y=3x-1(2)y=xl

求函数的反函数。

(教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤。)

2。总结求函数反函数的步骤：

1°由y=f(x)反解出x=f(y)o

2°把x=f(y)中x与y互换得。

3°写出反函数的定义域。

(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)(1)有

没有反函数？

(2)的反函数是o

(3)(x0)o

②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n

次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。

上面的文字语言可用下面的式子表示：

a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na,n为偶

数，a的n次方根有两个为土na.

a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na,n为

偶数，a的n次方根不存在。

零的n次方根为零，记为nO=O.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质

的特例。

思考

根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数

的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才

不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的

平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方

根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题。

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为

±2,-27的5次方根为5-27,而-27的4次方根不存在等。

其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式

子na一个名称----根式。

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被开方数,n叫做根指数。

如3-27中，3叫根指数,-27叫被开方数。

思考

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？如果

不一定成立，那么nan等于什么？

活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充

分让学生多举实例，分组讨论。教师点拨，注意归纳整理。

(如3(-3)3=3-27=-3,4(-8)4=|-81=8)°

解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n二a.

通过探究得到：n为奇数，nan=a.

n为偶数，nan=|a|=a,-a,a-O,ab)o

点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导

致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记

熟，会用，活用。

变式训练

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a^l)；

(3)4(3a-3)4.

解：⑴7(-2)7=-2,

(2)3(3a-3)3(a^l)=3a-3,

(3)4(3a-3)4=

点评：本题易错的是第⑶题，往往忽视a与1大小的

讨论，造成错解。

思路2

例1下列各式中正确的是()

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.aO=l

D.10(2-1)5=2-1

活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根

的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，

既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤,

体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回

答。

解析：(l)4a4二a,考查n次方根的运算性质，当n为偶

数时，应先写nan=|a|,故A项错。

(2)6(-2)2=3-2,本质上与上题相同，是一个正数的偶

次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(-2)2=32,故B

项错。

(3)a0=l是有条件的，即a#0,故C项也错。

(4)0项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如

此，故D项正确。所以答案选D.

答案：D

点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，

有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万

要细心。

例23+22+3—22=.

活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容

与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是

带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出

结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平

方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差

的平方公式化为完全平方式。正确分析题意是关键，教师提

示，引导学生解题的思路。

解析：因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1,

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1,

所以3+22+3-22=22.

答案：22

点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对

称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成

一个完全平方式。

思考

上面的例2还有别的解法吗？

活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时

平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性,

再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是去掉一层根

号后，相加正好抵消。同时借助平方差，又可去掉根号，因

此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另

一种解法。

另解：利用整体思想，x=3+22+3-22,

两边平方，得

x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8,所以

x=22.

点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的'式子，

我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，

问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它

们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解。

变式训练

若a2-2a+l=a-1,求a的取值范围。

解：因为a2-2a+l=aT,而a2-2a+l=(aT)2二|aT|=aT,

即aTNO,

所以a，l.

点评：利用方根的运算性质转化为去绝电值符号，是解

题的关键。

知能训练

(教师用多媒体显示在屏幕上)

1、以下说法正确的是()

A.正数的n次方根是一个正数

B.负数的n次方根是一个负数

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示(以上n>l且n£正整数集)

答案：C

2、化简下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;⑸|x-y|o

3、计算7+40+7—40=.

解析:7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

二(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案：25

拓展提升

问题：nan=a与(na)n=a(n>l,n£N)哪一个是恒等式,

为什么？请举例说明。

活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨

论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义。

通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数

时，n为奇数时讨论一下。再对a是负数，n为偶数时，n为

奇数时讨论一下，就可得到相应的结论。

解：(1)(na)n=a(n>l,n£N)。

如果xn=a(n>l,且n£N)有意义，则无论n是奇数或偶

数，x=na一定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。

例如：(43)4=3,(3-5)3=-5.

(2)nan=a,|a|,当n为奇数，当n为偶数。

当n为奇数时，a《R,nan=a恒成立。

例如：525=2,5(-2)5=-2.

