2025年高考数学专项题型点拨训练之 排列与组合

年高考数学专项题型点拨训练排列与组合【题型一】排列数与组合数（押题型）【题型二】人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空【题型三】人坐座位模型2：染色（平面、空间）【题型四】分配问题：球不同，盒不同【题型五】分配问题：球同，盒不同【题型六】书架插书模型【题型七】代替元法：最短路径【题型八】代替元法：空车位停车等【题型九】环排问题：直排策略【题型十】数列思想：上楼梯等排列组合和二项式定理是高考热点知识点，有了多选题型后常和概率结合起来考察，所以需要考生对于排列组合的基础题型有所了解，以及一些特殊的方法，这块有很多固定的题型，当然在掌握题型的基础上还需要明白其原理，能够冷静分析，合理运用好排列组合的解题思维。根据高考回归课本的趋势，排列数与组合数的运算以及术与式的归纳理解要求要相继变高，而这块内容也是因为传统的固定题型容易被学生忽略的知识点，需要重视起来。易错点：对两个计数原理理解混乱两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案❶，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N＝m＋n种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤❷，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N＝m×n种不同的方法(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.易错提醒：1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.例设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（

）A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法破解：若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法；故选：ABD变式1：近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的美食吸引着各地游客，成为“网红城市”．远道而来的小明计划用2天的时间游览以下五个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡点、磁器口，另外还要安排一次自由购物，因此共计6项内容．现将每天分成上午、下午、晚上3个时间段，每个时段完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，“轻轨穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有种方案.变式2：从，，，，，，这个数字中取出个数字，试问：(1)有多少个没有重复数字的排列(2)能组成多少个没有重复数字的四位数【题型一】排列数与组合数（押题型）1.排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数公式＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝＝性质＝n！，0！＝1＝1，，正确理解组合数的性质(1)：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.(2)：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有种方法；②含特殊元素A有种方法.【例1】组合数恒等于（

）A． B． C． D．【例2】规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．(1)求的值．(2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；(3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，．【例3】（1）求的值；（2）设m，nN*，n≥m，求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.【变式1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）若，为正整数且，则（

）A． B．C． D．【变式2】（2024·山东济南·一模）（多选）下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【变式3】（2024·安徽合肥·一模）“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意，(1)计算：；(2)证明：对于任意，(3)证明：对于任意，【题型二】人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：容斥原理【例1】高二年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（

）A． B． C． D．【例2】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种【例3】在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30 B．36 C．60 D．72【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（

）A．144 B．120 C．108 D．96【变式2】现有7位同学（分别编号为）排成一排拍照，若其中三人互不相邻，两人也不相邻，而两人必须相邻，则不同的排法总数为．（用数字作答）【变式3】“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）【题型三】人坐座位模型2：染色（平面、空间）染色问题：1.用了几种颜色2.尽量先从公共相邻区域开始。空间几何体，可以“拍扁”，转化为平面图形【例1】如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有A．360种 B．720种 C．780种 D．840种【例2】某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）A．1080种 B．720种 C．660种 D．600种【例3】如图，用5种不同的颜色给图中的、、、、、6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种.【变式1】如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用A．288种 B．264种 C．240种 D．168种【变式2】如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（

）A．18 B．24 C．30 D．42【变式3】如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有

A．360种 B．320种 C．108种 D．96种【题型四】分配问题：球不同，盒不同球不同，盒不同（主要的）方法技巧：盒子可空，指数幂形式，盒的球次幂，盒子不可空“先分组再排列”分类讨论注意平均分组时需要除以组数的全排列。【例1】（2024高三下·全国·专题练习）8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？（用式子表示）(1)平均分成四份；(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人；(3)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张；(4)分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张；(5)分给三人，一人4张，一人2张，一人2张；(6)分成三份，一份1张，一份2张，一份5张；(7)分给甲、乙、丙三人，甲得1张，乙得2张，丙得5张；(8)分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张．【例2】如图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（

