专题13.7 等边三角形（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.7等边三角形（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】等边三角形定义

三边都相等的三角形叫等边三角形.【要点提示】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．【知识点二】等边三角形的性质等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.【知识点三】等边三角形的判定

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识点四】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【要点提示】这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用等边三角形性质求值与证明【例1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使．（1）求的度数？（2）用尺规作图的方法，过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）（3）求证：．【变式1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是等边的边上的中线，以点D为圆心，长为半径画弧交的延长线于E，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·广东清远·一模）如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为．【题型2】利用等边三角形判定求值与证明【例2】（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．（1）求证：；（2）连接，请判断的形状，并说明理由．【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在中，，，则是（

）A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法：①当时，一定为等边三角形；②当时，一定为等边三角形；③当是等腰三角形时，一定为等边三角形；④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形．其中正确的说法是．（填序号）【题型3】利用含30度的直角三角形边的关系求值与证明【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，点D为上一点，．（1）求证：；（2）延长交于点F，连接，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．【变式1】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，是高，，，则的长是（

）A．12 B．8 C．6 D．【变式2】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点连接并延长，交于点有下列说法：①线段是的平分线；②；③点到边的距离与的长相等；④．其中正确结论的序号是．【题型4】利用等边三角形性质与判定求值与证明【例4】（22-23八年级上·广东湛江·期中）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：是等边三角形．【变式1】（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，，是内的两点，平分，．（1）°；（2）若，，则的长为cm．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为．2、拓展延伸【例1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且．（1）当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）；（2）如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．（3）在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长．【例2】（23-24八年级上·