当n为偶数时，a£R,an，O,nan表示正的n次方根或

0,所以如果那么nan二a.例如434=3,40=0;如果al,

n£N)是恒等式，nan=a(n>l,n£N)是有条件的。

点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质

的深刻理解。

课堂小结

学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收

获，教师用多媒体显示在屏幕上。

1、如果xn=a,那么x叫a的n次方根，其中n>l且n

金正整数集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被

开方数，n叫根指数。

(1)当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反

数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根

用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成土

na(a>0)。

(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n

次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

(3)负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。

2、掌握两个公式：n为奇数时，(na)n=a,n为偶数时,

nan=|a|-a,a20,aO,aO,

①；

②a8=(a4)2=a4=,；

③4al2=4(a3)4=a3=；

④2al0=2(a5)2=a5二。

(3)利用⑵的规律，你能表示下列式子吗？

,,,(x>0,m,n£正整数集，且n>l)。

(4)你能用方根的意义来解释⑶的式子吗？

(5)你能推广到一般的情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数鬲及运算性质，仔

细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，

教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指

点启发学生类比⑵的规律表示，借鉴(2)(3),我们把具体

推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示。

讨论结果：(1)整数指数基的运算性质：an=a?a?a?-?

a,a0=l(a#0)；00无意义；

a-n—lo.n(a.W0)；

am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是alO的5次方根；②a4是a8的2次方根;

③a3是al2的4次方根；④a5是alO的2次方根。实质上

①5a10二,②a8=，③4a12=，④2al0二结果的a的指数是2,4,3,5

分别写成了105,82,124,105,形式上变了，本质没变。

根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数

的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形

式(分数指数幕形式)。

(3)利用⑵的规律,453=,375=,5a7=，nxm二。

(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根

是，xm的n次方根是c

结果表明方根的结果和分数指数事是相通的。

(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示为nam二，即

=nam(a>0,m,正整数集，n>l)。

综上所述，我们得到正数的正分数指数嘉的意义，教师

板书：

规定：正数的正分数指数事的意义是二nam(a>0,m,ne

正整数集,n>l)o

提出问题

(1)负整数指数基的意义是怎样规定的？

(2)你能得出负分数指数塞的意义吗？

(3)你认为应怎样规定零的分数指数嘉的意义？

(4)综合上述，如何规定分数指数幕的意义？

(5)分数指数幕的意义中，为什么规定a>0,去掉这个

规定会产生什么样的后果？

(6)既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指

数，那么整数指数幕的运算性质是否也适用于有理数指数幕

呢？

活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会

回答，根据零的整数指数幕的意义和负整数指数幕的意义来

类比，把正分数指数嘉的意义与负分数指数基的意义融合起

来，与整数指数幕的运算性质类比可得有理数指数幕的运算

性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说

明a>0的必要性，教师及时作出评价。

讨论结果：(1)负整数指数幕的意义是：a-n=lan(a^O),

n£N+。

(2)既然负整数指数幕的意义是这样规定的，类比正

数的正分数指数基的意义可得正数的负分数指数鬲的意义。

规定：正数的负分数指数幕的意义是"lnam(a>0,m,n

£=N+,n>l)o

(3)规定：零的分数指数鬲的意义是：零的正分数次

累等于零，零的负分数指数幕没有意义。

(4)教师板书分数指数嘉的意义。分数指数幕的意义

就是：

正数的正分数指数幕的意义是二nam(a>0,m,n£正整数

集，n>l),正数的负分数指数很的意义是=的加义>0,m,n

£正整数集，n>l),零的正分数次累等于零，零的负分数指

数嘉没有意义。

(5)若没有a>0这个条件会怎样呢？

如=3-1=-1,=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了

截然不同的结果，这只说明分数指数基在底数小于零时是无

意义的。因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于

零，如无a>0的条件，比如式子3a2二，同时负数开奇次方是

有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然

后再按规定化成分数指数幕，也就是说，负分数指数暴在有

意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指

数上。

(6)规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整

数指数推广到了有理数指数。

有理数指数幕的运算性质：对任意的有理数r,s,均有

下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a>0,r,sEQ),

②(ar)s二ars(a>0,r,s£Q),

③(a?b)r=arbr(a>0,b>0,r£Q)。

我们利用分数指数事的意义和有理数指数基的运算性

质可以解决一些问题，来看下面的例题。

应用示例

例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4)o

活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幕的运算性

质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成

事的形式，8写成23,25写成52,12写成2-1,1681写成

234,利用有理数幕的运算性质可以解答，完成后，把自己

的答案用投影仪展示出来。

解：(1)二22二4;

(2)=5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1X(-5)=32;

(4)=23-3=278.

点评：本例主要考查幕值运算，要按规定来解。在进行

基值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化

为熟悉的根式运算，如=382=364=4.

