2024高考数学二轮复习专题练一核心素养引领类型二用数学的思维分析世界-逻辑推理数学运算含解析

PAGE类型二用数学的思维分析世界——逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题动身，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.详细表现：(1)发觉和提出命题；(2)驾驭推理的基本形式和规则；(3)探究和表述论证的过程；(4)构建命题体系；(5)表达与沟通.【例3】(多选题)(2024·新高考山东、海南卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A.a2＋b2≥eq\f(1,2) B.2a－b>eq\f(1,2)C.log2a＋log2b≥－2 D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)解析因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，即有ab≤eq\f(1,4).对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，故A正确；对于B，2a－b＝22a－1＝eq\f(1,2)×22a，因为a>0，所以22a>1，即2a－b>eq\f(1,2)，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2eq\f(1,4)＝－2，故C错误；对于D，由(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝1＋2eq\r(ab)≤2，得eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，故D正确.综上可知，正确的选项为ABD.答案ABD【训练3】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成果.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成果，给乙看丙的成果，给丁看甲的成果.看后甲对大家说：我还是不知道我的成果.依据以上信息，则()A.乙可以知道四人的成果B.丁可以知道四人的成果C.乙、丁可以知道对方的成果D.乙、丁可以知道自己的成果解析由甲说：“我还是不知道我的成果”可推知甲看到乙、丙的成果为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成果，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成果；丁看甲的成果，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成果可推断自身成果.答案D素养4数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.详细表现：(1)理解运算对象；(2)驾驭运算法则；(3)探究运算思想；(4)设计运算程序.【例4】(2024·浙江卷)已知tanθ＝2，则cos2θ＝________，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝__________.解析由题意，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(1－4,1＋4)＝－eq\f(3,5).taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(tanθ－tan\f(π,4),1＋tanθ·tan\f(π,4))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3).答案－eq\f(3,5)eq\f(1,3)【训练4】(2024·武汉模拟)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作始终线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的随意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值.证明(1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，直线AO的方程为y＝eq\f(y1,x1)x；BD的方程为x＝x2.解得交点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(y1x2,x1)))留意到x1x2＝－8及xeq\o\al(2,1)＝4y1，则有y＝eq\f(y1x1x2,xeq\o\al(2,1))＝eq\f(－8y1,4y1)＝－2，因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上.(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(－4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2、y＝－2得N1、N2的坐标为N1(eq