）A． B． C． D．【例3】（23-24高三上·云南昆明·开学考试）现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是.（用数字作答）【变式1】（2024·山东烟台·三模）教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（

）A．甲学校没有女大学生的概率为B．甲学校至少有两名女大学生的概率为C．每所学校都有男大学生的概率为D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为【变式2】某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【变式3】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【题型五】分配问题：球同，盒不同球相同，盒子不同方法技巧：盒子不可空用挡板法，盒子可空用接球法。【例1】1.10块相同的巧克力，每天至少吃一块，5天吃完，有种方法；若10块相同的巧克力，每天至少吃一块，直到吃完为止又有种方法．（用数字作答）【例2】（2024高三下·江苏·专题练习）某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有种（用数字作答）.【例3】按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（1）5个不同的小球放入3个不同的盒子；（2）5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（3）5个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（4）5个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有1个空盒．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【变式2】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（

）A．90种 B．120种 C．160种 D．190种【变式3】（2024高三上·全国·专题练习）（要求每个盒子可空）将8个相同的小球分别放入4个不同的盒子中，每个盒子可空，有多少种不同的放法？【题型六】书架插书模型书架上原有书的顺序不变；（2）新书要一本一本插；定序问题可使用倍缩法。【例1】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（

）A．168 B．260 C．840 D．560【例2】书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【例3】（21-22高二下·重庆渝中·阶段练习）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有种不同的插入方法．（用数字作答）【变式1】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大､奋进新征程”为主题的联欢晩会，原定的个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，那么不同的插法的种数为（

）A．42 B．30 C．20 D．12【变式2】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（

）A．6 B．12 C．15 D．30【变式3】（2024春·江苏盐城·高二校考阶段练习）书架上已有《诗经》、《西游记》、《菜根谭》、《呐喊》、《文化苦旅》五本书，现欲将《围城》、《骆驼祥子》、《四世同堂》三本书放回到书架上，要求不打乱原有五本书的顺序，且《骆驼祥子》和《四世同堂》必须相邻，则不同的放法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【题型七】代替元法：最短路径左右上下移动的最短距离，可以把移动方向看做字母，比如，向右是字母A，向上是字母B，则移动几步就是几个A，与B相同元素排列代替元法：标记元素为数字或字母，重新组合，特别适用于“相同元素”【例1】格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：，则点到原点的格点距离为）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有条（用数字作答）.（多选）【例2】（2024·江苏·高二专题练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是（

）A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条C．小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为D．小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则【例3】如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从到的最短线路有（

）条A． B． C． D．【变式1】有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达B点的最短路径有___________种.【变式2】某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有条．【变式3】由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（

）A．条 B．条 C．条 D．条【题型八】代替元法：空车位停车等这类题大多可以用字母元来代替转化为简单的问题从而解决问题。【例1】某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（

）A．240 B．360 C．480 D．720【例2】马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【例3】现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.【变式1】（2020·浙江·模拟预测）现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有种.【变式2】（2024·江西新余·二模）据中国汽车工业协会统计显示，2022年我国新能源汽车持续爆发式增长，购买电动汽车的家庭越来越多.某学校为方便驾驶电动汽车的教职工提供充电便利，在停车场开展充电桩安装试点.如下图，试点区域共有十个车位，安装了三个充电桩，每个充电桩只能给其南北两侧车位中的一辆电动汽车充电.现有3辆燃油车和2辆电动汽车同时随机停入试点区域（停车前所有车位都空置），请问2辆电动汽车能同时充上电的概率为（

）A． B． C． D．【变式3】甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有A．种 B．种 C．种 D．种【题型九】环排问题：直排策略环排问题即为手拉手围一圈的模型，此类问题以一人为中心考虑，比如三人手拉手围一圈，以其中一人为中心将其一分为二，即变成中间两人全排列问题，再合起来即为一圈。【例1】已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（

）A． B． C． D．【例2】（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围