2024-2025北京市西城区鲁迅中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025北京市西城区鲁迅中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x2≤5}，那么A.{0,2,4} B.{−2,0,2} C.{0,2} D.{−2,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数zA.1+3i B.1−3i3.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.f(x)=−lnx B.f(x)=12x 4.已知向量a,b满足a=2,1,A.−5 B.0 C.5 D.75.2x−1x5的展开式中A.−80 B.−40 C.40 D.806.设等差数列an的前n项和为Sn，且S5=15，则aA.94 B.3 C.9 D.7.已知函数fx=x3+x，则“x1A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.函数f(x)=cosx−cosA.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2

C.奇函数，且最大值为98 D.偶函数，且最大值为9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2–m1=52lgE1EA.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P到达点Q(33,33)所跳跃次数的最小值是(

)A.9 B.10 C.11 D.12二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数y=2−x+log12.边长为1的正方形ABCD中，设AB=a，AD=b，AC=c，则13.设等比数列an的公比为qq>0，其前n和为Sn，且a1=12,a314.如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asinωx+φ+b，其中A>0，且函数在x=6与x=14时分别取得最小值和最大值.这段时间的最大温差为

；φ的一个取值为

．

15.已知函数fx=①当a=0时，fx的最小值为0②当a≤13时，③fx的零点个数为ga，则函数ga④当a≥1时，对任意x1其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中，3a=2b(1)求∠B；(2)若b=7,c=3，求17.已知函数fx=x2(1)求a的值，并求函数fx(2)求fx在区间−2,0上的最大值和最小值．18.已知函数fx=2(1)求函数fx(2)若x∈−π6(3)若函数gx=fx−1在−19.某景区有一人工湖，湖面有A,B两点，湖边架有直线型栈道CD，长为50m，如图所示．现要测是A,B两点之间的距离，工作人员分别在C,D两点进行测量，在C点测得∠ACD=45∘，∠BCD=30∘；在D点测得

(1)求A,B两点之间的距离；(2)判断直线CD与直线AB是否垂直，并说明理由．20.已知函数f(x)=mxlnx−(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≤0在区间[1,+∞)上恒成立，求m的取值范围；(3)试比较ln4与221.已知An:a1,a2,⋯,ann≥4为有穷数列．若对任意的i∈0,1,⋯,n−1(1)判断数列A4:1,0.1,−1.2,−0.5,A5:1,2,2.5,1.5,2是否具有性质(2)若A4具有性质P，证明：(3)给定正整数n，对所有具有性质P的数列An，求Tn中元素个数的最小值．参考答案1.B

2.D

3.C

4.C

5.D

6.C

7.C

8.D

9.A

10.B

11.(−1,2]

12.2

13.8；3114.203π4

(答案不唯一

15.①③

16.(1)因为33因为sinA>0，所以sin且B∈0,π，所以B=π3(2)由(1)可知B=π3或2π3，且b=即B=π3，由余弦定理可得，即7=a2+9−2a×3×12当a=1时，S▵ABC当a=2时，S▵ABC所以▵ABC的面积为332

17.(1)f′x由题意得f′2=4−2a+4−a+1fx=xf′x令f’(x)>0得x>2或x<−1，令故fx单调递增区间为−∞,−1,2,+∞此时函数f(x)在x=2处取得极小值，满足题意；(2)由(1)知，故fx在−2,−1上单调递增，在−1,0故fx在x=−1处取得极大值，也是最大值，f又f0=1,f−2故fx在区间−2,0上的最小值为1综上，fx在区间−2,0上的最大值为5e−1

18.(1)f=fx的最小正周期T=令−π2+2kπ≤2x+解得−π3故单调递增区为−π3+kπ,(2)x∈−π6故sin2x+π6故函数值域为0,3；(3)函数gx即2sin2x+π故gx=fx等价于sin2x+π6x∈−π6要想sin2x+π6则π≤2m+π6<2π故m的取值范围为5π12

19.解：(1)依题意，

∠ACD=45∘

，

∠BCD=30∘

，所以

∠ADC=360∘∠CBD=180∘−120∘−在三角形

ACD

中，由正弦定理得

ADsin45在三角形

ABD

中，由余弦定理得

AB=5(2)在三角形

BCD

中，由余弦定理得

BC=5sin105∘在三角形

ACD

中，由正弦定理得

ACsin105AC=256直线

CD

与直线

AB

不垂直，理由如下：CD=50×50=2500−12503所以直线

CD

与直线

AB

不垂直．

20.解：(1)当

m=1

时，

f(x)=xln x−∴f′x=所以曲线

fx

在点

1,f1

处切线的斜率

k=f′(1)=−1

，又

f所以曲线

fx

在点

1,f1

处切线的方程为

y=−x−1

即

(2)

fx≤0

在区间

1,+∞

上恒成立，即

mxlnx−x2即

mlnx−x+1x≤0

令

gx=mlnx−x+1xg′(x)=mx−1−1x2当

m≤0

时，有

mx≤0

，则

g′x<0∴gx

在

1,+∞

∴gx≤g当

m>0

时，令

ℎ(x)=−x2其对应方程

−x2+mx−1=0

的判别式

若

Δ≤0

即

0<m≤2

时，有

ℎx≤0

，即

g′∴gx

在

1,+∞

∴gx≤g若

Δ>0

即

m>2

时，

ℎx=−x2+mx−1

，对称轴

x=m方程

−x2+mx−1=0

的大于1的根为

∴x∈1,x0

，

ℎx>0

x∈x0,+∞

，

ℎx<0

所以函数

gx

在

1,x0

上单调递增，

综上，

fx≤0

在区间

1,+∞

上恒成立，实数

m

的取值范围为

−∞,2(3)由(2)知，当

m=2

时，

fx≤0

，在区间

1,+∞即

2xlnx≤x2−1

取

x=2

代入上式得

22ln

21.(1)解：由题知A4即a因为a3所以A4不具有性质P由于A5即a因为aa故A5具有性质P因为aa故T(2)“T4≠⌀”等价于“证明1,3,假设1,3,2,4两个元素均不在则有a不妨设a1若a2则由a3可得−1≤a与a3故a2同理a3从而a1所以