例2用分数指数嘉的形式表示下列各式。

a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)o

活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为

分数指数幕，再由幕的运算性质来运算，根式化为分数指数

累时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生

讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励

学生注意总结。

解：a3?a=a3?=；

a2?3a2=a2?=；

a3a二0

点评：利用分数指数事的意义和有理数指数幕的运算性

质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幕，再

由塞的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什

么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幕的形式来表

示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又

有负指数。

例3计算下列各式(式中字母都是正数)。

(1);

(2)0

活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，

四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括

号的先算括号内的，整数幕的运算性质及运算规律扩充到分

数指数事后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，

再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中

要注意到⑴小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘

除法运算顺序进行，要注意符号，第⑵小题是乘方运算，

可先按积的乘方计算，再按幕的乘方进行计算，熟悉后可以

简化步骤。

解：(1)原式二[2X(-6)+(-3)]=4ab0=4a;

(2)=m2n-3=m2n3.

点评：分数指数基不表示相同因式的积，而是根式的另

一种写法。有了分数指数幕，就可把根式转化成分数指数累

的形式，用分数指数基的运算法则进行运算了。

本例主要是指数暴的运算法则的综合考查和应用。

变式训练

求值：(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解：(1)33?33?63==32=9;

(2)627m3125n64==9m225n4=925m2n-4.

例4计算下列各式：

(1)(325-125)4-425;

(2)a2a?3a2(a>0)。

活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，

化为同底。利用分数指数累计算，在第⑴小题中，只含有

根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数

指数暴再计算，这样就简便多了，第⑵小题也是先把根式

转化为分数指数幕后再由运算法则计算，最后写出解答。

解：(D原式二

=65-5;

(2)a2a?3a2==6a5.

知能训练

课本本节练习1,2,3

教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教

师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励。

1、(1)下列运算中，正确的是()

A.a2?a3=a6B.(-a2)3=(­a3)2

C.(a-l)O=OD.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①4(-4)2n,②4(-4)2n+L③5a4,④4a5

(各式的n£N,aeR)中，有意义的是()

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

(3)(34a6)2?(43a6)2等于()

A.aB.a2C.a3D.a4

(4)把根式-25(a-b)-2改写成分数指数基的形式为()

A.B.

C.D.

(5)化简的结果是()

A.6aB.-aC.-9aD.9a

2、计算：(1)—17-2+-3-l+(2-l)0=.

(2)设5x=4,5y=2,则52x-y=.

3、已知x+y=12,xy=9且xO,m,nW正整数集，n>l),

正数的负分数指数幕的意义是=lnam(a>0,m,n£正整数集,

n>l),零的正分数次嘉等于零，零的负分数指数幕没有意义。

(2)规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整

数指数推广到了有理数指数。

(3)有理数指数嘉的运算性质：对任意的有理数r,s,

均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a>0,r,s£Q),

②(ar)s=ars(a>0,r,sSQ),

③(a?b)r=arbr(a>0,b>0,rEQ)o

(4)说明两点：

①分数指数鬲的意义是一种规定，我们前面所举的例子

只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系。

②整数指数累的运算性质对任意的有理数指数累也同

样适用。因而分数指数幕与根式可以互化，也可以利用二am

来计算。

作业

课本习题2.1A组A4.

设计感想

本节课是分数指数幕的意义的引出及应用，分数指数是

指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数辱的意

义，教学中可以通过根式与分数指数基的互化来巩固加深对

这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是

硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化

训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的

课堂教学任务。

第3课时

作者：郑芳鸣

导入新课

思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，

又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理

数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数

累呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有

理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充

过程中，增添的数是无理数。对无理数指数累，也是这样扩

充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本

堂课的课题（指数与指数累的运算（3））之无理数指数幕。

思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数

有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行

了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单

的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、

三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发

展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函

数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幕的

运算性质，为此，我们必须把指数嘉从有理数指数幕扩充到

实数指数幕，因此我们本节课学习：指数与指数幕的运算⑶

之无理数指数累，教师板书本节课的课题。

推进新课

新知探究

提出问题

(1)我们知道2=1.41421356…，那么

1.41,1.414,1.4142,1.41421,…，是2的什么近似值？而

1.42,1.415,1.4143,1.41422,是2的什么近似值？

(2)多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中,

能发现什么样的规律？

2的过剩近似值

的近似值

1.511.18033989

1.429.829635328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.738517752

的近似值

2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.41421

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

(3)你能给上述思想起个名字吗？

(4)一个正数的无理数次幕到底是一个什么性质的数

呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？

(5)借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？

活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积

极交流，及时评价学生，学生有困